{"id":302,"date":"2023-08-02T19:59:18","date_gmt":"2023-08-02T19:59:18","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/einfache-lineare-regression\/"},"modified":"2023-08-02T19:59:18","modified_gmt":"2023-08-02T19:59:18","slug":"einfache-lineare-regression","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/einfache-lineare-regression\/","title":{"rendered":"Einfache lineare regression"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was eine einfache lineare Regression in der Statistik ist und wie sie durchgef\u00fchrt wird. Ebenso finden Sie online eine einfache lineare Regressions\u00fcbung gel\u00f6st und zus\u00e4tzlich einen einfachen linearen Regressionsrechner. <\/p>\n

<\/span> Was ist eine einfache lineare Regression?<\/span><\/h2>\n

Die einfache lineare Regression<\/strong> ist ein statistisches Modell, mit dem eine unabh\u00e4ngige Variable in Beziehung gesetzt wird, und wir versuchen, die Beziehung zwischen den beiden Variablen anzun\u00e4hern.<\/p>\n

Daher wird eine einfache lineare Regression verwendet, um eine Gleichung zu finden, die zwei Variablen linear in Beziehung setzt. Logischerweise muss die Beziehung zwischen den beiden Variablen linear sein, andernfalls muss ein anderes Regressionsmodell verwendet werden.<\/p>\n

Die Gleichung eines einfachen linearen Regressionsmodells besteht aus zwei Koeffizienten: der Konstante der Gleichung (b 0<\/sub> ) und dem Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Variablen (b 1<\/sub> ). Daher lautet die Gleichung f\u00fcr ein einfaches lineares Regressionsmodell y=b 0<\/sub> +b 1<\/sub> x.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=b_0+b_1x\"<\/p>\n<\/p>\n

Die Gleichung f\u00fcr eine einfache lineare Regression wird als gerade Linie dargestellt, sodass der Koeffizient b 0<\/sub> der Achsenabschnitt und der Koeffizient b 1<\/sub> die Steigung der Linie ist. <\/p>\n

<\/span> Einfache lineare Regressionsformeln<\/span><\/h2>\n

Die Formeln zur Berechnung der Koeffizienten einer einfachen linearen Regression<\/strong> lauten wie folgt: <\/p>\n

\"einfache<\/figure>\n

\ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Koeffizienten einer einfachen linearen Regression f\u00fcr jeden Datensatz berechnen.<\/u><\/p>\n

Offensichtlich kann die aus dem einfachen linearen Regressionsmodell resultierende Gleichung nicht den genauen Wert aller Beobachtungen erraten, da dieses Modell lediglich versucht, eine Gleichung zu finden, die die Beziehung zwischen den beiden Variablen ann\u00e4hert. Somit ist das Residuum als Differenz zwischen dem wahren Wert und dem durch das lineare Regressionsmodell gesch\u00e4tzten Wert definiert.<\/p>\n<\/p>\n

\"e_i=y_i-\\widehat{y}_i\"<\/p>\n<\/p>\n

Beachten Sie, dass das Ziel eines einfachen linearen Regressionsmodells darin besteht, die Quadrate der Residuen zu minimieren, d. h. eine einfache lineare Regression basiert auf dem Kriterium der kleinsten Quadrate<\/a> . <\/p>\n

<\/span> Konkretes Beispiel einer einfachen linearen Regression<\/span><\/h2>\n

Um das Verst\u00e4ndnis der einfachen linearen Regressionsmethode zu vervollst\u00e4ndigen, finden Sie hier ein praktisches Schritt-f\u00fcr-Schritt-Beispiel, in dem die Gleichung eines einfachen linearen Regressionsmodells aus einem Satz statistischer Daten berechnet wird.<\/p>\n

    \n
  • Nach einer Statistikpr\u00fcfung wurden f\u00fcnf Studenten gefragt, wie viele Stunden sie f\u00fcr die Pr\u00fcfung aufgewendet hatten. Die Daten sind in der folgenden Tabelle aufgef\u00fchrt. F\u00fchren Sie ein einfaches lineares Regressionsmodell der gesammelten statistischen Daten durch, um die Lernstunden linear mit der erreichten Note in Beziehung zu setzen. <\/li>\n<\/ul>\n
    \"\"<\/figure>\n

    Um ein einfaches lineares Regressionsmodell durchzuf\u00fchren, m\u00fcssen wir die Koeffizienten b 0<\/sub> und b 1<\/sub> der Gleichung bestimmen und daf\u00fcr die Formeln aus dem obigen Abschnitt verwenden.<\/p>\n

    Um jedoch die einfachen linearen Regressionsformeln anzuwenden, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst den Mittelwert der unabh\u00e4ngigen Variablen und den Mittelwert der abh\u00e4ngigen Variablen berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{c}\\overline{x}=\\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\\\[4ex]\\overline{y}=\\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\\end{array}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Nachdem wir nun die Mittelwerte der Variablen kennen, berechnen wir den Koeffizienten b 1<\/sub> des Modells mithilfe der entsprechenden Formel:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Schlie\u00dflich berechnen wir den Koeffizienten b 0<\/sub> des Modells mithilfe der entsprechenden Formel:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\\\[3ex]b_0=6-0,4412\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

    Kurz gesagt lautet die Gleichung f\u00fcr das einfache lineare Regressionsmodell des Problems:<\/p>\n<\/p>\n

    \"y=2,0294+0,4412x\"<\/p>\n<\/p>\n

    Unten sehen Sie die grafische Darstellung der Beispieldaten sowie die Gerade des einfachen linearen Regressionsmodells: <\/p>\n

    \"einfaches<\/figure>\n

    Nachdem wir schlie\u00dflich die Gleichung des einfachen linearen Regressionsmodells berechnet haben, m\u00fcssen wir nur noch das erhaltene Ergebnis interpretieren. Hierzu ist es unerl\u00e4sslich, das Bestimmtheitsma\u00df des Regressionsmodells zu berechnen, wie das geht, k\u00f6nnen Sie nachschauen, indem Sie auf unserer Website nach dem entsprechenden Artikel suchen. <\/p>\n

    <\/span> Einfache lineare Regressionsannahmen<\/span><\/h2>\n

    Um eine einfache lineare Regression durchzuf\u00fchren, m\u00fcssen die folgenden Annahmen erf\u00fcllt sein:<\/p>\n

      \n
    • Unabh\u00e4ngigkeit<\/strong> : Die beobachteten Reste m\u00fcssen unabh\u00e4ngig voneinander sein. Eine g\u00e4ngige Methode zur Sicherstellung der Modellunabh\u00e4ngigkeit besteht darin, dem Stichprobenverfahren Zuf\u00e4lligkeit hinzuzuf\u00fcgen.<\/span><\/li>\n
    • Homoskedastizit\u00e4t<\/strong> : Die Varianzen der Residuen m\u00fcssen homogen sein, d. h. die Variabilit\u00e4t der Residuen muss konstant sein.<\/span><\/li>\n
    • Normalit\u00e4t<\/strong> : Die Residuen m\u00fcssen normalverteilt sein, d. h. sie m\u00fcssen einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 folgen.<\/span><\/li>\n
    • Linearit\u00e4t<\/strong> \u2013 Die Beziehung zwischen der unabh\u00e4ngigen Variablen und der abh\u00e4ngigen Variablen sollte linear sein.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n

      <\/span> Einfacher linearer Regressionsrechner<\/span><\/h2>\n

      Geben Sie Beispieldaten in den Rechner unten ein, um ein einfaches lineares Regressionsmodell zwischen zwei Variablen anzupassen. Sie m\u00fcssen die Datenpaare trennen, sodass im ersten Feld nur die Werte der unabh\u00e4ngigen Variablen X und im zweiten Feld nur die Werte der abh\u00e4ngigen Variablen Y stehen.<\/p>\n

      Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.<\/p>\n

      \n
        \n
      • Unabh\u00e4ngige Variable <\/li>\n<\/ul>\n