Die Methode der kleinsten Quadrate<\/strong> ist eine statistische Methode zur Bestimmung der Gleichung einer Regression. Mit anderen Worten: Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein Kriterium, das in einem Regressionsmodell verwendet wird, um den Fehler zu minimieren, der bei der Berechnung der Regressionsgleichung entsteht.<\/p>\n Konkret besteht die Methode der kleinsten Quadrate darin, die Summe der Quadrate der Residuen zu minimieren, oder mit anderen Worten, sie basiert auf der Minimierung der Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den vom Regressionsmodell vorhergesagten Werten und den beobachteten Werten . . Im Folgenden werden wir im Detail sehen, wie ein Regressionsmodell anhand des Kriteriums der kleinsten Quadrate angepasst wird.<\/p>\n Das Hauptmerkmal der Methode der kleinsten Quadrate besteht darin, dass die l\u00e4ngsten Abst\u00e4nde zwischen den beobachteten Werten und der Regressionsfunktion minimiert werden. Im Gegensatz zu anderen Regressionskriterien ist es bei der Methode der kleinsten Quadrate wichtiger, gro\u00dfe Residuen zu minimieren als kleine Residuen, da das Quadrat einer gro\u00dfen Zahl viel gr\u00f6\u00dfer ist als das Quadrat einer kleinen Zahl. Nummer.<\/p>\n Um das Konzept der kleinsten Quadrate vollst\u00e4ndig zu verstehen, m\u00fcssen wir uns zun\u00e4chst dar\u00fcber im Klaren sein, was Residuen in einem Regressionsmodell sind. Wir werden daher im Folgenden sehen, was ein Sch\u00e4tzfehler ist und wie er berechnet wird.<\/p>\n In der Statistik ist der Sch\u00e4tzfehler<\/strong> , auch Residuum<\/strong> genannt, die Differenz zwischen dem wahren Wert und dem durch das Regressionsmodell angepassten Wert. Ein statistisches Residuum wird daher wie folgt berechnet:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist der Rest der Daten i.<\/li>\n ist der wahre Wert der Daten i.<\/li>\n ist der Wert, der vom Regressionsmodell f\u00fcr Daten i bereitgestellt wird.<\/li>\n<\/ul>\n Je gr\u00f6\u00dfer also das Residuum eines Datenst\u00fccks ist, desto schlechter ist das Regressionsmodell an dieses Datenst\u00fcck angepasst. Je kleiner also ein Residuum ist, desto geringer ist der Abstand zwischen seinem tats\u00e4chlichen Wert und seinem vorhergesagten Wert.<\/p>\n Wenn das Residuum eines Datenelements ebenfalls positiv ist, bedeutet dies, dass das Regressionsmodell einen Wert vorhersagt, der unter dem wahren Wert liegt. Wenn das Residuum hingegen negativ ist, bedeutet dies, dass der vorhergesagte Wert gr\u00f6\u00dfer als der tats\u00e4chliche Wert ist. <\/p>\n Da wir nun wissen, was ein Residuum in der Statistik ist, wird es einfacher zu verstehen, wie Fehlerquadrate minimiert werden.<\/p>\n Das Quadrat eines Fehlers<\/strong> ist das Quadrat eines Residuums. Das Quadrat eines Fehlers entspricht also der Differenz zwischen dem wahren Wert und dem durch das Regressionsmodell angepassten Wert, hochgerechnet auf die Zweierpotenz.<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist das Quadrat des Residuums der Daten i.<\/li>\n ist der wahre Wert der Daten i.<\/li>\n ist der Wert, der vom Regressionsmodell f\u00fcr Daten i bereitgestellt wird.<\/li>\n<\/ul>\n Somit besteht die Methode der kleinsten Quadrate darin, ein Regressionsmodell zu erstellen , indem die Summe der Fehlerquadrate minimiert wird<\/strong> . Das Kriterium der kleinsten Quadrate basiert daher auf der Minimierung des folgenden Ausdrucks:<\/p>\n<\/p>\n Aus diesem Grund wird das Kriterium der kleinsten Quadrate auch als Kriterium der kleinsten Quadrate bezeichnet.<\/p>\n Wie Sie in der vorherigen Formel sehen k\u00f6nnen, legt das Kriterium der kleinsten Quadrate mehr Wert auf die Minimierung gro\u00dfer Residuen als auf die Minimierung kleiner Residuen. Wenn beispielsweise ein Rest 3 und ein anderer Rest 5 ist, sind ihre Quadrate 9 bzw. 25, sodass das Kriterium der kleinsten Quadrate der Minimierung des zweiten Rests Vorrang vor dem ersten Rest einr\u00e4umt. <\/p>\n Die Anpassung eines Regressionsmodells mithilfe des Kriteriums der kleinsten Quadrate<\/strong> besteht darin, ein Regressionsmodell zu finden, das die Quadrate der Residuen minimiert. Daher ist die aus dem Regressionsmodell erhaltene Gleichung eine Gleichung, deren Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten Werten und den angepassten Werten minimal sind.<\/p>\n Beachten Sie im folgenden Beispiel, dass es mehr Kriterien f\u00fcr die Erstellung eines Regressionsmodells gibt und je nach gew\u00e4hltem Kriterium die Regressionsgleichung unterschiedlich ist. <\/p>\n Wie Sie in den vorherigen Beispielen sehen k\u00f6nnen, h\u00e4ngt die aus dem linearen Regressionsmodell f\u00fcr denselben Datensatz erhaltene Linie vom gew\u00e4hlten Kriterium ab. Im Allgemeinen wird in Regressionsmodellen das Kriterium der kleinsten Quadrate verwendet.<\/p>\n Das in der Statistik am weitesten verbreitete Regressionsmodell ist das einfache lineare Regressionsmodell, das darin besteht, die Beziehung zwischen der unabh\u00e4ngigen Variablen X und der abh\u00e4ngigen Variablen Y mithilfe einer Geraden zu approximieren.<\/p>\n<\/p>\n Die Formeln zum Anpassen eines Datensatzes an ein einfaches lineares Regressionsmodell lauten also:<\/p>\n<\/p>\n Ein Beispiel daf\u00fcr, wie ein einfaches lineares Regressionsmodell mithilfe des Kriteriums der kleinsten Quadrate berechnet wird, k\u00f6nnen Sie sehen, indem Sie auf den folgenden Link klicken: <\/p>\n<\/span> Sch\u00e4tzfehler<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/span> Fehlerquadrate minimieren<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Anpassung der kleinsten Quadrate<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n