{"id":305,"date":"2023-08-02T18:39:40","date_gmt":"2023-08-02T18:39:40","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/bestimmtheitsmass-r-im-quadrat\/"},"modified":"2023-08-02T18:39:40","modified_gmt":"2023-08-02T18:39:40","slug":"bestimmtheitsmass-r-im-quadrat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/bestimmtheitsmass-r-im-quadrat\/","title":{"rendered":"Bestimmtheitsma\u00df (r im quadrat)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was das Bestimmtheitsma\u00df (oder R-Quadrat) in der Statistik ist. So erfahren Sie, wie Sie das Bestimmtheitsma\u00df berechnen, wie es interpretiert wird und dar\u00fcber hinaus einen Online-Rechner zur Berechnung des Bestimmtheitsma\u00dfes einer Datenstichprobe. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-coeficiente-de-determinacion-r-cuadrado\"><\/span> Was ist das Bestimmtheitsma\u00df (R im Quadrat)?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Das <strong>Bestimmtheitsma\u00df<\/strong> , dessen Symbol <strong>R <sup>2<\/sup><\/strong> ( <strong>R-Quadrat<\/strong> ) ist, ist eine Statistik, die die Anpassungsg\u00fcte eines Regressionsmodells misst. Das Bestimmtheitsma\u00df zeigt an, wie gut ein Regressionsmodell zu einem Datensatz passt, d. h. es gibt den Prozentsatz an, der durch das Regressionsmodell erkl\u00e4rt wird.<\/p>\n<p> Daher ist das Regressionsmodell umso besser, je h\u00f6her das Bestimmtheitsma\u00df ist. Obwohl diese Bedingung nicht immer erf\u00fcllt ist, sind wir grunds\u00e4tzlich an einem m\u00f6glichst gro\u00dfen Bestimmtheitsma\u00df interessiert. Im Folgenden erfahren Sie, wie das Bestimmtheitsma\u00df zu interpretieren ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Formel zur Bestimmung des Koeffizienten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Das Bestimmtheitsma\u00df ist gleich eins minus dem Verh\u00e4ltnis zwischen der Restvarianz und der Varianz der abh\u00e4ngigen Variablen. Das Bestimmtheitsma\u00df kann auch berechnet werden, indem man von den Residuen \u00fcber die Gesamtsumme der Quadrate eins minus die Summe der Quadrate subtrahiert.<\/p>\n<p> Somit lautet die <strong>Formel zur Berechnung des Bestimmtheitsma\u00dfes<\/strong> wie folgt: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"390\" height=\"298\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/coefficient-de-determination-r-carre-formule.png\" alt=\"Formel f\u00fcr Bestimmtheitsma\u00df, Formel f\u00fcr r-Quadrat\" class=\"wp-image-6598\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7d6931063ed333ca39b952ccfd482b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Bestimmtheitsma\u00df.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25aba4ace37fe21924a7e7013a12f820_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist die Restvarianz.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6d52162ef1ec2e8130fb00687aca707_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Varianz der abh\u00e4ngigen Variablen Y.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d2426a81957d42ba1d03e90ab09e303_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y_{i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der beobachtungsabh\u00e4ngigen Variablen i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d695c8bd6fa2155d85c8699b167f3999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\widehat{y}_{i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der durch das Regressionsmodell f\u00fcr Beobachtung i angen\u00e4herte Wert.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5becac4ccb36fec040f449ba9fa52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert der abh\u00e4ngigen Variablen \u00fcber alle Beobachtungen.<\/li>\n<\/ul>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie das Bestimmtheitsma\u00df f\u00fcr jeden Datensatz berechnen.<\/u><\/p>\n<p> Beim linearen Regressionsmodell entspricht das Bestimmtheitsma\u00df dem Quadrat des <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/pearson-korrelationskoeffizient-1\/\">Korrelationskoeffizienten<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6812088c3fb9d2efc5807244046e3d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2=\\cfrac{\\sigma_{XY}^2}{\\sigma_X^2\\sigma_Y^2}=\\rho^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -18px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79f46756b768c4ccda071fed1bcc144a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_{XY}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/kovarianz\/\">Kovarianz<\/a> der Variablen X und Y,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3c8551c63e9116f7df70371c127741a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_X^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03e4ace849d460fee5d2f7879630b3b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_Y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sind die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/varianz\/\">Varianzen<\/a> der unabh\u00e4ngigen Variablen X bzw. der abh\u00e4ngigen Variablen Y. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Bestimmtheitsma\u00dfrechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Geben Sie Beispieldaten in den Rechner unten ein, um ein einfaches lineares Regressionsmodell anzupassen und dessen Bestimmtheitsma\u00df zu berechnen. Sie m\u00fcssen die Datenpaare trennen, sodass im ersten Feld nur die Werte der unabh\u00e4ngigen Variablen X und im zweiten Feld nur die Werte der abh\u00e4ngigen Variablen Y stehen.<\/p>\n<p> Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Unabh\u00e4ngige Variable <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable explicativa aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Abh\u00e4ngige Variable Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable respuesta aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Berechnung\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Interpretation des Bestimmtheitsma\u00dfes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie das Bestimmtheitsma\u00df zu interpretieren ist, da es keinen Sinn macht, den Wert des Bestimmtheitsma\u00dfes zu kennen, wenn Sie sp\u00e4ter nicht wissen, was es bedeutet.<\/p>\n<p> Der Wert des Bestimmtheitsma\u00dfes kann zwischen 0 und 1 liegen, wird jedoch normalerweise in Prozent ausgedr\u00fcckt, sodass das Minimum 0 % und das Maximum 100 % betr\u00e4gt.<\/p>\n<p> Was die <strong>Interpretation des Bestimmtheitsma\u00dfes<\/strong> betrifft, bedeutet ein h\u00f6herer Wert, dass das Regressionsmodell die Datenstichprobe besser erkl\u00e4rt. Je n\u00e4her das Bestimmtheitsma\u00df also bei 1 liegt, desto st\u00e4rker wird das Modell angepasst. Andererseits ist das erstellte Regressionsmodell umso weniger zuverl\u00e4ssig, je n\u00e4her es bei 0 liegt.<\/p>\n<p> Beim Vergleich zweier Regressionsmodelle ist jedoch nicht immer das Modell mit einem h\u00f6heren Regressionskoeffizienten besser. Beispielsweise kann ein Regressionsmodell einen Regressionskoeffizienten R <sup>2<\/sup> = 100 % haben, da dem Modell viele erkl\u00e4rende Variablen hinzugef\u00fcgt wurden und es daher alle Beobachtungen perfekt erkl\u00e4ren kann. Aber dieses Modell liefert sicherlich eine sehr schlechte Vorhersage f\u00fcr einen neuen Wert, der nicht zur Erstellung des Regressionsmodells verwendet wurde.<\/p>\n<p> Es sollte auch ber\u00fccksichtigt werden, dass das resultierende Regressionsmodell die vorherigen Annahmen erf\u00fcllt. Daher ist ein Modell mit einem sehr hohen Bestimmtheitsma\u00df nutzlos, wenn die Variabilit\u00e4t seiner Residuen nicht konstant ist (Homoskedastizit\u00e4t).<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus <strong>stellt das Bestimmtheitsma\u00df eine wichtige Grenze dar,<\/strong> da es die Einbeziehung erkl\u00e4render Variablen nicht beeintr\u00e4chtigt. Logischerweise gilt: Je mehr erkl\u00e4rende Variablen ein Regressionsmodell hat, desto komplexer ist das Modell, aber desto besser erkl\u00e4rt es die beobachteten Daten und desto h\u00f6her ist daher das Bestimmtheitsma\u00df. Das angepasste Bestimmtheitsma\u00df ber\u00fccksichtigt jedoch die Anzahl der Variablen im Modell (wie es berechnet wird, sehen wir weiter unten).<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass das Bestimmtheitsma\u00df f\u00fcr die Analyse eines Regressionsmodells sehr n\u00fctzlich ist, da es uns Aufschluss dar\u00fcber gibt, wie gut das Regressionsmodell zum Datensatz passt. Zur \u00dcberpr\u00fcfung des resultierenden Modells sollten jedoch auch andere Tools verwendet werden, beispielsweise <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/statistisches-diagramm\/\">statistische Diagramme<\/a> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"coeficiente-de-determinacion-ajustado\"><\/span> Angepasster Bestimmungskoeffizient<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Das <strong>angepasste Bestimmtheitsma\u00df<\/strong> , auch <strong>angepasstes Bestimmtheitsma\u00df<\/strong> genannt, misst die Anpassungsg\u00fcte eines Regressionsmodells, indem es die Anzahl der im Modell enthaltenen erkl\u00e4renden Variablen ber\u00fccksichtigt.<\/p>\n<p> Der Unterschied zwischen dem <strong>Bestimmtheitsma\u00df und dem angepassten Bestimmtheitsma\u00df<\/strong> besteht darin, dass das Bestimmtheitsma\u00df die Qualit\u00e4t der Anpassung misst, ohne die Anzahl der Variablen zu ber\u00fccksichtigen, wohingegen das angepasste Bestimmtheitsma\u00df die Qualit\u00e4t der Anpassung misst Bestrafung f\u00fcr jede hinzugef\u00fcgte Variable.<\/p>\n<p> Die Formel zur Berechnung des angepassten Bestimmtheitsma\u00dfes lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bab21915405ecf54c525594c50d434cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bar{R}^2=1-\\cfrac{N-1}{N-k-1}\\cdot (1-R^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ae8b56e515d662eca2beb4afd7fb0f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bar{R}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das angepasste Bestimmtheitsma\u00df.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7d6931063ed333ca39b952ccfd482b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Bestimmtheitsma\u00df.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7354bae77b50b7d1faed3e8ea7a3511a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Anzahl der erkl\u00e4renden Variablen im Regressionsmodell.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Daher ist das angepasste Bestimmtheitsma\u00df besser als das Bestimmtheitsma\u00df f\u00fcr den Vergleich zweier verschiedener Modelle, da die Modelle eine unterschiedliche Anzahl erkl\u00e4render Variablen haben k\u00f6nnen. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/angepasstes-bestimmtheitsmass-r-angepasstes-quadrat\/\">Angepasster Bestimmtheitskoeffizient<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was das Bestimmtheitsma\u00df (oder R-Quadrat) in der Statistik ist. 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