{"id":308,"date":"2023-08-02T17:33:25","date_gmt":"2023-08-02T17:33:25","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/regressionslinie\/"},"modified":"2023-08-02T17:33:25","modified_gmt":"2023-08-02T17:33:25","slug":"regressionslinie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/regressionslinie\/","title":{"rendered":"Regressionslinie"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was eine Regressionslinie in der Statistik ist. So finden Sie Informationen zur Berechnung der Regressionsgeraden zwischen zwei Variablen, eine gel\u00f6ste \u00dcbung und dar\u00fcber hinaus einen Online-Rechner zur Berechnung der Regressionsgeraden f\u00fcr jede Datenstichprobe. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-recta-de-regresion\"><\/span> Was ist die Regressionslinie?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Statistik ist die <strong>Regressionsgerade<\/strong> die Linie, die aus einem <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einfache-lineare-regression\/\">einfachen linearen Regressionsmodell<\/a> erhalten wird. Genauer gesagt ist die Regressionslinie die Linie, die am besten zu einem Streudiagramm passt und daher einen Satz statistischer Daten am besten beschreibt.<\/p>\n<p> Somit setzt die Regressionsgeradengleichung die unabh\u00e4ngige Variable X und die abh\u00e4ngige Variable Y eines Datensatzes mathematisch in Beziehung. Obwohl die Regressionsgerade im Allgemeinen nicht in der Lage ist, den Wert jeder Beobachtung genau zu bestimmen, kann sie eine Ann\u00e4herung an ihren Wert liefern. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/ligne-de-regression.png\" alt=\"Regressionslinie\" class=\"wp-image-6708\" width=\"235\" height=\"219\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Wie Sie in der vorherigen Grafik sehen k\u00f6nnen, hilft uns die Regressionslinie dabei, den Trend eines Datensatzes zu erkennen und zu erkennen, welche Art von Beziehung zwischen der unabh\u00e4ngigen Variablen und der abh\u00e4ngigen Variablen besteht. Im Folgenden betrachten wir Anwendungen der Regressionsgeraden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Regressionslinienformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die Definition der Regressionsgeraden kennen, sehen wir uns an, wie die Gleichung der Geraden eines linearen Regressionsmodells berechnet wird.<\/p>\n<p> Wie jede Gerade besteht die Gleichung der Regressionsgeraden aus einer Konstante (b <sub>0<\/sub> ) und einer Steigung (b <sub>1<\/sub> ):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92da05e7be03363fecef8974393a84fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=b_0+b_1x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit lauten die <strong>Formeln zur Berechnung der Koeffizienten der linearen Regressionsgeraden<\/strong> wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dc6f56cacf0a233977c358d6a62fca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}\\\\[12ex]b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"176\" width=\"190\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81208591cba625e2b376233eb1869a4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die Konstante der Regressionsgeraden.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19b7b5affd373068ff85c800b567b901_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die Steigung der Regressionsgeraden.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen X der Daten i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-761333a1d61654bd1cb5c7224b0d1994_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der abh\u00e4ngigen Variablen Y der Daten i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der Durchschnitt der Werte der unabh\u00e4ngigen Variablen<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5becac4ccb36fec040f449ba9fa52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Durchschnitt der Werte der abh\u00e4ngigen Variablen Y.<\/li>\n<\/ul>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Regressionsgerade f\u00fcr jeden Datensatz berechnen.<\/u> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Konkretes Beispiel der Regressionsgeraden<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um das Konzept einer Regressionslinie weiter zu untersuchen, finden Sie unten ein Beispiel f\u00fcr die Erstellung einer Regressionslinie.<\/p>\n<ul>\n<li> Nach der Ablegung einer Statistikpr\u00fcfung wurden f\u00fcnf Studenten gefragt, wie viele Stunden sie f\u00fcr die Pr\u00fcfung aufgewendet hatten. Die Daten sind in der folgenden Tabelle aufgef\u00fchrt. Berechnen Sie die Regressionsgerade aus den gesammelten statistischen Daten, um die Lernstunden linear mit der erzielten Note in Beziehung zu setzen. Bestimmen Sie als N\u00e4chstes, welche Note ein Sch\u00fcler erh\u00e4lt, der 8 Stunden gelernt hat. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/donnees-de-regression-lineaire-simple.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-6503\" width=\"213\" height=\"220\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Um die Regressionsgerade f\u00fcr die Beispieldaten zu finden, m\u00fcssen wir die Koeffizienten b <sub>0<\/sub> und b <sub>1<\/sub> der Gleichung bestimmen und dazu die Formeln aus dem obigen Abschnitt verwenden.<\/p>\n<p> Um jedoch die Formeln f\u00fcr die lineare Regressionsgerade anzuwenden, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst den Mittelwert der unabh\u00e4ngigen Variablen und den Mittelwert der abh\u00e4ngigen Variablen berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a7aa6f1f20fa4ff0d61a2ad0dd2ea1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\overline{x}=\\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\\\[4ex]\\overline{y}=\\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"105\" width=\"226\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nachdem wir nun die Mittelwerte der Variablen kennen, berechnen wir den Koeffizienten b <sub>1<\/sub> des Modells mithilfe der entsprechenden Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9d90c766487cd7b6924e6b23d2d9c78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}\\\\[10ex] b_1=\\cfrac{\\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\\\[6ex]b_1=0,4412\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"264\" width=\"459\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich berechnen wir den Koeffizienten b <sub>0<\/sub> des Modells mithilfe der entsprechenden Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c72e6b89a75681a88cf751ca39079240_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\\\[3ex]b_0=6-0,4412\\cdot 9 \\\\[3ex]b_0=2,0294\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"106\" width=\"144\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt lautet die Gleichung der linearen Regressionslinie des Problems wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7097952b105295743a390d0332e7a2b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=2,0294+0,4412x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Unten sehen Sie die grafische Darstellung der Beispieldaten sowie die Gerade des einfachen linearen Regressionsmodells: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-de-regression-lineaire-simple.png\" alt=\"Beispiel einer linearen Regressionslinie\" class=\"wp-image-6517\" width=\"454\" height=\"304\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Sobald wir die Regressionsgerade berechnet haben, setzen Sie diesen Wert einfach in die Gleichung der erhaltenen Regressionsgerade ein, um die Note vorherzusagen, die ein Sch\u00fcler erhalten wird, der 8 Stunden studiert hat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1ef36c064448262d7c58b7f51b215c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=2,0294+0,4412\\cdot 8=5,56\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nach dem durchgef\u00fchrten linearen Regressionsmodell erh\u00e4lt ein Student, der acht Stunden lang lernt, in der Pr\u00fcfung eine Punktzahl von 5,56. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfpara-que-sirve-una-recta-de-regresion\"><\/span> Wozu dient eine Regressionsgerade?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Regressionsgerade hat im Wesentlichen zwei Verwendungszwecke: Die Regressionsgerade wird verwendet, um festzustellen, welche Art von Beziehung zwischen zwei Variablen besteht, und andererseits erm\u00f6glicht die Regressionsgerade auch eine Vorhersage \u00fcber den Wert einer neuen Beobachtung.<\/p>\n<p> Die Steigung der Regressionsgeraden sagt uns, wie die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/korrelation\/\">Korrelation<\/a> zwischen der unabh\u00e4ngigen Variablen und der abh\u00e4ngigen Variablen ist. Wenn die Steigung positiv ist, bedeutet dies, dass die abh\u00e4ngige Variable direkt proportional zur unabh\u00e4ngigen Variablen ist. Wenn die Steigung negativ ist, bedeutet dies, dass die Variablen umgekehrt proportional sind. Liegt der Steigungskoeffizient schlie\u00dflich sehr nahe bei Null, bedeutet dies, dass die Korrelation zwischen den beiden Variablen sehr schwach ist.<\/p>\n<p> Wenn au\u00dferdem die Gleichung der Regressionsgeraden bekannt ist, kann der Wert der abh\u00e4ngigen Variablen f\u00fcr einen neuen Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen vorhergesagt werden, wie wir es im obigen Beispiel getan haben. Je besser also die Regressionsgerade angepasst ist, desto besser sind die Vorhersagen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Regressionslinienrechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Geben Sie eine Stichprobe von Daten in den folgenden Rechner ein, um die Regressionslinie zwischen den beiden Variablen zu berechnen. Sie m\u00fcssen die Datenpaare trennen, sodass im ersten Feld nur die Werte der unabh\u00e4ngigen Variablen X und im zweiten Feld nur die Werte der abh\u00e4ngigen Variablen Y stehen.<\/p>\n<p> Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Unabh\u00e4ngige Variable <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable explicativa aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Abh\u00e4ngige Variable Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable respuesta aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Berechnung\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was eine Regressionslinie in der Statistik ist. 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