{"id":311,"date":"2023-08-02T16:21:11","date_gmt":"2023-08-02T16:21:11","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/multiple-lineare-regression-1\/"},"modified":"2023-08-02T16:21:11","modified_gmt":"2023-08-02T16:21:11","slug":"multiple-lineare-regression-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/multiple-lineare-regression-1\/","title":{"rendered":"Multiple lineare regression"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was multiple lineare Regression in der Statistik ist. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie Sie ein multiples lineares Regressionsmodell erstellen und wie es interpretiert wird. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Was ist multiple lineare Regression?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Bei der multiplen linearen Regression<\/strong> handelt es sich um ein Regressionsmodell, das zwei oder mehr unabh\u00e4ngige Variablen umfasst. Mit anderen Worten handelt es sich bei der multiplen linearen Regression um ein statistisches Modell, das die lineare Verkn\u00fcpfung mehrerer erkl\u00e4render Variablen mit einer Antwortvariablen erm\u00f6glicht.<\/p>\n<p> Daher wird ein multiples lineares Regressionsmodell verwendet, um eine Gleichung zu finden, die zwei oder mehr unabh\u00e4ngige Variablen mit einer abh\u00e4ngigen Variablen in Beziehung setzt. Durch Ersetzen des Werts jeder unabh\u00e4ngigen Variablen wird somit eine N\u00e4herung des Werts der abh\u00e4ngigen Variablen erhalten.<\/p>\n<p> Beispielsweise ist die Gleichung y=3+6x <sub>1<\/sub> -4x <sub>2<\/sub> +7x <sub>3<\/sub> ein multiples lineares Regressionsmodell, da sie drei unabh\u00e4ngige Variablen (x <sub>1<\/sub> , x <sub>2<\/sub> , x <sub>3<\/sub> ) mathematisch mit einem linearen Wertepfad einer abh\u00e4ngigen Variablen (y) in Beziehung setzt . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Formel f\u00fcr die multiple lineare Regression<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Gleichung f\u00fcr ein multiples lineares Regressionsmodell lautet y=\u03b2 <sub>0<\/sub> +\u03b2 <sub>1<\/sub> x <sub>1<\/sub> +\u03b2 <sub>2<\/sub> x <sub>2<\/sub> +\u2026+\u03b2 <sub>m<\/sub> x <sub>m<\/sub> +\u03b5.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3ba8386b5954b654ca555774108ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1 x_1+\\beta_2 x_2+\\dots+\\beta_m x_m+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38461fc041e953482219abf5d4cce1cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist die abh\u00e4ngige Variable.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die unabh\u00e4ngige Variable i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5ba513cc7e504bc674f76afa70a3442_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist die Konstante der multiplen linearen Regressionsgleichung.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff540c55c6ee8f10a1dab8e2422947ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der mit der Variablen verbundene Regressionskoeffizient<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29b8f7fac5f2df4b101dff63e95516c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\varepsilon}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Dabei handelt es sich um den Fehler bzw. Residuum, also um die Differenz zwischen dem beobachteten Wert und dem vom Modell gesch\u00e4tzten Wert.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdc40b8ad1cdad0aab9d632215459d28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Gesamtzahl der Variablen im Modell.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Wenn wir also eine Stichprobe mit insgesamt haben<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Beobachtungen k\u00f6nnen wir das multiple lineare Regressionsmodell in Matrixform vorschlagen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5848686c8ed0857f16e7e24e2a31024e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}y_1\\\\y_2\\\\\\vdots\\\\y_n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}1&amp;x_{11}&amp;\\dots&amp;x_{1m}\\\\1&amp;x_{21}&amp;\\dots&amp;x_{2m}\\\\ \\vdots&amp;\\vdots&amp;\\ddots&amp;\\vdots\\\\1&amp;x_{n1}&amp;\\dots&amp;x_{nm}\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}\\beta_0\\\\\\beta_1\\\\\\vdots\\\\\\beta_m\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\\varepsilon_1\\\\\\varepsilon_2\\\\\\vdots\\\\\\varepsilon_n\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"96\" width=\"370\" style=\"vertical-align: -43px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der obige Array-Ausdruck kann umgeschrieben werden, indem jedem Array ein Buchstabe zugewiesen wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7614ddbb78ced2e2b8b6c7642d9969c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Y=X\\beta+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit ist es durch Anwendung des Kriteriums der kleinsten Quadrate m\u00f6glich, zur <strong>Formel zur Sch\u00e4tzung der Koeffizienten eines multiplen linearen Regressionsmodells<\/strong> zu gelangen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ef097cee722e7355fa4eb77b7ea3e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\widehat{\\beta}=\\left(X^tX\\right)^{-1}X^tY\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Anwendung dieser Formel ist jedoch sehr m\u00fchsam und zeitaufw\u00e4ndig, daher empfiehlt es sich in der Praxis, Computersoftware (wie Minitab oder Excel) zu verwenden, mit der ein Regressionsmodell viel schneller ausgef\u00fchrt werden kann. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"supuestos-de-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Annahmen mehrerer linearer Regressionen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In einem multiplen linearen Regressionsmodell m\u00fcssen die folgenden Bedingungen erf\u00fcllt sein, damit das Modell g\u00fcltig ist:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Unabh\u00e4ngigkeit<\/strong> : Die Residuen m\u00fcssen unabh\u00e4ngig voneinander sein. Eine g\u00e4ngige Methode zur Sicherstellung der Modellunabh\u00e4ngigkeit besteht darin, dem Stichprobenverfahren Zuf\u00e4lligkeit hinzuzuf\u00fcgen.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Homoskedastizit\u00e4t<\/strong> : Die Varianzen der Residuen m\u00fcssen homogen sein, d. h. die Variabilit\u00e4t der Residuen muss konstant sein.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Nicht-Multikollinearit\u00e4t<\/strong> : Die im Modell enthaltenen erkl\u00e4renden Variablen k\u00f6nnen nicht miteinander verkn\u00fcpft werden oder ihre Beziehung muss zumindest sehr schwach sein.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Normalit\u00e4t<\/strong> : Die Residuen m\u00fcssen normalverteilt sein, d. h. sie m\u00fcssen einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 folgen.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Linearit\u00e4t<\/strong> : Es wird angenommen, dass die Beziehung zwischen der Antwortvariablen und den erkl\u00e4renden Variablen linear ist.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-de-un-modelo-de-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Interpretation eines multiplen linearen Regressionsmodells<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Um ein multiples lineares Regressionsmodell zu interpretieren,<\/strong> m\u00fcssen wir uns das Bestimmtheitsma\u00df (R-Quadrat) ansehen, das den durch das Regressionsmodell erkl\u00e4rten Prozentsatz ausdr\u00fcckt. Je h\u00f6her also das Bestimmtheitsma\u00df, desto st\u00e4rker wird das Modell an die untersuchte Datenstichprobe angepasst. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/bestimmtheitsmass-r-im-quadrat\/\">Bestimmtheitsma\u00df (R im Quadrat)<\/a><\/div>\n<p> Allerdings kann die Anpassungsg\u00fcte eines statistischen Modells irref\u00fchrend sein, insbesondere bei mehreren linearen Regressionsmodellen. Denn wenn man dem Modell eine Variable hinzuf\u00fcgt, erh\u00f6ht sich das Bestimmtheitsma\u00df, auch wenn die Variable nicht signifikant ist. Es ist jedoch notwendig, den Bestimmtheitskoeffizienten zu maximieren, indem versucht wird, die Anzahl der Variablen zu minimieren, da das Modell weniger kompliziert und einfacher zu interpretieren ist.<\/p>\n<p> Um dieses Problem zu l\u00f6sen, muss der angepasste Bestimmtheitskoeffizient (angepasstes R-Quadrat) berechnet werden. Hierbei handelt es sich um einen statistischen Koeffizienten, der die Qualit\u00e4t der Anpassung eines Regressionsmodells misst und im Gegensatz zum nicht angepassten Koeffizienten jede zum Modell hinzugef\u00fcgte Variable bestraft der Entschlossenheit. Dabei wird die Anzahl der Variablen im Modell nicht ber\u00fccksichtigt.<\/p>\n<p> Das angepasste Bestimmtheitsma\u00df erm\u00f6glicht es uns also, die Anpassungsg\u00fcte zweier Modelle mit einer unterschiedlichen Anzahl von Variablen zu vergleichen. Prinzipiell sollte man das Modell w\u00e4hlen, das ein h\u00f6heres angepasstes Bestimmtheitsma\u00df hat, aber wenn die beiden Modelle sehr \u00e4hnliche Werte haben, ist es besser, das Modell mit weniger Variablen zu w\u00e4hlen, weil es einfacher zu interpretieren ist. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/angepasstes-bestimmtheitsmass-r-angepasstes-quadrat\/\">Angepasster Bestimmungskoeffizient (angepasstes R-Quadrat)<\/a><\/div>\n<p> Im Gegensatz dazu geben Regressionskoeffizienten die Beziehung zwischen der erkl\u00e4renden Variablen und der Antwortvariablen an. Wenn der Regressionskoeffizient positiv ist, nimmt die Antwortvariable zu, wenn die erkl\u00e4rende Variable zunimmt. Wenn der Regressionskoeffizient hingegen negativ ist, nimmt die Antwortvariable ab, wenn die erkl\u00e4rende Variable zunimmt.<\/p>\n<p> Damit die vorherige Bedingung erf\u00fcllt ist, m\u00fcssen logischerweise die anderen Variablen konstant bleiben. Deshalb ist es wichtig, dass es keine Multikollinearit\u00e4t zwischen den verschiedenen erkl\u00e4renden Variablen des Modells gibt. Sie k\u00f6nnen sehen, wie die Multikollinearit\u00e4t eines Modells untersucht wird, indem Sie auf unserer Website nach dem entsprechenden Artikel suchen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regresion-lineal-multiple-y-simple\"><\/span> Multiple und einfache lineare Regression<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend werden wir sehen, was die Unterschiede zwischen einem einfachen linearen Regressionsmodell und einem multiplen linearen Regressionsmodell sind, da es sich um zwei in der Statistik weit verbreitete Regressionsmodelle handelt.<\/p>\n<p> Die <strong>einfache lineare Regression<\/strong> ist ein Regressionsmodell, mit dem eine unabh\u00e4ngige Variable in Beziehung gesetzt wird. Die Gleichung eines einfachen linearen Regressionsmodells lautet also wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84736ca4dce84a29289dfa6da60d0242_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1x_1+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher liegt der <strong>Unterschied zwischen multipler linearer Regression und einfacher linearer Regression<\/strong> in der Anzahl erkl\u00e4render Variablen. Ein multiples lineares Regressionsmodell hat zwei oder mehr erkl\u00e4rende Variablen, w\u00e4hrend ein einfaches lineares Regressionsmodell nur eine erkl\u00e4rende Variable hat.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3ba8386b5954b654ca555774108ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1 x_1+\\beta_2 x_2+\\dots+\\beta_m x_m+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die multiple lineare Regression eine Erweiterung der einfachen linearen Regression ist, da einfach mehr erkl\u00e4rende Variablen und ihre jeweiligen Regressionskoeffizienten hinzugef\u00fcgt werden. Allerdings werden die Regressionskoeffizienten unterschiedlich berechnet. Um zu sehen, wie das geht, klicken Sie hier: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einfache-lineare-regression\/\">Einfache lineare Regression<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was multiple lineare Regression in der Statistik ist. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie Sie ein multiples lineares Regressionsmodell erstellen und wie es interpretiert wird. Was ist multiple lineare Regression? Bei der multiplen linearen Regression handelt es sich um ein Regressionsmodell, das zwei oder mehr unabh\u00e4ngige Variablen umfasst. 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