{"id":319,"date":"2023-08-02T13:08:08","date_gmt":"2023-08-02T13:08:08","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-2-test\/"},"modified":"2023-08-02T13:08:08","modified_gmt":"2023-08-02T13:08:08","slug":"chi-quadrat-2-test","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-2-test\/","title":{"rendered":"Chi-quadrat-test"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Chi-Quadrat-Test in der Statistik ist und wof\u00fcr er verwendet wird. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie einen Chi-Quadrat-Test durchf\u00fchren und zus\u00e4tzlich eine Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Was ist der Chi-Quadrat-Test?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der <strong>Chi-Quadrat-Test<\/strong> ist ein statistischer Test, mit dem festgestellt wird, ob ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen der erwarteten H\u00e4ufigkeit und der beobachteten H\u00e4ufigkeit besteht.<\/p>\n<p> Logischerweise folgt die Chi-Quadrat-Teststatistik einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-verteilung\/\">Chi-Quadrat-Verteilung<\/a> . Der Wert der Teststatistik muss daher mit einem bestimmten Wert der Chi-Quadrat-Verteilung verglichen werden. Nachfolgend sehen wir, wie der Chi-Quadrat-Test durchgef\u00fchrt wird.<\/p>\n<p> Diese Art von statistischem Test wird auch als <strong>Pearson-Chi-Quadrat-Test<\/strong> bezeichnet und manchmal durch das Symbol f\u00fcr die Chi-Quadrat-Verteilung dargestellt: <strong>\u03c7\u00b2-Test<\/strong> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Chi-Quadrat-Testformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Chi-Quadrat-Teststatistik entspricht der Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten Werten und den erwarteten Werten geteilt durch die erwarteten Werte.<\/p>\n<p> Die <strong>Formel f\u00fcr den Chi-Quadrat-Test<\/strong> lautet also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca52fc2f501a2bff49c05e6c321e242e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-984dc78529fc235b078a9f3b62d0f0c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist die Chi-Quadrat-Teststatistik, die einer Chi-Quadrat-Verteilung folgt<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dfca2445cd362ac42fb9032c9cf2367_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Freiheitsgrade.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Datenstichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-434bc05ea7818e67065a4f690de03718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"O_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der beobachtete Wert f\u00fcr Daten i.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e6cfc87bb6b00130570c8c9f348b98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der erwartete Wert f\u00fcr Daten i.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Die Nullhypothese beim Hypothesentest eines Chi-Quadrat-Tests besagt, dass die beobachteten Werte den erwarteten Werten entsprechen. Andererseits besteht die Alternativhypothese des Tests darin, dass einer der beobachteten Werte von seinem erwarteten Wert abweicht.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ef850ed6bba6d33fed54194e3e675e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}H_0:O_i=E_i \\quad \\forall i\\\\[2ex]H_1:\\exists \\ O_i\\neq E_i \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Also ein Signifikanzniveau vorausgesetzt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f44d9bbc8046069be4aa2989bff19aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , sollte die berechnete Teststatistik mit dem kritischen Testwert verglichen werden, um zu bestimmen, ob die Nullhypothese oder die Alternativhypothese abzulehnen ist:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn die Teststatistik unter dem kritischen Wert liegt\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , wird die Alternativhypothese abgelehnt (und die Nullhypothese akzeptiert).<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn die Teststatistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert ist\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , wird die Nullhypothese abgelehnt (und die Alternativhypothese akzeptiert). <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b48f7bb620dca865b7e652e81cc247a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\text{Si } \\chi^2<\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_1\\\\[3ex]\\text{Si } \\chi^2>\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_0\\end{array}&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;70&#8243; width=&#8220;243&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Beispiel f\u00fcr den Chi-Quadrat-Test<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die Definition des Chi-Quadrat-Tests und seine Formel gesehen haben, wird unten ein Schritt-f\u00fcr-Schritt-L\u00f6sungsbeispiel pr\u00e4sentiert, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie diese Art von statistischem Test durchgef\u00fchrt wird.<\/p>\n<ul>\n<li> Ein Ladenbesitzer gibt an, dass 50 % seines Umsatzes auf Produkt A entfallen, 35 % seines Umsatzes auf Produkt B und 15 % seines Umsatzes auf Produkt C. Die verkauften Einheiten jedes Produkts entsprechen jedoch denen, die sie pr\u00e4sentieren in der folgenden <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/kontingenztabelle\/\">Kontingenztabelle<\/a> . Analysieren Sie, ob sich die theoretischen Daten des Eigent\u00fcmers statistisch von den tats\u00e4chlich erfassten Daten unterscheiden.<\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Produkt<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Beobachtete Verk\u00e4ufe (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Produkt A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Gesamt<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir die vom Ladenbesitzer erwarteten Werte berechnen. Dazu multiplizieren wir den Prozentsatz der erwarteten Verk\u00e4ufe jedes Produkts mit der Anzahl der erzielten Gesamtverk\u00e4ufe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfd0d5e1cc7a049ddd825c5db9eb4bec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}E_A=800\\cdot 0,5=400\\\\[2ex]E_B=800\\cdot 0,35=280\\\\[2ex]E_A=800\\cdot 0,15=120\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"173\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher lautet die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/haufigkeitsverteilung\/\">H\u00e4ufigkeitsverteilungstabelle<\/a> des Problems wie folgt:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Produkt<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Beobachtete Verk\u00e4ufe (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Erwarteter Umsatz (E <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Produkt A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 400<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 280<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 120<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Gesamt<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Nachdem wir nun alle Werte berechnet haben, wenden wir die Chi-Quadrat-Testformel an, um die Teststatistik zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c76621fbe8504217dfe8ac55b2d6e67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\\\[6ex]\\chi^2=\\cfrac{(453-400)^2}{400}+\\cfrac{(268-280)^2}{280}+\\cfrac{(79-120)^2}{120}\\\\[6ex]\\chi^2=7,02+0,51+14,00\\\\[6ex]\\chi^2=21,53\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"252\" width=\"372\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald der Wert der Teststatistik berechnet ist, verwenden wir die Chi-Quadrat-Verteilungstabelle, um den kritischen Wert des Tests zu ermitteln. Die Chi-Quadrat-Verteilung hat<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ae885b62b57867e96527f583044991_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1=3-1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Freiheitsgrade, also wenn wir ein Signifikanzniveau w\u00e4hlen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76d20f2945704d6640a4b9986b8b7c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha=0,05\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Der kritische Wert des Tests ist wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1850e764fc71b1e7b49b0c4d8133ab89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}=\\ \\color{orange}\\bm{?}\\color{black}\\\\[4ex]\\chi^2_{0,95|2}=5,991\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"78\" width=\"199\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit ist die Teststatistik (21,53) gr\u00f6\u00dfer als der kritische Testwert (5,991), daher wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese akzeptiert. Dies bedeutet, dass die Daten sehr unterschiedlich sind und der Ladenbesitzer daher andere Ums\u00e4tze erwartet als tats\u00e4chlich get\u00e4tigt hat. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90430933949106828df9b184b6215225_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"21,53>5,991 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Se rechaza } H_0&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;17&#8243; width=&#8220;354&#8243; style=&#8220;vertical-align: -4px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Interpretation des Chi-Quadrat-Tests<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Interpretation des Chi-Quadrat-Tests<\/strong> kann nicht allein anhand des erhaltenen Testergebnisses erfolgen, sondern muss mit dem kritischen Wert des Tests verglichen werden.<\/p>\n<p> Logischerweise gilt: Je kleiner der Wert der berechneten Teststatistik, desto \u00e4hnlicher sind die beobachteten Daten den erwarteten Daten. Wenn das Ergebnis des Chi-Quadrat-Tests also 0 ist, bedeutet dies, dass die beobachteten Werte und die erwarteten Werte genau gleich sind. Je gr\u00f6\u00dfer das Testergebnis ist, desto st\u00e4rker weichen die beobachteten Werte von den erwarteten Werten ab.<\/p>\n<p> Um jedoch zu entscheiden, ob die beiden Datens\u00e4tze statistisch unterschiedlich oder gleich sind, muss man den berechneten Testwert mit dem kritischen Testwert vergleichen, um die Nullhypothese oder die Alternativhypothese des Kontrasts zu verwerfen. Wenn die Teststatistik kleiner als der kritische Wert der Verteilung ist, wird die Alternativhypothese abgelehnt. Wenn andererseits die Teststatistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert der Verteilung ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Chi-Quadrat-Test in der Statistik ist und wof\u00fcr er verwendet wird. 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