{"id":32,"date":"2023-08-06T10:52:51","date_gmt":"2023-08-06T10:52:51","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/operationen-mit-ereignissen\/"},"modified":"2023-08-06T10:52:51","modified_gmt":"2023-08-06T10:52:51","slug":"operationen-mit-ereignissen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/operationen-mit-ereignissen\/","title":{"rendered":"Operationen mit ereignissen"},"content":{"rendered":"<p>Hier erkl\u00e4ren wir, welche Operationen mit Ereignissen durchgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen und wie jede Art von Operation mit Ereignissen berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen den Betrieb mit Ereignissen \u00fcben.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-operaciones-con-sucesos\"><\/span> Arten von Operationen mit Ereignissen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es drei Arten von Operationen mit Ereignissen:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/wahrscheinlichkeit-der-vereinigung-von-ereignissen\/\">Vereinigung von Ereignissen<\/a><\/strong> : Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder andere Ereignis eintritt.<\/li>\n<li> <strong><a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\">Schnittmenge von Ereignissen<\/a><\/strong> : Dies ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr Ereignissen.<\/li>\n<li> <strong>Ereignisdifferenz<\/strong> : Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ein anderes Ereignis jedoch nicht gleichzeitig auftritt.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Durch die einfache Definition jeder Art von Ereignisoperation ist es schwierig zu verstehen, wie jede Art von Operation ausgef\u00fchrt wird. Daher werden wir die drei Operationen im Folgenden n\u00e4her erl\u00e4utern.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"union-de-sucesos\"><\/span> Vereinigung von Ereignissen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Vereinigung zweier Ereignisse<\/strong> A und B ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A, Ereignis B oder beide Ereignisse gleichzeitig auftreten.<\/p>\n<p> Das Symbol f\u00fcr die Vereinigung zweier unterschiedlicher Ereignisse ist ein U, die Vereinigung zweier Ereignisse wird also durch ein U in der Mitte der beiden Buchstaben ausgedr\u00fcckt, die die Ereignisse darstellen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50505c0ff1d2e55a78d3f7ff7f84346_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse<\/strong> ist gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses minus der Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispielsweise berechnen wir beim W\u00fcrfeln die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die Ereignisse <em>\u201eEine gerade Zahl w\u00fcrfeln\u201c<\/em> oder <em>\u201eEine Zahl gr\u00f6\u00dfer als 4 w\u00fcrfeln\u201c<\/em> .<\/p>\n<p> Es gibt drei M\u00f6glichkeiten, beim W\u00fcrfeln eine gerade Zahl zu erhalten (2, 4 und 6), die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits gibt es nur zwei Zahlen gr\u00f6\u00dfer als vier (5 und 6), ihre Wahrscheinlichkeit ist daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und der Schnittpunkt der beiden Ereignisse entspricht den Zahlen, die in beiden Ereignissen vorkommen, also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0ba40be6117cc3e22d6d347389dea9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B=\\{6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65de1160fc1ca0bf26e9acf7f5fd8c9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=\\cfrac{1}{6}=0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt, durch die Verkn\u00fcpfung der Ereignisse A und B betr\u00e4gt die Eintrittswahrscheinlichkeit: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cup B)&amp; =P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5+0,33-0,167\\\\[2ex] &amp;=0,67\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interseccion-de-sucesos\"><\/span> Schnittpunkt der Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Der <strong>Schnittpunkt zweier Ereignisse<\/strong> A und B ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten.<\/p>\n<p> Das Symbol f\u00fcr den Schnittpunkt zweier Ereignisse wird durch ein umgekehrtes U dargestellt.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d142a3ddc9de576e468ef331890da9e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse<\/strong> ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen Ereignisses.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Schnittwahrscheinlichkeit zweier Ereignisse zu berechnen, m\u00fcssen diese beiden Ereignisse nat\u00fcrlich kompatibel sein. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/kompatible-veranstaltungen\/\">Welche Veranstaltungen sind kompatibel?<\/a><\/div>\n<p> Als Beispiel ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Ereignisse <em>\u201eerhalte eine gerade Zahl\u201c<\/em> und <em>\u201eerhalte eine Zahl gr\u00f6\u00dfer als 4\u201c<\/em> w\u00e4hrend eines W\u00fcrfelwurfs.<\/p>\n<p> Wie wir oben berechnet haben, betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat eintritt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-3 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der beiden Ereignisse die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-467241b200c59905ecdcb42d834bc7ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cap B)&amp; =P(A)\\cdot P(B)\\\\[2ex] &amp; =0,5\\cdot 0,33\\\\[2ex] &amp;=0,167\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"diferencia-de-sucesos\"><\/span> Unterschied der Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Differenz zweier Ereignisse<\/strong> A minus B entspricht allen Elementarereignissen von A, die nicht in B enthalten sind. Mit anderen Worten: Bei der Differenz zweier Ereignisse A minus B ist Ereignis A erf\u00fcllt, Ereignis B kann jedoch nicht gleichzeitig erf\u00fcllt sein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52a50ded14e604d3d89d5df4d87449e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A-B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Differenzwahrscheinlichkeit zwischen zwei Ereignissen<\/strong> A und B ist gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A minus der Eintrittswahrscheinlichkeit von Elementarereignissen, die A und B gemeinsam haben.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6629f4be6b709ade16ee97ae8a42d8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A-B)=P(A)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nach dem gleichen Beispiel wie bei den beiden vorherigen Operationsarten ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr aus der Differenz des Ereignisses <em>\u201eErhalten einer geraden Zahl\u201c<\/em> minus <em>\u201eErhalten einer Zahl gr\u00f6\u00dfer als 4\u201c<\/em> beim W\u00fcrfeln.<\/p>\n<p> Die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr das Eintreten der Ereignisse A, B und ihres Schnittpunkts sind wie folgt (die detaillierte Berechnung k\u00f6nnen Sie oben sehen): <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-632af7dc98e8dfe1d290dad299b7ed8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B= \\{6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534b4bfc1a446e367ee89c8b92a210e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=\\cfrac{1}{6}= 0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Die Wahrscheinlichkeit, dass der Unterschied zwischen den beiden Ereignissen auftritt, betr\u00e4gt daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7aed40cdbbe256ec9b19c670f1d7607_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A-B)&amp;=P(A)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5-0,167\\\\[2ex] &amp; =0,33\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"237\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurioserweise hat die Differenz der Ereignisse AB die Eigenschaft, auch dem Schnittpunkt zwischen Ereignis A und dem komplement\u00e4ren (oder entgegengesetzten) Ereignis von B zu entsprechen. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef7d6b43d04514a954789f1ca5ef085d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A-B=A\\cap\\overline{B}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"121\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gegenveranstaltung-erganzungsveranstaltung\/\">Was ist eine Begleitveranstaltung?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-operaciones-con-sucesos\"><\/span> \u00dcbungen zu Operationen mit Ereignissen gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl oder eine Zahl kleiner als 3 zu erhalten, wenn man mit einem sechsseitigen W\u00fcrfel w\u00fcrfelt? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In dieser \u00dcbung m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das eine oder andere Ereignis eintritt, also m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der beiden Ereignisse ermitteln.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen daher zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu erhalten, indem wir das Laplacesche Gesetz anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-979ad7431176d3876eefe36603c62fb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero impar})=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"220\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zweitens bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner als 3 zu erhalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5bbf47b98e14d8d013618a4febadd1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero menor que 3})=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"281\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit elementarer Ereignisse, die sich in Ereignissen wiederholen, bei denen es sich nur um die Zahl 1 handelt (nur ungerade kleiner als 3):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-def5fea23c1336469a00fb1d7f8a1c9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero impar y menor que 3})=\\cfrac{1}{6}=0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"356\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich wenden wir die Formel f\u00fcr die Vereinigung zweier Ereignisse an, um ihre Wahrscheinlichkeit herauszufinden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cup B)&amp; =P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5+0,33-0,167\\\\[2ex] &amp;=0,67\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> In eine Schachtel legen wir 3 orangefarbene Kugeln, 2 blaue Kugeln und 5 wei\u00dfe Kugeln. Wir machen das Zufallsexperiment, indem wir einen Ball aufheben, ihn zur\u00fcck in die Schachtel legen und dann einen anderen Ball herausnehmen. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal eine blaue Kugel und beim zweiten Mal eine orangefarbene Kugel zu ziehen? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um dieses Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir den Schnittpunkt der beiden Ereignisse berechnen, da wir wollen, dass beide Elementarereignisse wahr sind.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen daher zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Ball zu fangen, indem wir die Laplace-Regel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2115f0ea9c6fe50a8dab8d498b4ef634_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{sacar bola azul})=\\cfrac{2}{3+2+5}=0,2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir ermitteln dann die Wahrscheinlichkeit, eine orangefarbene Kugel zu erhalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edba4b58924cad3279e8aef1c629e272_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{sacar bola naranja})=\\cfrac{3}{3+2+5}=0,3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich berechnen wir die Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse, indem wir die beiden gefundenen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfcbe0cbee264116460aa623fe22b8f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cap B)&amp; =P(A)\\cdot P(B)\\\\[2ex] &amp; =0,2\\cdot 0,3\\\\[2ex] &amp;=0,06\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Chance, beim ersten Versuch einen blauen Ball und beim zweiten Versuch einen orangefarbenen Ball zu fangen, nur bei 6 % liegt.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Die Wahrscheinlichkeit, dass Marta eine Pr\u00fcfung besteht, betr\u00e4gt 1\/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass Juan dieselbe Pr\u00fcfung besteht, betr\u00e4gt 2\/5. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass Marta Erfolg hat und Juan scheitert? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In dieser \u00dcbung m\u00fcssen wir die Differenz zwischen den beiden Ereignissen berechnen, da wir m\u00f6chten, dass Marta zustimmt, nicht aber Juan. Verwenden Sie dazu einfach die Formel f\u00fcr diese Art von Operation mit Ereignissen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0e95b0b85a9436f42caf8eaa44f2a38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle A-B =A\\cap\\overline{B}=\\\\[2ex]\\displaystyle =\\frac{1}{3}\\cdot \\left(1-\\frac{2}{5}\\right) = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{5}=\\\\[3ex] =\\cfrac{3}{15} = 0,2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"194\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Wahrscheinlichkeit, dass Marta Erfolg hat und Juan gleichzeitig scheitert, liegt daher bei 20 %.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erkl\u00e4ren wir, welche Operationen mit Ereignissen durchgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen und wie jede Art von Operation mit Ereignissen berechnet wird. 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