{"id":36,"date":"2023-08-06T08:15:33","date_gmt":"2023-08-06T08:15:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit\/"},"modified":"2023-08-06T08:15:33","modified_gmt":"2023-08-06T08:15:33","slug":"bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit\/","title":{"rendered":"Bedingte wahrscheinlichkeit (oder bedingte wahrscheinlichkeit)"},"content":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, was eine bedingte Wahrscheinlichkeit (bzw. bedingte Wahrscheinlichkeit) ist. Wir erkl\u00e4ren anhand eines Beispiels, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet wird und welche Eigenschaften diese Art von Wahrscheinlichkeit hat. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste bedingte Wahrscheinlichkeits\u00fcbungen \u00fcben. <\/p>\n

<\/span> Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?<\/span><\/h2>\n

Die bedingte Wahrscheinlichkeit<\/strong> , auch bedingte Wahrscheinlichkeit<\/strong> genannt, ist ein statistisches Ma\u00df, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Ereignis A eintritt, wenn ein anderes Ereignis B eintritt. Das hei\u00dft, die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, nachdem Ereignis B bereits eingetreten ist.<\/p>\n

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird mit einem vertikalen Balken zwischen den beiden Ereignissen geschrieben: P(A|B) und lautet: \u201edie bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B\u201c.<\/p>\n

Beachten Sie, dass der bedingte Wahrscheinlichkeitswert eine Zahl zwischen 0 und 1 ist. Je h\u00f6her die bedingte Wahrscheinlichkeit, desto wahrscheinlicher ist es, dass Ereignis A eintritt, wenn Ereignis B eintritt. Je niedriger die bedingte Wahrscheinlichkeit, desto unwahrscheinlicher ist es jedoch, dass Ereignis A eintritt wird eintreten, wenn Ereignis B eintritt. <\/p>\n

<\/span> Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel<\/span><\/h2>\n

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B<\/strong> ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zwischen Ereignis A und Ereignis B dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. <\/p>\n

\"bedingte<\/figure>\n

Beachten Sie, dass die Formel f\u00fcr die bedingte Wahrscheinlichkeit (oder bedingte Wahrscheinlichkeit) nur verwendet werden kann, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit des unbedingten Ereignisses ungleich Null ist, dh P(B)\u22600. Oder mit anderen Worten, ob das Eintreten von Ereignis B m\u00f6glich ist.<\/p>\n

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann auch aus ihrer Umkehrung berechnet werden, dh wenn P(B|A) bekannt ist, kann P(A|B) bestimmt werden. Aber dazu m\u00fcssen Sie den Satz von Bayes anwenden. Woraus dieser Satz besteht, k\u00f6nnen Sie hier sehen: <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Was ist der Satz von Bayes?<\/a> <\/div>\n

<\/span> Beispiel f\u00fcr bedingte Wahrscheinlichkeit<\/span><\/h2>\n

Sobald wir die Definition und Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit gesehen haben, werden wir Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel dieser Art von Wahrscheinlichkeit l\u00f6sen, um ihre Bedeutung vollst\u00e4ndig zu verstehen.<\/p>\n

    \n
  • Nachdem eine Klasse mit 30 Sch\u00fclern eine Pr\u00fcfung abgelegt hatte, wurden Daten gesammelt, um herauszufinden, wie viele Sch\u00fcler lernten und wie viele bestanden. Die Ergebnisse sind in der folgenden Kontingenztabelle dargestellt. Berechnen Sie aus den gesammelten Daten die bedingte Wahrscheinlichkeit, eine Pr\u00fcfung zu bestehen, wenn Sie bereits studiert haben. <\/li>\n<\/ul>\n
    \"\u00dcbung<\/figure>\n

    Um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu erhalten, m\u00fcssen wir die Formel anwenden, die wir zuvor gesehen haben:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Daher m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein Student studiert, studiert und bestanden hat. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein Student studiert hat, m\u00fcssen wir lediglich die Laplace-Regel anwenden, das hei\u00dft, wir dividieren die Anzahl der Studenten, die studiert haben, durch die Gesamtzahl der Beobachtungen:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{estudiado})=\\cfrac{23}{30}=0,77\"<\/p>\n<\/p>\n

    Und wir k\u00f6nnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student gleichzeitig studiert und bestanden hat, aus der Kontingenztabelle ermitteln, indem wir die Anzahl der Studenten, die studiert und bestanden haben, durch die Gesamtzahl dividieren:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Somit betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student eine Pr\u00fcfung besteht, wenn er studiert hat: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})&=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Bedingte Wahrscheinlichkeit abh\u00e4ngiger und unabh\u00e4ngiger Ereignisse<\/span><\/h2>\n

    In diesem Abschnitt werden wir sehen, welche Beziehung zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und abh\u00e4ngigen und unabh\u00e4ngigen Ereignissen (oder abh\u00e4ngigen und unabh\u00e4ngigen Ereignissen) besteht. Denn obwohl es sich um unterschiedliche Konzepte handelt, sind diese beiden Arten von Ereignissen mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit verbunden.<\/p>\n

    Zwei Ereignisse (oder Ereignisse) sind unabh\u00e4ngig, wenn ihre Eintrittswahrscheinlichkeit nicht voneinander abh\u00e4ngt. In einem solchen Fall entspricht der Schnittpunkt zwischen den beiden Ereignissen dem Produkt der Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ereignisses. Und deshalb wird die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel vereinfacht:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)=\\cfrac{P(A\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Kurz gesagt: Wenn die Ereignisse A und B unabh\u00e4ngig sind, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B genau gleich der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.<\/strong><\/p>\n

    Wenn andererseits zwei Ereignisse voneinander abh\u00e4ngig sind, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses abh\u00e4ngt. Wenn also zwei Ereignisse A und B abh\u00e4ngig sind, unterscheidet sich die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B von der Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A.<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)\\neq<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> \u00dcbungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n

    \u00dcbung 1<\/h3>\n

    Wir wissen, dass in einer T\u00fcte voller Kugeln die H\u00e4lfte orange und die andere H\u00e4lfte gr\u00fcn ist. Dar\u00fcber hinaus sind ein Drittel aller B\u00e4lle orange und gleichzeitig mit einem Schild gekennzeichnet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine orangefarbene Kugel, wenn Sie sie ziehen, das Signal empf\u00e4ngt? <\/p>\n

    \n
    Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Um die Aufgabe zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel anwenden, die lautet:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Die Problemstellung sagt uns, dass die H\u00e4lfte der T\u00fcte aus Orangen besteht. Daher betr\u00e4gt die theoretische Wahrscheinlichkeit, einen orangefarbenen Ball aufzuheben, 50 %.<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{naranja})=\\cfrac{1}{2}=0,5\"<\/p>\n<\/p>\n

    Andererseits wissen wir, dass ein Drittel der Gesamtmenge aus orangefarbenen Kugeln besteht und ein Signal hat. Die Wahrscheinlichkeit, eine orangefarbene Kugel mit einem Signal zu erhalten, betr\u00e4gt also:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Schlie\u00dflich setzen wir die berechneten Wahrscheinlichkeiten in die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel ein, um ihren Wert zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})&=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    Zusammenfassend betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit dem Signal zu ziehen, wenn diese orange ist, 66 %.<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u00dcbung 2<\/h3>\n

    Wenn wir sechs blaue Stifte und drei schwarze Stifte in einer Box haben, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen blauen Stift zu zeichnen, und die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Stifte nacheinander zu zeichnen. <\/p>\n

    \n
    Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, einmal einen blauen Stift in die Hand zu nehmen, verwenden Sie einfach das Laplacesche Gesetz:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul})=\\cfrac{6}{6+3}=0,67\"<\/p>\n<\/p>\n

    Das Problem fordert uns auch auf, die Wahrscheinlichkeit zu kennen, zwei blaue Stifte nacheinander in die Hand zu nehmen, d. h. die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen blauen Stift in die Hand zu nehmen, wenn wir bereits zuvor einen blauen Stift in die Hand genommen haben.<\/p>\n

    Wenn wir einen blauen Stift zeichnen, haben wir einen ung\u00fcnstigeren Fall, aber insgesamt gibt es auch einen Stift weniger. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist daher: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul}|\\text{azul})=\\cfrac{5}{8}=0,63\"<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u00dcbung 3<\/h3>\n

    Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen W\u00fcrfel auf die Zahl 4 zu werfen, vorausgesetzt, dass der M\u00fcnzwurf \u201eKopf\u201c ergibt? <\/p>\n

    \n
    Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Um diese Aufgabe zu l\u00f6sen, m\u00fcssen Sie die Theorie der bedingten Wahrscheinlichkeit ber\u00fccksichtigen, da die Ereignisse \u201eErreichen der Zahl 4 durch W\u00fcrfeln\u201c<\/em> und \u201eErreichen von Kopf durch Werfen einer M\u00fcnze\u201c<\/em> unabh\u00e4ngig voneinander sind. Es ist daher nicht notwendig, die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel zu verwenden, aber die folgende Gleichheit ist erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    Um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, verwenden Sie einfach die Laplace-Regel: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u00dcbung 4<\/h3>\n

    Untersucht wurde das Gesch\u00e4ftsjahr von 25 Unternehmen eines Landes und wie sich deren Aktienkurse in Abh\u00e4ngigkeit vom wirtschaftlichen Ergebnis des Jahres ver\u00e4ndern. Die gesammelten Daten k\u00f6nnen Sie der folgenden Kontingenztabelle entnehmen: <\/p>\n

    \"\u00dcbung<\/figure>\n

    Wie wahrscheinlich ist es, dass der Aktienkurs eines Unternehmens steigt, wenn es im vergangenen Jahr einen Gewinn erzielt hat? <\/p>\n

    \n
    Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    In der \u00dcbung werden wir nach der bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt, dass die Aktien steigen, vorausgesetzt, das Unternehmen hat ein positives Wirtschaftsergebnis erzielt. Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, m\u00fcssen wir also die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    Wir berechnen daher erstens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen einen Gewinn erzielt, und zweitens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen einen wirtschaftlichen Gewinn erzielt und gleichzeitig seinen Preis pro Aktie erh\u00f6ht: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{beneficio})=\\cfrac{14}{25}=0,56\"<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    Und dann setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein und berechnen die bedingte Wahrscheinlichkeit: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    <\/span> Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit<\/span><\/h2>\n

    Die Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit oder bedingten Wahrscheinlichkeit sind wie folgt:<\/p>\n

      \n
    • Die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B plus der bedingten Wahrscheinlichkeit des komplement\u00e4ren Ereignisses A bei gegebenem Ereignis B ist gleich eins.<\/li>\n<\/ul>\n

      \"<\/p>\n<\/p>\n

        \n
      • Wenn Ereignis A eine Teilmenge von Ereignis B ist, wird A immer dann eintreten, wenn B wahr ist. Somit betr\u00e4gt die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B in diesen F\u00e4llen 1.<\/li>\n<\/ul>\n

        \"B\\subseteq<\/p>\n<\/p>\n

          \n
        • Bei zwei unterschiedlichen Ereignissen gilt hinsichtlich der bedingten Wahrscheinlichkeit immer die folgende Gleichheit:<\/li>\n<\/ul>\n

          \"P\\bigl(A\\bigr)=P\\bigl(A|B\\bigr)\\cdot<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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