{"id":362,"date":"2023-08-01T19:09:16","date_gmt":"2023-08-01T19:09:16","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/multiplikationsregel\/"},"modified":"2023-08-01T19:09:16","modified_gmt":"2023-08-01T19:09:16","slug":"multiplikationsregel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/multiplikationsregel\/","title":{"rendered":"Multiplikationsregel"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Multiplikationsregel, auch Produktregel genannt, in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist. So finden Sie die Formel der Multiplikationsregel, Beispiele f\u00fcr die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit mit der Multiplikationsregel und dar\u00fcber hinaus mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungsaufgaben zum \u00dcben.<\/p>\n<p> Die Multiplikationsregel h\u00e4ngt davon ab, ob die Ereignisse unabh\u00e4ngig oder abh\u00e4ngig sind. Daher werden wir zun\u00e4chst sehen, wie die Regel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse und sp\u00e4ter f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse aussieht. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Multiplikationsregel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Denken Sie daran, dass unabh\u00e4ngige Ereignisse das Ergebnis eines statistischen Experiments sind, deren Eintrittswahrscheinlichkeit nicht voneinander abh\u00e4ngt. Mit anderen Worten: Zwei Ereignisse A und B sind unabh\u00e4ngig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A nicht vom Eintreten von Ereignis B abh\u00e4ngt und umgekehrt. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/veranstaltungen-unabhangige-veranstaltungen\/\">Was sind unabh\u00e4ngige Ereignisse?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Multiplikationsregelformel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Wenn zwei Ereignisse unabh\u00e4ngig sind, besagt die <strong>Multiplikationsregel<\/strong> , dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit des Eintretens beider Ereignisse gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des Eintretens jedes Ereignisses ist.<\/p>\n<\/div>\n<p> Daher lautet die Formel f\u00fcr die Multiplikationsregel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Es handelt sich um zwei unabh\u00e4ngige Ereignisse.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gemeinsame-wahrscheinlichkeit\/\">Was ist gemeinsame Wahrscheinlichkeit?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Beispiel einer Multiplikationsregel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Eine M\u00fcnze wird dreimal hintereinander geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei allen drei W\u00fcrfen \u201eKopf\u201c zu bekommen.<\/li>\n<\/ul>\n<p> In diesem Fall sind die Ereignisse, f\u00fcr die wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnen m\u00f6chten, unabh\u00e4ngig, da das Ergebnis einer Ziehung nicht vom Ergebnis der vorherigen Ziehung abh\u00e4ngt. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, drei aufeinanderfolgende K\u00f6pfe zu bekommen, m\u00fcssen wir daher die Multiplikationsregelformel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir eine M\u00fcnze werfen, gibt es nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse: Wir k\u00f6nnen Kopf oder Zahl bekommen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, beim M\u00fcnzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen, wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bc45ea1827985f95c0e3199c9bc2bdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cruz})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, bei allen drei M\u00fcnzw\u00fcrfen Kopf zu bekommen, m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeit, bei allen drei M\u00fcnzw\u00fcrfen Kopf zu bekommen, mit drei multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e107223e0e6a05a2bfaaf05dcc8d33a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara}\\cap \\text{cara}\\cap \\text{cara})=0,5\\cdot 0,5\\cdot 0,5=0,125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"357\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander Kopf zu bekommen, 12,5 %.<\/p>\n<p> Nachfolgend sind alle m\u00f6glichen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm dargestellt. Auf diese Weise k\u00f6nnen Sie den Prozess, den wir zur Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit befolgt haben, besser erkennen: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/diagramme-arborescent-calcul-de-probabilite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3135\" width=\"436\" height=\"364\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/baum-diagramm\/\">Was ist ein Baumdiagramm?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Multiplikationsregel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun gesehen haben, wie die Multiplikationsregel f\u00fcr unabh\u00e4ngige Ereignisse lautet, wollen wir uns nun ansehen, wie dieses Gesetz f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse aussieht, da die Formel etwas variiert.<\/p>\n<p> Denken Sie daran, dass abh\u00e4ngige Ereignisse das Ergebnis eines Zufallsexperiments sind, deren Eintrittswahrscheinlichkeit voneinander abh\u00e4ngt. Das hei\u00dft, zwei Ereignisse sind abh\u00e4ngig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses beeinflusst. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ereignisse-abhangige-ereignisse\/\">Was sind abh\u00e4ngige Ereignisse?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Multiplikationsregelformel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Wenn zwei Ereignisse voneinander abh\u00e4ngig sind, besagt die <strong>Multiplikationsregel<\/strong> , dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit des Eintretens beider Ereignisse gleich dem Produkt der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses bei gegebenem ersten Ereignis ist.<\/p>\n<\/div>\n<p> Die Formel f\u00fcr die Multiplikationsregel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse lautet also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddb39f8c7ff49e40025c3aae59044d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Dies sind zwei abh\u00e4ngige Ereignisse.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c0c4ce70731e4b1321acc93f53679ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B bei gegebenem Ereignis A eintritt. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit\/\">Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Beispiel einer Multiplikationsregel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> In eine leere Schachtel legen wir 8 blaue Kugeln, 4 orangefarbene Kugeln und 2 gr\u00fcne Kugeln. Wenn wir zuerst einen Ball ziehen und dann einen anderen Ball, ohne den zuerst gezogenen Ball zur\u00fcck in die Schachtel zu legen, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Ball blau und der zweite Ball orange ist?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In diesem Fall sind die Ereignisse abh\u00e4ngig, da die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung eine orangefarbene Kugel zu ergattern, von der Farbe der bei der ersten Ziehung gezogenen Kugel abh\u00e4ngt. Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu berechnen, m\u00fcssen wir daher die Multiplikationsregelformel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddb39f8c7ff49e40025c3aae59044d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Ziehung eine blaue Kugel zu erhalten, l\u00e4sst sich leicht ermitteln, indem man einfach die Anzahl der blauen Kugeln durch die Gesamtzahl der Kugeln dividiert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01c2ac51c56664735750a0821834727d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{8}{8+4+2}=\\cfrac{8}{14}=0,57\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"295\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits wird die Wahrscheinlichkeit, nach der Aufnahme einer blauen Kugel eine orangefarbene Kugel zu ziehen, anders berechnet, da die Anzahl der orangefarbenen Kugeln unterschiedlich ist und au\u00dferdem nun eine Kugel weniger in der Schachtel liegt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4dfda0193e549c67dabe2e6065d84f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\cfrac{4}{7+4+2}=\\cfrac{4}{13}=0,31\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue Kugel und dann eine orangefarbene Kugel zu ziehen, durch Multiplikation der beiden oben gefundenen Wahrscheinlichkeiten berechnet: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94896f8575aeb7e73cc056595920fedb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}P(\\text{bola azul}\\cap\\text{bola naranja})=\\\\[2ex]=P(\\text{bola azul})\\cdot P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\\\[2ex]=0,57\\cdot 0,31= \\\\[2ex]=0,18\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"348\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\">Additionsregel<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-regla-de-la-multiplicacion\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Multiplikationsregel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> In einer Stadt gibt es nur 3 Kitas: 60 % der Kinder gehen in die Kita A, 30 % in die Kita B und 10 % in die Kita C. Zudem sind in den drei Kitas 55 % der Menschen M\u00e4dchen. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<ul>\n<li> Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlten Kind aus Kindertagesst\u00e4tte B um ein M\u00e4dchen handelt.<\/li>\n<li> Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlten Kind aus einer Kindertagesst\u00e4tte um einen Jungen handelt. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn der M\u00e4dchenanteil in allen Kitas 55 % betr\u00e4gt, errechnet sich der Jungenanteil durch einfache Subtraktion von 1 minus 0,55:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6c48cfc81fd4e8283d9366bced38a6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico})=1-0,55=0,45\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da wir nun alle Wahrscheinlichkeiten kennen, k\u00f6nnen wir den Baum mit den Wahrscheinlichkeiten aller M\u00f6glichkeiten erstellen: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-resolu-du-diagramme-arborescent.png\" alt=\"Baum\u00fcbung gel\u00f6st\" class=\"wp-image-3140\" width=\"312\" height=\"330\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall sind die Ereignisse unabh\u00e4ngig, da die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Jungen oder ein M\u00e4dchen handelt, nicht von der gew\u00e4hlten Kita abh\u00e4ngt. Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass zuf\u00e4llig ein M\u00e4dchen aus Kindertagesst\u00e4tte B ausgew\u00e4hlt wird, m\u00fcssen Sie die Wahrscheinlichkeit, Kindertagesst\u00e4tte B auszuw\u00e4hlen, mit der Wahrscheinlichkeit, ein M\u00e4dchen auszuw\u00e4hlen, multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8da69823ee95f9d3eb866b8830c69459_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chica guarder\\'ia B})=0,30\\cdot 0,55=\\bm{0,165}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um andererseits die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, einen Jungen f\u00fcr eine Kindertagesst\u00e4tte auszuw\u00e4hlen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit berechnen, f\u00fcr jede Kindertagesst\u00e4tte einen Jungen auszuw\u00e4hlen, und diese dann addieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cba123bdad65bc0ef13fe011d12c16e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia A})=0,6\\cdot 0,45=0,27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"320\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-502aba9717f579b47d3aae94af910f9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia B})=0,30\\cdot 0,45=0,135\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ab8a01b04f94bda577564f835167d88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia C})=0,10\\cdot 0,45=0,045\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2e92f117cfeb16530b9f37c647fe4f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\\bm{0,45}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"467\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Untersucht wurde das Gesch\u00e4ftsjahr von 25 Unternehmen eines Landes und wie sich deren Aktienkurse in Abh\u00e4ngigkeit vom wirtschaftlichen Ergebnis des Jahres ver\u00e4ndern. Die gesammelten Daten k\u00f6nnen Sie der folgenden Kontingenztabelle entnehmen: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-de-probabilite-conditionnelle-resolu.png\" alt=\"\u00dcbung zur bedingten Wahrscheinlichkeit gel\u00f6st\" class=\"wp-image-667\" width=\"344\" height=\"151\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Unternehmen Gewinne erzielt und gleichzeitig der Aktienkurs steigt? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall sind Ereignisse abh\u00e4ngig, da die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktien steigen oder fallen, vom wirtschaftlichen Ergebnis abh\u00e4ngt. Daher m\u00fcssen wir die Multiplikationsregelformel f\u00fcr abh\u00e4ngige Ereignisse anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a2782612358c488cafb90c8c642eb5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{beneficio}\\cap\\text{precio sube})}=P(\\text{beneficio})\\cdot P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen daher erstens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen einen Gewinn erzielt, und zweitens die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktien des Unternehmens steigen, wenn es einen wirtschaftlichen Gewinn erzielt hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe323f1e5e9f9e0e8fc44e886a63b476_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{beneficio})=\\cfrac{14}{25}=0,56\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a16170cf4dd1928934f317f29631dfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})=\\cfrac{10}{14}=0,71 \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"288\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als n\u00e4chstes setzen wir die berechneten Werte in die Formel ein und berechnen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ef9a2ba07b99febef46f59960dc628d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}P(\\text{beneficio}\\cap\\text{precio sube})}=\\\\[2ex]=P(\\text{beneficio})\\cdot P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})=\\\\[2ex]= 0,56\\cdot 0,71=\\\\[2ex] =\\bm{0,4} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"332\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Multiplikationsregel, auch Produktregel genannt, in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist. 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