{"id":367,"date":"2023-08-01T16:43:21","date_gmt":"2023-08-01T16:43:21","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/additionsregel-oder-additionsregel\/"},"modified":"2023-08-01T16:43:21","modified_gmt":"2023-08-01T16:43:21","slug":"additionsregel-oder-additionsregel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/additionsregel-oder-additionsregel\/","title":{"rendered":"Additionsregel (oder additionsregel)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Additionsregel, auch Additionsregel genannt, ist und wof\u00fcr sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie die Formel f\u00fcr die Additionsregel sehen und \u00dcbungen l\u00f6sen, die zeigen, wie man sie verwendet. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-regla-de-la-suma-o-regla-de-la-adicion\"><\/span> Was ist die Additionsregel (oder Additionsregel)?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Additionsregel<\/strong> (oder <strong>Additionsregel<\/strong> ) besagt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit ist, dass jedes Ereignis separat auftritt, minus der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig auftreten.<\/p>\n<p> Daher lautet die Formel f\u00fcr die Additionsregel P(A\u22c3B)=P(A)+P(B)\u2212P(A\u22c2B).<\/p>\n<p> Um also zwei Wahrscheinlichkeiten zu addieren, k\u00f6nnen wir nicht einfach jede Wahrscheinlichkeit addieren, da wir auch den Term subtrahieren m\u00fcssen, der die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse darstellt. In einigen F\u00e4llen k\u00f6nnen wir jedoch nur durch Addition der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses das korrekte Ergebnis der Summe der Wahrscheinlichkeiten erhalten. Im Folgenden werden wir sehen, was diese F\u00e4lle sind.<\/p>\n<p> Kurz gesagt wird die Additionsregel verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des einen oder anderen Ereignisses zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von zwei m\u00f6glichen Ereignissen eintritt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regla-de-la-suma\"><\/span> Additionsregelformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Additionsregel besagt, dass wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A oder Ereignis B die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A plus die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B addieren und die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, subtrahieren m\u00fcssen. .<\/p>\n<p> Die <strong>Formel f\u00fcr die Additionsregel (oder auch Additionsregel)<\/strong> lautet also wie folgt: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/regle-daddition-ou-regle-daddition.png\" alt=\"Additionsregelformel, Additionsregelformel\" class=\"wp-image-8422\" width=\"415\" height=\"366\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e79827dee6ad7d53b96b5497d617f7c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A oder Ereignis B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Um die Summenregel anwenden zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen Sie daher wissen, wie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse berechnet wird. Wie das geht, k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gemeinsame-wahrscheinlichkeit\/\">So berechnen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-suma-para-eventos-excluyentes\"><\/span> Beispielsummenregel f\u00fcr exklusive Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen, sehen wir uns ein Beispiel f\u00fcr die Anwendung der Additionsregel an.<\/p>\n<ul>\n<li> Wir legen 10 blaue Kugeln, 6 orangefarbene Kugeln und 4 gr\u00fcne Kugeln in eine Schachtel. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue oder orangefarbene Kugel zu ziehen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In der \u00dcbung werden wir aufgefordert, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der das eine oder andere Ereignis eintritt. Um das Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir daher die Additionsregelformel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher berechnen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat eintritt, mithilfe <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/laplace-regel-oder-laplace-gesetz\/\">der Laplace-Regel<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b1a5b8249e01fe618b08ea0079e1146_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{10}{10+6+4}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6220946609d47abd9f3fe7cd85d4b14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja})=\\cfrac{6}{10+6+4}=0,3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"279\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall k\u00f6nnen jedoch nicht beide Ereignisse gleichzeitig auftreten, da es sich um zwei <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/sich-gegenseitig-ausschliessende-ereignisse\/\">sich gegenseitig ausschlie\u00dfende Ereignisse<\/a> handelt. Wenn wir also einen blauen Ball zeichnen, k\u00f6nnen wir keinen orangefarbenen Ball mehr zeichnen und umgekehrt.<\/p>\n<p> Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse Null und daher wird die Summenregelformel vereinfacht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e00a6d1c1398bf9e15fd02b1d93a0354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-\\cancelto{0}{P(A\\cap B)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, einen blauen oder orangefarbenen Ball zu fangen, lautet also wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1776904c975b28dbbd57e37f714182ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{bola azul}\\cup \\text{bola naranja})&amp;=P(\\text{bola azul})+P(\\text{bola azul})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,3\\\\[2ex]&amp;=0,8\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt, die Wahrscheinlichkeit, eine blaue oder orangefarbene Kugel aus der Schachtel zu ziehen, betr\u00e4gt 80 %. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-suma-para-eventos-no-excluyentes\"><\/span>Beispiel einer Anh\u00e4ngeregel f\u00fcr nicht-exklusive Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir ein konkretes Beispiel der Additionsregel bei exklusiven Ereignissen gesehen haben, werden wir nun sehen, wie dieses Gesetz angewendet wird, wenn Ereignisse nicht exklusiv sind.<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn wir eine M\u00fcnze zweimal werfen, wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei mindestens einem Wurf \u201eKopf\u201c bekommen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In diesem Fall schlie\u00dfen sich die Ereignisse nicht gegenseitig aus, da wir beim ersten Wurf \u201eKopf\u201c und beim zweiten Wurf \u201eZahl\u201c erhalten k\u00f6nnen. Die Formel f\u00fcr die Additionsregel ist daher nicht vereinfacht und lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen also zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei einem M\u00fcnzwurf \u201eKopf\u201c zu bekommen, indem wir die Laplace-Regel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus sind die beiden Ereignisse unabh\u00e4ngig, sodass wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse mithilfe der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/multiplikationsregel\/\">Produktregel<\/a> berechnen k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1382d107f7e0e3e2f936db296f550df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})=\\cfrac{1}{2}\\cdot \\cfrac{1}{2}=0,5\\cdot 0,5=0,25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um schlie\u00dflich die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass bei mindestens einem der beiden W\u00fcrfe \u201eKopf\u201c f\u00e4llt, setzen Sie einfach die Werte in die Additionsregelformel ein und f\u00fchren Sie die Berechnung durch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbdfc38f607783282ef9cd0578dfba06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{cara}\\cup \\text{cara})&amp;=P(\\text{cara})+P(\\text{cara})-P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,5-0,25\\\\[2ex]&amp;=0,75\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"411\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass man nach zweimaligem Werfen einer M\u00fcnze mindestens einmal \u201eKopf\u201c erh\u00e4lt, 75 % betr\u00e4gt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Additionsregel, auch Additionsregel genannt, ist und wof\u00fcr sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. 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