{"id":374,"date":"2023-08-01T13:12:05","date_gmt":"2023-08-01T13:12:05","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/axiome-der-wahrscheinlichkeit\/"},"modified":"2023-08-01T13:12:05","modified_gmt":"2023-08-01T13:12:05","slug":"axiome-der-wahrscheinlichkeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/axiome-der-wahrscheinlichkeit\/","title":{"rendered":"Axiome der wahrscheinlichkeit"},"content":{"rendered":"

Dieser Artikel erkl\u00e4rt, was die Axiome der Wahrscheinlichkeit sind. Sie finden hier die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit, die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsaxiome und ein Beispiel f\u00fcr ihre Anwendung. <\/p>\n

<\/span> Was sind die 3 Axiome der Wahrscheinlichkeit?<\/span><\/h2>\n

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome<\/strong> sind:<\/p>\n

    \n
  1. Wahrscheinlichkeitsaxiom 1<\/strong> : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht negativ sein.<\/span><\/li>\n
  2. Wahrscheinlichkeitsaxiom 2<\/strong> : Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1.<\/span><\/li>\n
  3. Wahrscheinlichkeitsaxiom 3<\/strong> : Die Wahrscheinlichkeit einer Reihe exklusiver Ereignisse ist gleich der Summe aller Wahrscheinlichkeiten.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    Die drei Wahrscheinlichkeitsaxiome werden auch als Kolmogorov-Axiome<\/strong> bezeichnet, da sie 1933 von diesem russischen Mathematiker formuliert wurden.<\/p>\n

    Die einzelnen Arten von Wahrscheinlichkeitsaxiomen werden im Folgenden ausf\u00fchrlicher erl\u00e4utert.<\/p>\n

    <\/span> Axiom 1<\/span><\/h3>\n

    Das erste Wahrscheinlichkeitsaxiom<\/strong> besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses nicht negativ sein kann und ihr Wert daher zwischen 0 und 1 liegt.<\/p>\n<\/p>\n

    \"0\\leq<\/p>\n<\/p>\n

    Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Null ist, bedeutet dies, dass es unm\u00f6glich ist, dass es eintritt. Wenn andererseits die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1 ist, bedeutet dies, dass dieses Ereignis mit Sicherheit eintreten wird. Je h\u00f6her also der Wahrscheinlichkeitswert eines Ereignisses ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass es eintritt.<\/p>\n

    <\/span> Axiom 2<\/span><\/h3>\n

    Das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom<\/strong> besagt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses gleich 1 ist.<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\Omega)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

    Ein bestimmtes Ereignis ist das Ergebnis einer zuf\u00e4lligen Erfahrung, die immer passieren wird. Daher kann ein sicheres Ereignis auch als Probenraum eines randomisierten Experiments definiert werden. <\/p>\n

    \u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Sicheres Ereignis<\/a><\/div>\n

    <\/span> Axiom 3<\/span><\/h3>\n

    Das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom<\/strong> besagt, dass bei einer gegebenen Menge exklusiver Ereignisse die gemeinsame Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse der Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten entspricht.<\/p>\n<\/p>\n

    \"A\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Zwei oder mehr Ereignisse sind exklusiv, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten k\u00f6nnen. Daher ist es zur Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit nicht erforderlich,<\/a> die Wahrscheinlichkeit ihres gleichzeitigen Auftretens zu ber\u00fccksichtigen. <\/p>\n

    \u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Ereignisse ausschlie\u00dfen<\/a> <\/div>\n

    <\/span> Beispiel f\u00fcr Wahrscheinlichkeitsaxiome<\/span><\/h2>\n

    Als Beispiel analysieren wir im Folgenden einige Ergebnisse des W\u00fcrfelexperiments, damit Sie sehen k\u00f6nnen, dass die Wahrscheinlichkeitsaxiome erf\u00fcllt sind.<\/p>\n

    Wenn Sie einen W\u00fcrfel werfen, gibt es sechs m\u00f6gliche Ergebnisse:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

    In diesem Fall sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ergebnisses zu bestimmen, m\u00fcssen wir lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ermitteln. Daher wenden wir die Laplace-Regelformel<\/a> an, um die Wahrscheinlichkeit jedes m\u00f6glichen Ergebnisses zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{cualquier<\/p>\n<\/p>\n

    Da dann die Wahrscheinlichkeit, jedes Ergebnis zu erhalten, positiv ist, ist das erste Wahrscheinlichkeitsaxiom erf\u00fcllt.<\/p>\n

    Schauen wir uns nun das zweite Axiom an. In diesem Fall erh\u00e4lt ein bestimmtes Ereignis \u201eeine Zahl von 1 bis 6\u201c, also addieren wir die Wahrscheinlichkeit, jedes Ergebnis zu erhalten:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    Somit ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses gleich 1, daher ist auch das zweite Wahrscheinlichkeitsaxiom erf\u00fcllt.<\/p>\n

    Abschlie\u00dfend bleibt nur noch die \u00dcberpr\u00fcfung des dritten Wahrscheinlichkeitsaxioms. Die unterschiedlichen Ergebnisse, die wir durch W\u00fcrfeln erhalten k\u00f6nnen, schlie\u00dfen sich gegenseitig aus, denn wenn wir beispielsweise eine 2 w\u00fcrfeln, k\u00f6nnen wir keine 5 mehr erhalten. Daher kann die Berechnung, um zwei beliebige Zahlen zu erhalten, auf zwei Arten durchgef\u00fchrt werden: mit Laplace-Regel oder durch Addieren der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses.<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(2<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(2<\/p>\n<\/p>\n

    In beiden F\u00e4llen erhalten wir den gleichen Wahrscheinlichkeitswert, sodass auch das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom wahr ist. <\/p>\n

    <\/span> Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen abgeleitete Eigenschaften<\/span><\/h2>\n

    Aus den drei Wahrscheinlichkeitsaxiomen k\u00f6nnen wir folgende Eigenschaften ableiten:<\/p>\n

      \n
    1. Die Wahrscheinlichkeit eines unm\u00f6glichen Ereignisses<\/a> ist Null.<\/span><\/li>\n

      \"P(\\varnothing)=0\"<\/p>\n<\/p>\n

    2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich oder kleiner als 1.<\/span> <\/li>\n

      \"P(A)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

      \"0\\leq<\/p>\n<\/p>\n

    3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit seines komplement\u00e4ren Ereignisses<\/a> .<\/span><\/li>\n

      \"P(A)=1-P\\left(\\overline{A}\\right)\"<\/p>\n<\/p>\n

    4. Wenn ein Ereignis in einem anderen Ereignis enthalten ist, muss die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses sein.<\/span><\/li>\n

      \"A\\subset<\/p>\n<\/p>\n

    5. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten minus der Wahrscheinlichkeit ihres Schnittpunkts.<\/span><\/li>\n

      \"P(A\\cup<\/p>\n<\/p>\n

    6. Bei einer Menge von zwei mal zwei inkompatiblen Ereignissen<\/a> wird ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.<\/span><\/li>\n

      \"P(A_1\\cup<\/p>\n<\/p>\n

    7. Wenn der Probenraum endlich ist und ein Ereignis S={x 1<\/sub> ,x 1<\/sub> ,\u2026,x k<\/sub> } ist, entspricht die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Ereignisses dem folgenden Ausdruck:<\/span><\/li>\n

      \"P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\\ldots+P(x_n)\"<\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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