{"id":376,"date":"2023-08-01T12:09:39","date_gmt":"2023-08-01T12:09:39","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/"},"modified":"2023-08-01T12:09:39","modified_gmt":"2023-08-01T12:09:39","slug":"satz-von-bayes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/","title":{"rendered":"Satz von bayes"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Satz von Bayes ist und wof\u00fcr er in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. So erfahren Sie, wie die Formel des Bayes-Theorems lautet, gel\u00f6ste Beispiele des Bayes-Theorems und welche Anwendungsm\u00f6glichkeiten dieses Theorems gibt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-bayes\"><\/span> Was ist der Satz von Bayes?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist <strong>der Satz von Bayes<\/strong> ein Gesetz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn a priori Informationen \u00fcber dieses Ereignis bekannt sind.<\/p>\n<p> Genauer gesagt setzt der Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B mathematisch mit der Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem Ereignis A in Beziehung.<\/p>\n<p> Wenn Sie beispielsweise im Voraus wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person Kopfschmerzen hat, wenn sie an einer Grippe leidet, k\u00f6nnen Sie mithilfe des Bayes-Theorems die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine Person an Grippe erkrankt, wenn sie Kopfschmerzen hat.<\/p>\n<p> Der Satz von Bayes hat viele Anwendungsm\u00f6glichkeiten, beispielsweise wird er in der Medizin, Wirtschaft oder Technik verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse zu berechnen, die durch andere Ereignisse bedingt sind. Im Folgenden gehen wir detailliert auf die verschiedenen Anwendungen des Satzes von Bayes ein.<\/p>\n<p> Der Satz von Bayes wurde vom englischen Mathematiker Thomas Bayes (1702-1761) erfunden, obwohl er 1763 posthum ver\u00f6ffentlicht wurde. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit\/\">Bedingte Wahrscheinlichkeit<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Formel des Satzes von Bayes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Satz von Bayes besagt, dass wir bei einem Beispielraum, der aus einer Menge <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/sich-gegenseitig-ausschliessende-ereignisse\/\">sich gegenseitig ausschlie\u00dfender Ereignisse<\/a> {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>i<\/sub> ,\u2026, A <sub>n<\/sub> } besteht, deren Wahrscheinlichkeiten nicht Null sind, und einem anderen Ereignis B die Bedingung mathematisch in Beziehung setzen k\u00f6nnen Wahrscheinlichkeit von A <sub>i<\/sub> bei gegebenem Ereignis B mit der bedingten Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A <sub>i<\/sub> .<\/p>\n<p> Die <strong>Formel f\u00fcr den Satz von Bayes<\/strong> , auch <strong>Bayes-Regel<\/strong> genannt, lautet also: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-bayes.png\" alt=\"Formel des Bayes-Theorems, Bayes-Regel\" class=\"wp-image-8514\" width=\"370\" height=\"318\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62ffcdb184381914ec23155ad31bbfb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A <sub>bei<\/sub> gegebenem Ereignis B, die sogenannte hintere Wahrscheinlichkeit.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bei gegebenem Ereignis A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A <sub>i<\/sub> eintritt, die sogenannte A-priori-Wahrscheinlichkeit.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Beachten Sie, dass der Nenner der Formel des Bayes-Theorems die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gesamtwahrscheinlichkeitssatz\/\">Gesamtwahrscheinlichkeit<\/a> des Ereignisses B ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Beispiel f\u00fcr den Satz von Bayes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition des Bayes-Theorems und seine Formel gesehen haben, sehen wir ein gel\u00f6stes Beispiel daf\u00fcr, wie eine Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnet wird, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Ein Elektronikgesch\u00e4ft verkauft drei Fernsehmarken: Wie hoch ist bei einem defekten Fernseher die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Fernseher der Marke Z handelt?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Die \u00dcbung gibt uns die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen ein Kunde jede Fernsehmarke kaufen wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Ereignis A <sub>1<\/sub> : Ein Kunde kauft einen Fernseher der Marke X \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,20<\/li>\n<li> Ereignis A <sub>2<\/sub> : Ein Kunde kauft einen Fernseher der Marke Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Ereignis A <sub>3<\/sub> : Ein Kunde kauft einen Fernseher der Marke Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Dar\u00fcber hinaus gibt uns der Messwert auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fernseher jeder Marke defekt ist:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Ereignis B: Der Fernseher ist defekt<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Bei einem Fernseher der Marke X ist der Fernseher defekt \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Bei einem Fernseher der Marke Y ist der Fernseher defekt \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Bei einem Fernseher der Marke Z ist der Fernseher defekt \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/baum-diagramm\/\">Wahrscheinlichkeitsbaum<\/a> aller Ereignisse, die uns interessieren, sieht also wie folgt aus: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"Baumdiagramm des Bayes-Theorems\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Um also die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass es sich bei einem defekten Fernseher um die Marke Z handelt, m\u00fcssen wir die Formel aus dem Satz von Bayes verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Unter Verwendung der in diesem Beispiel verwendeten Terminologie sieht die Formel von Bayes wie folgt aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c2b74ac3ed5173c4a40837675d8282d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_3|B)=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"525\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem bestimmten defekten Fernseher um die Marke Z handelt, lautet also wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-818d0f3336f855a1315d6a94f01d1876_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_3|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,04\\cdot 0,30}{0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30}\\\\[2ex]&amp;=0,32\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"525\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem defekten Fernseher um die Marke Z handelt, bei 32 % liegt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"aplicaciones-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Anwendungen des Satzes von Bayes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Es gibt viele Anwendungen des Satzes von Bayes, darunter:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Medizinische Tests<\/strong> : Das Bayes-Theorem wird in der Medizin h\u00e4ufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, diagnostische Tests zu bestehen. Beispielsweise kann bei einem HIV-Test mit dem Theorem die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass eine Person tats\u00e4chlich mit dem Virus infiziert ist, wenn das Testergebnis positiv ausf\u00e4llt.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Finanzanalyse<\/strong> : Im Finanzwesen wird das Bayes-Theorem verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bestimmte wirtschaftliche Ereignisse, wie z. B. ein Anstieg oder R\u00fcckgang des Aktienwerts, bei einer Reihe wirtschaftlicher Variablen eintreten.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Marktforschung<\/strong> : Mit dem Bayes-Theorem l\u00e4sst sich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine Person ein Produkt kauft, nachdem sie eine Werbung f\u00fcr dieses Produkt gesehen hat.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Wettervorhersage<\/strong> : Wettermodelle verwenden auch den Satz von Bayes, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine bestimmte Wettervorhersage auf der Grundlage beobachteter Daten wahr wird. Dies verbessert die Genauigkeit von Klimavorhersagen.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Computersicherheit<\/strong> \u2013 In der Cybersicherheit kann das Bayes-Theorem angewendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine verd\u00e4chtige Aktivit\u00e4t tats\u00e4chlich ein Angriff auf das Computersystem ist.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Probleme mit dem Bayes-Theorem gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Es wird gesch\u00e4tzt, dass 1 % der Bev\u00f6lkerung an einer Krankheit leidet. Ein Test zum Nachweis dieser Krankheit ist bei positiven F\u00e4llen zu 95 % und bei negativen F\u00e4llen zu 90 % genau. Wenn eine zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlte Person positiv getestet wird, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie tats\u00e4chlich an der Krankheit leidet? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die \u00dcbungsanweisung gibt uns die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> A <sub>1<\/sub> : Die Person hat die Krankheit \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,01<br \/> A <sub>2<\/sub> : Die Person hat die Krankheit nicht \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,99<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> B: Der Test ist positiv<br \/> B|A <sub>1<\/sub> : Der Test ist positiv, wenn die Person an der Krankheit leidet \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,95<br \/> B|A <sub>2<\/sub> : Der Test ist positiv, wenn die Person nicht an der Krankheit leidet \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=1-0,90=0,10<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlte Person bei positivem Test tats\u00e4chlich an der Krankheit leidet, muss die Bayes-Regel angewendet werden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d76df126cb6076aeba65aa7d1c12e344_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_1|B)=\\cfrac{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also setzen wir die Werte in die Formel ein und f\u00fchren die Wahrscheinlichkeitsberechnung durch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-135e9ab7de6b44e7392fae0f5e70a125_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_1|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,95\\cdot 0,01}{0,95\\cdot 0,01+0,10\\cdot 0,99}\\\\[2ex]&amp;=0,0876\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"374\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kurz gesagt betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlte Person positiv getestet wird und tats\u00e4chlich an der Krankheit leidet, 8,76 %.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Es wird gesch\u00e4tzt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Aktie an einem Tag steigt, bei 40 % liegt, dass sie stabil bleibt bei 10 % und dass sie f\u00e4llt bei 50 %. Dar\u00fcber hinaus wissen wir, dass bei einem Marktanstieg die Wahrscheinlichkeit, dass ein Finanzanalyst die richtige Vorhersage trifft, bei 90 % liegt, dass bei stabilem Markt die Wahrscheinlichkeit, dass die Vorhersage richtig ist, bei 75 % liegt und dass bei einem R\u00fcckgang die Wahrscheinlichkeit, dass der Markt richtig ist, bei 75 % liegt. die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Vorhersage betr\u00e4gt 75 %. 85%.%. Wenn ein Analyst vorhersagt, dass der Markt fallen wird, wie wahrscheinlich ist es dann, dass er tats\u00e4chlich fallen wird? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall liefert uns die \u00dcbungsaussage die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> A <sub>1<\/sub> : Der Markt steigt an einem Tag \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,40<br \/> A <sub>2<\/sub> : Der Markt bleibt \u00fcber einen Tag stabil \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,10<br \/> A <sub>3<\/sub> : Der Markt steigt an einem Tag \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,50<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> B: Der Analyst prognostiziert, dass der Markt fallen wird<br \/> B|A <sub>1<\/sub> : Der Analyst sagt richtig voraus, dass der Markt wachsen wird \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,90<br \/> B|A <sub>2<\/sub> : Der Analyst sagt richtig voraus, dass der Markt stabil bleibt \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,75<br \/> B|A <sub>3<\/sub> : Der Analyst sagt richtig voraus, dass der Markt fallen wird \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,85<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der ein Analyst eine Vorhersage trifft, dass der Markt fallen wird und diese richtig ist, m\u00fcssen wir die Formel des Bayes-Theorems verwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c2b74ac3ed5173c4a40837675d8282d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_3|B)=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"525\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir setzen die Wahrscheinlichkeitswerte in die Bayes-Formel ein und berechnen die Wahrscheinlichkeit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f98a5a8a91299aa55aab02159dcebec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_3|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,85\\cdot 0,50}{0,90\\cdot 0,40+0,75\\cdot 0,10+0,85\\cdot 0,50}\\\\[2ex]&amp;=0,4942\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"525\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Analyst Recht hat, wenn er sagt, dass der Aktienmarkt fallen wird, bei 49,42 %.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Satz von Bayes ist und wof\u00fcr er in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. So erfahren Sie, wie die Formel des Bayes-Theorems lautet, gel\u00f6ste Beispiele des Bayes-Theorems und welche Anwendungsm\u00f6glichkeiten dieses Theorems gibt. Was ist der Satz von Bayes? In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Satz von Bayes ein [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Satz von Bayes<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hier finden Sie, was das Bayes-Theorem sagt, wof\u00fcr es verwendet wird, die Formel des Bayes-Theorems und die gel\u00f6sten \u00dcbungen zum Bayes-Theorem.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Satz von Bayes\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hier finden Sie, was das Bayes-Theorem sagt, wof\u00fcr es verwendet wird, die Formel des Bayes-Theorems und die gel\u00f6sten \u00dcbungen zum Bayes-Theorem.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T12:09:39+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-bayes.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Dr. Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Dr. Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\",\"name\":\"\u25b7 Satz von Bayes\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T12:09:39+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T12:09:39+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/#\/schema\/person\/ec75c4d6365f2708f8a0ad3a42121aa0\"},\"description\":\"Hier finden Sie, was das Bayes-Theorem sagt, wof\u00fcr es verwendet wird, die Formel des Bayes-Theorems und die gel\u00f6sten \u00dcbungen zum Bayes-Theorem.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de-DE\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Heim\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Satz von bayes\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Ihr Leitfaden f\u00fcr statistische Kompetenz !\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de-DE\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/#\/schema\/person\/ec75c4d6365f2708f8a0ad3a42121aa0\",\"name\":\"Dr. Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de-DE\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Dr. Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. 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