{"id":377,"date":"2023-08-01T11:32:01","date_gmt":"2023-08-01T11:32:01","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/gesamtwahrscheinlichkeitssatz\/"},"modified":"2023-08-01T11:32:01","modified_gmt":"2023-08-01T11:32:01","slug":"gesamtwahrscheinlichkeitssatz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/gesamtwahrscheinlichkeitssatz\/","title":{"rendered":"Gesamtwahrscheinlichkeitssatz"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ist und wof\u00fcr er in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet wird. So finden Sie die Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz, die gel\u00f6sten Aufgaben und wann der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet wird. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Was ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der <strong>Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<\/strong> ein Gesetz, das es erm\u00f6glicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht Teil eines Stichprobenraums ist, aus den <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/bedingte-bedingte-wahrscheinlichkeit\/\">bedingten Wahrscheinlichkeiten<\/a> aller Ereignisse in diesem Stichprobenraum zu berechnen.<\/p>\n<p> Daher wird der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses auf der Grundlage von Teilinformationen \u00fcber dieses Ereignis zu berechnen. Manchmal k\u00f6nnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht durch direkte Anwendung der Laplace-Regel bestimmen, weil wir nicht \u00fcber alle notwendigen Informationen verf\u00fcgen. Wenn wir jedoch Daten \u00fcber dieses Ereignis im Verh\u00e4ltnis zu anderen Ereignissen kennen, ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz normalerweise n\u00fctzlich.<\/p>\n<p> Kurz gesagt wird der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet, wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen m\u00f6chten, aber nur unter bestimmten Bedingungen Informationen dar\u00fcber haben. Einige Anwendungen dieses Theorems umfassen beispielsweise Experimente mit mehreren F\u00e4llen, die Warteschlangentheorie und die \u00dcberlebensanalyse. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/laplace-regel-oder-laplace-gesetz\/\">Laplace-Regel<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz besagt, dass bei einer gegebenen Menge von Ereignissen {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>n<\/sub> }, die eine Partition auf dem Stichprobenraum bilden, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist Ereignis P(A <sub>i<\/sub> ) durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A <sub>i<\/sub> ).<\/p>\n<p> Daher lautet die <strong>Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<\/strong> : <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png\" alt=\"Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz\" class=\"wp-image-8595\" width=\"291\" height=\"320\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bei gegebenem Ereignis A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A <sub>i<\/sub> eintritt.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Beachten Sie, dass eine Partition des Stichprobenraums wahrscheinlich als eine Menge miteinander inkompatibler Ereignisse definiert ist, deren Vereinigung den Stichprobenraum bildet. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/probenraum-1\/\">Probenraum<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Konkretes Beispiel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die Definition des Gesamtwahrscheinlichkeitssatzes und seine Formel gesehen haben, sehen wir uns eine gel\u00f6ste \u00dcbung an, wie eine Wahrscheinlichkeit mit dem Gesamtwahrscheinlichkeitssatz berechnet wird, um seine Bedeutung besser zu verstehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Ein Elektronikgesch\u00e4ft verkauft Fernsehger\u00e4te der drei Marken: Fernseher sind defekt. Wie wahrscheinlich ist es, einen defekten Fernseher zu kaufen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Die Problemstellung gibt uns die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen ein Kunde die jeweilige TV-Marke kaufen wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Ereignis A <sub>1<\/sub> : Ein Kunde kauft <sub>ein<\/sub> Fernsehger\u00e4t einer Marke<\/li>\n<li> Ereignis A <sub>2<\/sub> : Ein Kunde kauft einen Fernseher der Marke Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Ereignis A <sub>3<\/sub> : Ein Kunde kauft eine Fernsehmarke Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Dar\u00fcber hinaus liefert uns die \u00dcbungsaussage auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fernseher jeder Marke defekt ist:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Ereignis B: Der Fernseher ist defekt<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Bei einem Fernseher der Marke X ist der Fernseher defekt \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Bei einer Fernsehmarke Y ist das Fernsehger\u00e4t defekt \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Bei einem Fernseher der Marke Z ist der Fernseher defekt \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Somit ist der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/baum-diagramm\/\">Wahrscheinlichkeitsbaum<\/a> des Problems wie folgt: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Um also die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, einen defekten Fernseher zu kaufen, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr die Gesamtwahrscheinlichkeitsregel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bd2e4c30e05d7abab89dabb7b85cd6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=\\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\\cdot P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In unserem Fall besteht der Probenraum aus drei Ereignissen (A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> und A <sub>3<\/sub> ), daher lautet die Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe9d6f5c6241bf124144269ba498188_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es reicht daher aus, die Wahrscheinlichkeiten des vorherigen Ausdrucks zu ersetzen, um die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Kauf eines defekten Fernsehers zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78411084ca76e5e0de6a2b1794e61b28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(B)&amp;=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\\\\[2ex]&amp;=0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30\\\\[2ex]&amp;=0,037\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"496\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Fernseher kaufen, bei 3,7 % liegt und dieser defekt ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"teorema-de-la-probabilidad-total-y-teorema-de-bayes\"><\/span> Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und Bayes-Theorem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und der Satz von Bayes sind zwei wichtige S\u00e4tze in der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere weil sie es uns erm\u00f6glichen, Wahrscheinlichkeiten aus bedingten Wahrscheinlichkeitswerten zu berechnen.<\/p>\n<p> Der Satz von Bayes ist ein Gesetz der Wahrscheinlichkeitstheorie, das zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwendet wird, wenn a priori Informationen \u00fcber dieses Ereignis bekannt sind.<\/p>\n<p> Insbesondere h\u00e4ngen <strong>der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz und der Bayes-Satz<\/strong> zusammen. Tats\u00e4chlich entspricht der Nenner der Formel des Bayes-Theorems der Formel des Gesamtwahrscheinlichkeitssatzes.<\/p>\n<p> Klicken Sie auf den folgenden Link, um den Satz von Bayes und Beispiele f\u00fcr seine Anwendung zu sehen: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-bayes\/\">Satz von Bayes<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ist und wof\u00fcr er in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik verwendet wird. So finden Sie die Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz, die gel\u00f6sten Aufgaben und wann der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz verwendet wird. Was ist der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz? 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