In der Statistik besagt der Zentrale Grenzwertsatz<\/strong> , auch zentraler Grenzwertsatz<\/strong> genannt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte<\/a> einer Normalverteilung ann\u00e4hert, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe zunimmt, unabh\u00e4ngig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/a> der Grundgesamtheit.<\/p>\n Das hei\u00dft, der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Mittelwert dieser Stichproben einer Normalverteilung angen\u00e4hert werden kann, wenn wir eine ausreichend gro\u00dfe Anzahl von Stichproben nehmen.<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus besagt der zentrale Grenzwertsatz, dass sich der Stichprobenmittelwert mit zunehmender Stichprobengr\u00f6\u00dfe dem Wert des Grundgesamtheitsmittelwerts ann\u00e4hert. Dadurch k\u00f6nnen wir die Parameter der statistischen Grundgesamtheit ann\u00e4hern. Im Folgenden werden wir sehen, wie das geht. <\/p>\n Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass zur Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes die Stichprobengr\u00f6\u00dfe mindestens 30 Beobachtungen betragen muss, obwohl dies von den Eigenschaften der untersuchten Variablen abh\u00e4ngt.<\/p>\n Der zentrale Grenzwertsatz hat viele Anwendungen, da die Normalverteilung inferenzielle statistische Berechnungen wie Hypothesentests oder Konfidenzintervalle erm\u00f6glicht. Im Finanzwesen wird beispielsweise der zentrale Grenzwertsatz verwendet, um die Rendite und das Risiko einer Investition zu analysieren. <\/p>\n Nachdem wir die Definition des zentralen Grenzwertsatzes gesehen haben, schauen wir uns ein Beispiel an, um seine Bedeutung vollst\u00e4ndig zu verstehen.<\/p>\n Ein Beispiel f\u00fcr den zentralen Grenzwertsatz ist das W\u00fcrfeln. Der W\u00fcrfelwurf folgt einer diskreten Gleichverteilung<\/a> , da alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Die Verteilung der Summe mehrerer Ergebnisse n\u00e4hert sich jedoch einer Normalverteilung an. <\/p>\n Je mehr W\u00fcrfe es gibt, desto wahrscheinlicher ist es, dass die Form der Mittelwertverteilung eher dem Diagramm der Normalverteilung \u00e4hnelt. <\/p>\n Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass, wenn eine Grundgesamtheit einen Mittelwert \u03bc und eine Standardabweichung \u03c3 hat und wir eine ausreichend gro\u00dfe Anzahl von Stichproben (n\u226530) nehmen, die Menge der Stichprobenmittelwerte an eine Normalverteilung mit Mittelwert \u03bc und Standardabweichung \u03c3 angen\u00e4hert werden kann \/\u221an.<\/p>\n<\/p>\n Wenn<\/em> au\u00dferdem X<\/em> 1<\/sub> ,<\/sub> zu einer Normalverteilung, die durch die folgende<\/sub> Formel definiert ist: <\/p>\n<\/p>\n Damit Sie sich das Konzept vollst\u00e4ndig aneignen k\u00f6nnen, finden Sie hier eine gel\u00f6ste \u00dcbung zum zentralen Grenzwertsatz.<\/p>\n Da die Chargengr\u00f6\u00dfe gro\u00df ist (n=100), k\u00f6nnen wir den zentralen Grenzwertsatz anwenden, um das Problem zu l\u00f6sen.<\/p>\n Unter Verwendung der Formel des zentralen Grenzwertsatzes kann die Verteilung der Stichprobenmittelwerte somit einer Normalverteilung mit den folgenden Parametern angen\u00e4hert werden: <\/p>\n<\/p>\n Nun f\u00fchren wir den Tippvorgang durch, um anschlie\u00dfend die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, die die \u00dcbung von uns verlangt. Dazu m\u00fcssen wir den Mittelwert von der Verteilung subtrahieren und ihn dann durch die Standardabweichung dividieren:<\/p>\n<\/p>\n Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass das durchschnittliche Gewicht der St\u00fccke in der Partie mehr als 305 g betr\u00e4gt, m\u00fcssen wir uns ansehen, welchem Wert Z>1 in der Normalverteilungstabelle<\/a> entspricht:<\/p>\n<\/p>\n Andererseits k\u00f6nnen wir dank des zentralen Grenzwertsatzes wissen, dass sich eine Charge von 100 M\u00fcnzen einer Normalverteilung ann\u00e4hern kann, da alle M\u00fcnzen derselben Verteilung folgen. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Charge von 100 M\u00fcnzen mehr als 31 kg wiegt, m\u00fcssen wir daher die andere Formel des zentralen Grenzwertsatzes anwenden:<\/p>\n<\/p>\n Also wiederholen wir den Eingabevorgang und ermitteln dann die zweite Wahrscheinlichkeit, mit der das Problem uns fragt:<\/p>\n<\/p>\n Schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir mithilfe der Normalverteilungstabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine Charge von 100 St\u00fcck mehr als 31 kg wiegt: <\/p>\n<\/p>\n![\"zentraler](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-central-limite.png\")
<\/figure>\n<\/span> Beispiel f\u00fcr den zentralen Grenzwertsatz<\/span><\/h2>\n
![\"Beispiel](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-du-theoreme-central-limite.png\")
<\/figure>\n<\/span> Formel des zentralen Grenzwertsatzes<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbung des zentralen Grenzwertsatzes<\/span><\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\mu_{\\overline{X}}=\\mu=300\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c62f30e3319566c578be2b03a2d983a2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\sigma_{\\overline{X}}=\\cfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}=\\cfrac{50}{\\sqrt{100}}=5\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d9f3d2d9a4272dca9d9e34626ff8290_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aabd7d1605e6518f17d8fc6199becc44_l3.png\")
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