{"id":386,"date":"2023-08-01T07:32:30","date_gmt":"2023-08-01T07:32:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/gesetz-der-grossen-zahlen-2\/"},"modified":"2023-08-01T07:32:30","modified_gmt":"2023-08-01T07:32:30","slug":"gesetz-der-grossen-zahlen-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/gesetz-der-grossen-zahlen-2\/","title":{"rendered":"Gesetz der gro\u00dfen zahlen"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen ist und wof\u00fcr es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. Au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie sich ein Beispiel f\u00fcr die Anwendung des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen ansehen und dar\u00fcber hinaus erfahren, in welchem Zusammenhang dieses Gesetz mit dem zentralen Grenzwertsatz steht. <\/p>\n

<\/span> Was ist das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen?<\/span><\/h2>\n

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen<\/strong> eine Regel, die das Ergebnis einer gro\u00dfen Anzahl von Malen beschreibt. Genauer gesagt besagt das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen, dass der Durchschnitt der Ergebnisse einer gro\u00dfen Anzahl von Versuchen nahe am erwarteten Wert liegt.<\/p>\n

Dar\u00fcber hinaus gilt nach dem Gesetz der gro\u00dfen Zahlen: Je mehr Experimente wir durchf\u00fchren, desto n\u00e4her kommen die Ergebnisse dem erwarteten Wert.<\/p>\n

Wenn wir zum Beispiel f\u00fcnfmal eine M\u00fcnze werfen, k\u00f6nnen wir nur einmal \u201eKopf\u201c bekommen (20 %). Wenn die M\u00fcnze jedoch mehrmals geworfen wird (mehr als 1000 W\u00fcrfe), wird fast die H\u00e4lfte der Ergebnisse \u201eKopf\u201c (50 %) sein, da dies der erwartete Wert ist. Dies ist ein Beispiel f\u00fcr das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen.<\/p>\n

Der Ursprung des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen liegt im 16. Jahrhundert bei Gerolamo Cardano, doch im Laufe der Geschichte waren viele Autoren an der Entwicklung dieses statistischen Gesetzes beteiligt: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov und Chinchin. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Was ist der erwartete Wert?<\/a> <\/div>\n

<\/span> Beispiel f\u00fcr das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen<\/span><\/h2>\n

Nachdem wir die Definition des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen gesehen haben, sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, um seine Bedeutung besser zu verstehen. In diesem Fall analysieren wir die Wahrscheinlichkeiten der m\u00f6glichen Ergebnisse, die wir durch W\u00fcrfeln erzielen k\u00f6nnen.<\/p>\n

Es gibt sechs m\u00f6gliche Ergebnisse beim W\u00fcrfeln (1, 2, 3, 4, 5 und 6), daher ist die theoretische Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses:<\/p>\n<\/p>\n

\"P=\\cfrac{1}{6}=0,167\"<\/p>\n<\/p>\n

Anschlie\u00dfend werden wir den Start mehrmals simulieren und die Ergebnisse in einer H\u00e4ufigkeitstabelle<\/a> festhalten, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen eingehalten wird.<\/p>\n

Damit Sie die Bedeutung der Anzahl der durchgef\u00fchrten Experimente erkennen k\u00f6nnen, werden wir zun\u00e4chst zehn Starts, dann hundert und schlie\u00dflich tausend Starts simulieren. Somit ergeben sich aus der Simulation von 10 zuf\u00e4lligen W\u00fcrfelw\u00fcrfen folgende Ergebnisse: <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Wie Sie sehen, \u00e4hneln die durch die Simulation von nur zehn W\u00fcrfen erhaltenen H\u00e4ufigkeitswahrscheinlichkeiten nicht den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.<\/p>\n

Aber wenn wir die Anzahl der Experimente erh\u00f6hen, werden diese beiden Metriken \u00e4hnlicher. Schauen Sie sich die Simulation von 100 Starts an: <\/p>\n

\"Beispiel<\/figure>\n

Jetzt \u00e4hnelt die f\u00fcr jede Zahl auf dem W\u00fcrfel berechnete H\u00e4ufigkeitswahrscheinlichkeit eher ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit, wir erhalten jedoch immer noch sehr unterschiedliche Werte.<\/p>\n

Schlie\u00dflich f\u00fchren wir das gleiche Verfahren durch, simulieren jedoch 1000 Starts: <\/p>\n

\"entschlossene<\/figure>\n

Wie wir in der letzten Tabelle sehen k\u00f6nnen, liegen die Werte der H\u00e4ufigkeitswahrscheinlichkeiten nun sehr nahe an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.<\/p>\n

Zusammenfassend gilt: Je mehr wir die Anzahl der durchgef\u00fchrten Experimente erh\u00f6hen, desto mehr n\u00e4hert sich der Wert der H\u00e4ufigkeitswahrscheinlichkeit eines Ereignisses seiner theoretischen Eintrittswahrscheinlichkeit. Daher wird das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen<\/strong> respektiert, denn je mehr Iterationen wir durchf\u00fchren, desto \u00e4hnlicher sind die experimentellen Werte den theoretischen Werten. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> H\u00e4ufigkeitswahrscheinlichkeit<\/a> <\/div>\n

<\/span> Einschr\u00e4nkung des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen<\/span><\/h2>\n

Das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen ist in den allermeisten F\u00e4llen g\u00fcltig, bestimmte Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen erf\u00fcllen diesen statistischen Satz jedoch nicht.<\/p>\n

Beispielsweise konvergieren die Cauchy-Verteilung oder die Pareto-Verteilung (\u03b1<1) nicht, wenn die Anzahl der Versuche zunimmt. Dies liegt an den gro\u00dfen Ausl\u00e4ufern der Verteilungen, was bedeutet, dass sie keinen erwarteten Wert haben.<\/p>\n

Andererseits sind einige Experimente aufgrund ihrer Eigenschaften verzerrt, sodass der Forscher dazu neigt, die Ergebnisse (absichtlich oder unabsichtlich) aus rationalen, psychologischen, wirtschaftlichen usw. Gr\u00fcnden zu modifizieren. Gr\u00fcnde daf\u00fcr. In diesen F\u00e4llen tr\u00e4gt das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen nicht dazu bei, die Verzerrung zu beseitigen, aber die Verzerrung bleibt unabh\u00e4ngig von der Erh\u00f6hung der Anzahl der Versuche bestehen. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/a> <\/div>\n

<\/span> Gesetz der gro\u00dfen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz<\/span><\/h2>\n

Das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz sind zwei eng miteinander verbundene Grundregeln der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. In diesem Abschnitt werden wir sehen, in welcher Beziehung sie zueinander stehen und worin ihre Unterschiede liegen.<\/p>\n

Der zentrale Grenzwertsatz, auch zentraler Grenzwertsatz genannt, besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung ann\u00e4hert, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe zunimmt, unabh\u00e4ngig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Grundgesamtheit.<\/p>\n

Der Unterschied zwischen dem Gesetz der gro\u00dfen Zahlen und dem zentralen Grenzwertsatz<\/strong> besteht darin, dass das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen besagt, dass der Durchschnitt einer gro\u00dfen Anzahl von Versuchen nahe an seinem erwarteten Wert liegt, der zentrale Grenzwertsatz jedoch besagt, dass der Durchschnitt vieler Versuche liegt Proben n\u00e4hern sich einer Normalverteilung an. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Zentraler Grenzwertsatz<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen ist und wof\u00fcr es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet wird. Au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie sich ein Beispiel f\u00fcr die Anwendung des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen ansehen und dar\u00fcber hinaus erfahren, in welchem Zusammenhang dieses Gesetz mit dem zentralen Grenzwertsatz steht. 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