{"id":39,"date":"2023-08-06T06:39:02","date_gmt":"2023-08-06T06:39:02","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/hypergeometrische-verteilung-1\/"},"modified":"2023-08-06T06:39:02","modified_gmt":"2023-08-06T06:39:02","slug":"hypergeometrische-verteilung-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/hypergeometrische-verteilung-1\/","title":{"rendered":"Hypergeometrische verteilung"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die hypergeometrische Verteilung ist und wie mit dieser Art von Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet wird. Sie finden online die Formel f\u00fcr die hypergeometrische Verteilung, ihre Eigenschaften sowie einen Rechner zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der hypergeometrischen Verteilung. <\/p>\n

<\/span> Was ist die hypergeometrische Verteilung?<\/span><\/h2>\n

Die hypergeometrische Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl erfolgreicher F\u00e4lle bei einer zuf\u00e4lligen Extraktion ohne Ersetzung von n<\/em> Elementen aus einer Grundgesamtheit beschreibt.<\/p>\n

Das hei\u00dft, die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x<\/em> Erfolge zu erzielen, wenn n<\/em> Elemente aus einer Population extrahiert werden, ohne eines davon zu ersetzen.<\/p>\n

Die hypergeometrische Verteilung hat drei Parameter:<\/p>\n

    \n
  • N<\/em><\/strong> : ist die Anzahl der Elemente in der Population (N = 0, 1, 2,\u2026).<\/li>\n
  • K<\/em><\/strong> : ist die maximale Anzahl von Erfolgsf\u00e4llen (K = 0, 1, 2,\u2026,N). Da in einer hypergeometrischen Verteilung ein Element nur als \u201eErfolg\u201c oder \u201eMisserfolg\u201c betrachtet werden kann, ist NK<\/em> die maximale Anzahl von Misserfolgsf\u00e4llen.<\/li>\n
  • n<\/em><\/strong> : ist die Anzahl der durchgef\u00fchrten Abrufe ohne Ersetzung.<\/li>\n<\/ul>\n

    \"X<\/p>\n<\/p>\n

    Beispielsweise ist eine diskrete Zufallsvariable X, die eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N=8, K=5 und n=3 aufweist, wie folgt definiert: <\/p>\n<\/p>\n

    \"X<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Hypergeometrische Verteilungsformel<\/span><\/h2>\n

    Die Formel f\u00fcr die hypergeometrische Verteilung<\/strong> ist das Produkt der kombinatorischen Zahl von K<\/em> \u00fcber x<\/em> durch die kombinatorische Zahl von NK<\/em> \u00fcber nx<\/em> dividiert durch die kombinatorische Zahl von N<\/em> \u00fcber n<\/em> . <\/p>\n

    \n
    \"hypergeometrische<\/figure>\n<\/div>\n

    Dabei ist N<\/em> die Populationsgr\u00f6\u00dfe, K<\/em> die Gesamtzahl der g\u00fcnstigen F\u00e4lle, n<\/em> die Anzahl der ersatzlosen Extraktionen und x<\/em> die Anzahl der g\u00fcnstigen F\u00e4lle, f\u00fcr die die Eintrittswahrscheinlichkeit berechnet werden muss.<\/p>\n

    \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses einer Variablen berechnen, die der hypergeometrischen Verteilung folgt.<\/u> <\/p>\n

    <\/span> Beispiel einer hypergeometrischen Verteilung<\/span><\/h2>\n

    Nachdem wir die Definition und Formel der hypergeometrischen Verteilung gesehen haben, werden wir nun Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel l\u00f6sen, damit Sie wissen, wie Sie die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrischen Verteilung berechnen.<\/p>\n

      \n
    • In eine T\u00fcte legen wir 20 blaue und 30 rote Kugeln, d. h. insgesamt sind 50 Kugeln in der T\u00fcte. Wenn wir 12 B\u00e4lle ziehen, ohne einen zu ersetzen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, 4 blaue B\u00e4lle zu ziehen.<\/li>\n<\/ul>\n

      Um die Aufgabe zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Parameter der hypergeometrischen Verteilung identifizieren. In diesem Fall betr\u00e4gt die Gesamtzahl der Elemente in der Grundgesamtheit 50 ( N<\/em> = 50), die maximale Anzahl g\u00fcnstiger F\u00e4lle betr\u00e4gt 20 ( K<\/em> = 20) und es werden 12 Kugeln gezogen ( n<\/em> = 12).<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\left.\\begin{array}{c}N=50\\\\[2ex]K=20\\\\[2ex]n=12\\end{array}\\right\\}<\/p>\n<\/p>\n

      Wir m\u00f6chten die Wahrscheinlichkeit berechnen, 4 blaue Kugeln zu ziehen ( x<\/em> =4), also wenden wir die hypergeometrische Verteilungsformel an, ersetzen die Variablen durch ihre entsprechenden Werte und f\u00fchren die Berechnung durch: <\/p>\n<\/p>\n

      \"P\\bigl[X=x\\bigr]=\\cfrac{\\begin{pmatrix}K\\\\x\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}N-K\\\\n-x\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}N\\\\n\\end{pmatrix}}\"<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\begin{aligned}P\\bigl[X=4\\bigr]&=\\cfrac{\\begin{pmatrix}20\\\\4\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}50-20\\\\12-4\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}50\\\\12\\end{pmatrix}}<\/p>\n<\/p>\n

      <\/span> Hypergeometrischer Verteilungsrechner<\/span><\/h2>\n

      Geben Sie die Parameter der hypergeometrischen Verteilung in den folgenden Online-Rechner ein, um die Eintrittswahrscheinlichkeit des gew\u00fcnschten Ereignisses zu berechnen.<\/p>\n

      Denken Sie daran, dass N<\/em> die Populationsgr\u00f6\u00dfe, K<\/em> die Gesamtzahl der g\u00fcnstigen F\u00e4lle, n<\/em> die Stichprobengr\u00f6\u00dfe und x<\/em> der Wert ist, f\u00fcr den wir die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr ermitteln m\u00f6chten. <\/p>\n

      \n
        \n
      • \n

        \"N\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"K\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"n\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"x\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n<\/ul>\n

        <\/div>\n<\/form>\n

        <\/span> Merkmale der hypergeometrischen Verteilung<\/span><\/h2>\n

        Die hypergeometrische Verteilung hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n

          \n
        • Der Erwartungswert einer hypergeometrischen Verteilung<\/strong> ist gleich der Anzahl der Elemente in der Stichprobe multipliziert mit der Gesamtzahl der g\u00fcnstigen F\u00e4lle dividiert durch die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit.<\/li>\n<\/ul>\n

          \"E[X]=\\cfrac{n\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

            \n
          • Der Modus einer hypergeometrischen Verteilung<\/strong> ist der abgerundete Wert aus dem Produkt von n+1<\/em> mal K+1<\/em> dividiert durch N+2<\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n

            \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

              \n
            • Die Varianz einer hypergeometrischen Verteilung<\/strong> kann mit dem folgenden Ausdruck ermittelt werden:<\/li>\n<\/ul>\n

              \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

                \n
              • Die momenterzeugende Funktion einer hypergeometrischen Verteilung ist wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n

                \"\\cfrac{{N-K<\/p>\n<\/p>\n

                  \n
                • Die charakteristische Funktion der hypergeometrischen Verteilung ist wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n

                  \"\\cfrac{{N-K<\/p>\n<\/p>\n

                    \n
                  • Die Eintrittswahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen kann aus der Wahrscheinlichkeit der vorherigen Anzahl mithilfe der Rekursive f\u00fcr die hypergeometrische Verteilung berechnet werden: <\/li>\n<\/ul>\n

                    \"P[X=x+1]=\\cfrac{(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

                    <\/span> Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung<\/span><\/h2>\n

                    Der Unterschied zwischen der hypergeometrischen Verteilung und der Binomialverteilung<\/strong> ist die Ersetzung. Hypergeometrische Verteilung wird verwendet, wenn Retrievals nicht ersetzt werden, bei der Binomialverteilung werden Retrievals jedoch ersetzt.<\/p>\n

                    Wenn wir beispielsweise f\u00fcnf Karten zuf\u00e4llig in einem Stapel ziehen und die Wahrscheinlichkeit berechnen m\u00f6chten, eine bestimmte Karte zu erhalten, m\u00fcssen wir f\u00fcr die Berechnung die hypergeometrische Verteilung verwenden, wenn wir nicht jede gezogene Karte ersetzen. Wenn wir jedoch beim Entfernen einer Karte diese vor der n\u00e4chsten Extraktion wieder zur\u00fccklegen, m\u00fcssen wir die Binomialverteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.<\/p>\n

                    Wenn die Zahl N<\/em> gro\u00df, das Verh\u00e4ltnis n\/N<\/em> klein und die Anzahl der gew\u00fcnschten g\u00fcnstigen F\u00e4lle sehr klein ist, k\u00f6nnen wir die hypergeometrische Verteilung als N\u00e4herung der Binomialverteilung verwenden. Ich empfehle es jedoch nicht, da das Ergebnis nicht so zuverl\u00e4ssig ist und es au\u00dferdem einfacher ist, Wahrscheinlichkeiten mit dem Binomialgesetz zu berechnen als mit dem hypergeometrischen Gesetz.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                    In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die hypergeometrische Verteilung ist und wie mit dieser Art von Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet wird. Sie finden online die Formel f\u00fcr die hypergeometrische Verteilung, ihre Eigenschaften sowie einen Rechner zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der hypergeometrischen Verteilung. Was ist die hypergeometrische Verteilung? Die hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[],"yoast_head":"\nHypergeometrische Verteilung: Formel, Beispiel, Taschenrechner, ...<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wir erkl\u00e4ren, was die hypergeometrische Verteilung ist und alle ihre Eigenschaften. 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