{"id":391,"date":"2023-08-01T05:09:32","date_gmt":"2023-08-01T05:09:32","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/wahrscheinlichkeit-der-vereinigung-von-ereignissen\/"},"modified":"2023-08-01T05:09:32","modified_gmt":"2023-08-01T05:09:32","slug":"wahrscheinlichkeit-der-vereinigung-von-ereignissen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/wahrscheinlichkeit-der-vereinigung-von-ereignissen\/","title":{"rendered":"Wahrscheinlichkeit der vereinigung von ereignissen"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man die Vereinigungswahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnet. So erfahren Sie, wie die Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen lautet, und l\u00f6sen zus\u00e4tzlich \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-union-de-sucesos\"><\/span> Was ist die Vereinigung von Ereignissen?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die <strong>Vereinigung von Ereignissen<\/strong> eine Ereignisoperation, deren Ergebnis sich aus allen <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einfaches-ereignis-elementares-ereignis\/\">Elementarereignissen<\/a> der Mengen der Operation zusammensetzt. Mit anderen Worten: Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist die Menge der Ereignisse, die in A, in B oder in beiden vorkommen.<\/p>\n<p> Die Vereinigung zweier Ereignisse wird durch das Symbol \u22c3 ausgedr\u00fcckt. Somit wird die Vereinigung der Ereignisse A und B als A\u22c3B geschrieben.<\/p>\n<p> Wenn zum Beispiel im Zufallsexperiment des W\u00fcrfelns ein Ereignis eine ungerade Zahl A={1, 3, 5} und ein anderes Ereignis eine Zahl kleiner als drei B={1, 2} w\u00fcrfelt, ist die Vereinigung der beiden Ereignisse sind A\u22c3B={1, 2, 3, 5}. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-probabilidad-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse<\/strong> ist gleich der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses minus der Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse.<\/p>\n<p> Mit anderen Worten lautet die <strong>Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse<\/strong> P(A\u22c3B)=P(A)+P(B)-P(A\u22c2B).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e79827dee6ad7d53b96b5497d617f7c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignis A und Ereignis B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von Ereignis A und Ereignis B. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\">Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von Ereignissen<\/a><\/div>\n<p> Wenn die beiden Ereignisse jedoch nicht kompatibel sind, ist der Schnittpunkt zwischen den beiden Ereignissen Null. Daher wird die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e37b28e2af91ca519dd29b995f09b255_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A y B son incompatibles} \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ P(A\\cap B)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"434\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b9b611e8eecce66db00b6a62c94c7a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/inkompatible-ereignisse\/\">Inkompatible Ereignisse<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-resueltos-de-la-probabilidad-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> Gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse berechnet wird, hinterlassen wir Ihnen unten zwei Beispiele, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Wir ermitteln zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse und dann die Wahrscheinlichkeit zweier kompatibler Ereignisse, da die Berechnung etwas anders ist. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-union-de-dos-sucesos-incompatibles\"><\/span> Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Wir legen 10 blaue Kugeln, 6 orangefarbene Kugeln und 4 gr\u00fcne Kugeln in eine Schachtel. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue oder orangefarbene Kugel zu ziehen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In der \u00dcbung werden wir aufgefordert, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der das eine oder andere Ereignis eintritt. Um das Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir daher die Formel f\u00fcr die Vereinigung zweier Ereignisse verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher berechnen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat eintritt, mithilfe der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/laplace-regel-oder-laplace-gesetz\/\">Laplace-Regelformel<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b1a5b8249e01fe618b08ea0079e1146_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{10}{10+6+4}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6220946609d47abd9f3fe7cd85d4b14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja})=\\cfrac{6}{10+6+4}=0,3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"279\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall k\u00f6nnen jedoch nicht beide Ereignisse gleichzeitig auftreten, da es sich um zwei inkompatible Ereignisse handelt. Wenn wir also einen blauen Ball zeichnen, k\u00f6nnen wir keinen orangefarbenen Ball mehr zeichnen und umgekehrt.<\/p>\n<p> Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse Null und daher wird die Formel vereinfacht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e00a6d1c1398bf9e15fd02b1d93a0354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-\\cancelto{0}{P(A\\cap B)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, einen blauen oder orangefarbenen Ball zu fangen, lautet also wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1776904c975b28dbbd57e37f714182ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{bola azul}\\cup \\text{bola naranja})&amp;=P(\\text{bola azul})+P(\\text{bola azul})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,3\\\\[2ex]&amp;=0,8\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, einen blauen oder orangefarbenen Ball aus der Schachtel zu entfernen, 80 %. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-union-de-dos-sucesos-compatibles\"><\/span> Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier kompatibler Ereignisse<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Wenn wir eine M\u00fcnze zweimal werfen, wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei mindestens einem Wurf \u201eKopf\u201c bekommen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In diesem Fall sind die Ereignisse kompatibel, da wir beim ersten Wurf \u201eKopf\u201c und beim zweiten Wurf \u201eZahl\u201c erhalten k\u00f6nnen. Daher ist die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen nicht vereinfacht und lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen also zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei einem M\u00fcnzwurf \u201eKopf\u201c zu bekommen, indem wir die Laplace-Regel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der beiden Ereignisse mithilfe <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/multiplikationsregel\/\">der Multiplikationsregelformel<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1382d107f7e0e3e2f936db296f550df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})=\\cfrac{1}{2}\\cdot \\cfrac{1}{2}=0,5\\cdot 0,5=0,25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um schlie\u00dflich die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass bei mindestens einem der beiden W\u00fcrfe \u201eKopf\u201c f\u00e4llt, setzen Sie einfach die Werte in die Formel ein und f\u00fchren Sie die Berechnung durch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbdfc38f607783282ef9cd0578dfba06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{cara}\\cup \\text{cara})&amp;=P(\\text{cara})+P(\\text{cara})-P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,5-0,25\\\\[2ex]&amp;=0,75\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"411\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine M\u00fcnze, wenn man sie zweimal wirft, mindestens einmal \u201eKopf\u201c zeigt, 75 % betr\u00e4gt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> Eigenschaften von Ereignisgewerkschaften<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Wahrscheinlichkeitstheorie erf\u00fcllt die Funktionsweise der Ereignisvereinigung die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Kommutative Eigenschaft:<\/strong> Die Reihenfolge der Ereignisse in der Vereinigung ver\u00e4ndert das Ergebnis der Operation nicht.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9902cfce1cbc93d9a6a1ec886b024e56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup B=B\\cup A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"118\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Assoziative Eigenschaft:<\/strong> Die Vereinigung dreier Ereignisse kann in beliebiger Reihenfolge berechnet werden, da das Ergebnis dasselbe ist.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee83128771a53d7707db452775e813fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\cup B)\\cup C=A\\cup (B\\cup C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Verteilungseigenschaft:<\/strong> Die Vereinigung von Ereignissen verwirklicht die Verteilungseigenschaft mit der Schnittmenge von Ereignissen.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34438b7988bfbf972fba4814e374bcef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup (B\\cap C)=(A\\cup B)\\cap (A\\cup C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/operationen-mit-ereignissen\/\">Operationen mit Ereignissen<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man die Vereinigungswahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnet. 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