Die Laplace-Regel, auch Laplace-Gesetz genannt, ist eine Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses.<\/p>\n
Die Laplace-Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses gleich der Anzahl g\u00fcnstiger F\u00e4lle dividiert durch die Gesamtzahl m\u00f6glicher F\u00e4lle ist. Um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu berechnen, m\u00fcssen daher die F\u00e4lle, die dieses Ereignis erf\u00fcllen, durch die Anzahl der m\u00f6glichen Ergebnisse geteilt werden.<\/p>\n
Somit lautet die Formel f\u00fcr die Laplace-Regel<\/strong> wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses. Mit anderen Worten: Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses betr\u00e4gt 1.<\/p>\n<\/p>\n Beispielsweise betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 5 zu w\u00fcrfeln, 0,167, da wir die Wahrscheinlichkeit, jede andere Zahl zu w\u00fcrfeln, mithilfe dieser Wahrscheinlichkeitseigenschaft bestimmen k\u00f6nnen: <\/p>\n<\/p>\n Die bedingte Wahrscheinlichkeit, auch bedingte Wahrscheinlichkeit genannt, ist ein statistisches Ma\u00df, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Ereignis A eintritt, wenn ein anderes Ereignis B eintritt. Das hei\u00dft, die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, nachdem Ereignis B bereits eingetreten ist.<\/p>\n Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei gegebenem Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zwischen Ereignis A und Ereignis B dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. Daher lautet die Formel f\u00fcr die bedingte Wahrscheinlichkeit<\/strong> wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist die Menge der Ereignisse, die in A, in B oder in beiden vorkommen. Die Vereinigung zweier Ereignisse wird mit dem Symbol \u22c3 ausgedr\u00fcckt, daher wird die Vereinigung der Ereignisse A und B als A\u22c3B geschrieben.<\/p>\n Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses minus der Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der Ereignisse.<\/p>\n Mit anderen Worten lautet die Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse<\/strong> P(A\u22c3B)=P(A)+P(B)-P(A\u22c2B).<\/p>\n<\/p>\n Wenn die beiden Ereignisse jedoch nicht kompatibel sind, ist der Schnittpunkt zwischen den beiden Ereignissen Null. Daher wird die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird. <\/p>\n<\/p>\n Der Schnittpunkt der Ereignisse A und B wird durch alle Ereignisse gebildet, die gleichzeitig zu A und B geh\u00f6ren, er wird durch das Symbol \u22c2 ausgedr\u00fcckt. Somit wird der Schnittpunkt der Ereignisse A und B als A\u22c2B geschrieben.<\/p>\n Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses bei gegebenem ersten Ereignis.<\/p>\n Daher lautet die Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse<\/strong> P(A\u22c2B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).<\/p>\n<\/p>\n Wenn die beiden Ereignisse jedoch unabh\u00e4ngig sind, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses nicht davon abh\u00e4ngt, ob das andere Ereignis eintritt. Daher lautet die Formel f\u00fcr die Schnittwahrscheinlichkeit der beiden unabh\u00e4ngigen Ereignisse wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n Die Differenzwahrscheinlichkeit zwischen zwei Ereignissen bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ohne dass gleichzeitig das andere Ereignis eintritt.<\/p>\n Daher ist die Wahrscheinlichkeit der Differenz der AB-Erfolge gleich der Wahrscheinlichkeit des Erfolgs A abz\u00fcglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge zwischen dem A-Erfolg und dem B-Erfolg. Die Formel f\u00fcr die Wahrscheinlichkeit der Differenz der Erfolge<\/strong> lautet also die n\u00e4chste: <\/p>\n<\/p>\n Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz ist ein Gesetz, das es erm\u00f6glicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht Teil eines Stichprobenraums ist, aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in diesem Stichprobenraum zu berechnen.<\/p>\n Der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz besagt, dass bei einer gegebenen Menge von Ereignissen {A 1<\/sub> , A 2<\/sub> ,\u2026, A n<\/sub> }, die eine Partition auf dem Stichprobenraum bilden, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist Ereignis P(A i<\/sub> ) durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A i<\/sub> ).<\/p>\n Daher lautet die Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<\/strong> : <\/p>\n<\/p>\n In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Satz von Bayes ein Gesetz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn a priori Informationen \u00fcber dieses Ereignis bekannt sind.<\/p>\n Der Satz von Bayes besagt, dass wir bei einem Beispielraum, der aus einer Menge sich gegenseitig ausschlie\u00dfender Ereignisse {A 1<\/sub> , A 2<\/sub> ,\u2026, A i<\/sub> ,\u2026, A n<\/sub> } besteht, deren Wahrscheinlichkeiten nicht Null sind, und einem anderen Ereignis B die Bedingung mathematisch in Beziehung setzen k\u00f6nnen Wahrscheinlichkeit von A i<\/sub> bei gegebenem Ereignis B mit der bedingten Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A i<\/sub> .<\/p>\n Die Formel f\u00fcr den Satz von Bayes<\/strong> lautet also wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n![\"P(A)=\\cfrac{\\text{casos](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3b5a3fd8897ec1933cfc654566b84dc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel f\u00fcr das inverse Ereignis<\/span><\/h2>\n
![\"P\\bigl(A\\bigr)=1-P\\bigl(\\overline{A}\\bigr)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0d62ccd1f8f95072d222f71dc749d90_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"P(5)=0,167\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e788117c866c89ae91541e23b4f3c548_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"P(1,](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3524f2e9cc4c5e46291f12f8eb9cfe6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel<\/span><\/h2>\n
![\"P(A|B)=\\cfrac{P(A\\cap](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f95773f97f65355e94817757e7bc3e76_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel f\u00fcr die Vereinigung von Ereignissen<\/span><\/h2>\n
![\"P(A\\cup](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{A](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e37b28e2af91ca519dd29b995f09b255_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"P(A\\cup](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b9b611e8eecce66db00b6a62c94c7a5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel f\u00fcr die Schnittmenge von Ereignissen<\/span><\/h2>\n
![\"P(A\\cap](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acadb606c53d2237406ab492ad5c26ff_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"P(A\\cap](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel f\u00fcr den Unterschied der Ereignisse<\/span><\/h2>\n
![\"P(A-B)=P(A)-P(A\\cap](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6629f4be6b709ade16ee97ae8a42d8f9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel f\u00fcr den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz<\/span><\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bd2e4c30e05d7abab89dabb7b85cd6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Formel des Satzes von Bayes<\/span><\/h2>\n
![\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"Wahrscheinlichkeitsformeln\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/formules-de-probabilite.png\")
<\/figure>\n