{"id":411,"date":"2023-07-30T08:00:52","date_gmt":"2023-07-30T08:00:52","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/"},"modified":"2023-07-30T08:00:52","modified_gmt":"2023-07-30T08:00:52","slug":"die-normalverteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/","title":{"rendered":"Die normalverteilung"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Normalverteilung<\/strong> ist die h\u00e4ufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-952 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/liste_normale.png\" alt=\"\" width=\"838\" height=\"354\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Normalverteilungen haben die folgenden Eigenschaften:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Glockenform<\/span><\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/symmetrische-verteilung-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #000000;\">Symmetrisch<\/span><\/a><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Der Mittelwert und der Median sind gleich; beide liegen im Zentrum der Verteilung<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Etwa 68 % der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Etwa 95 % der Daten liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Etwa 99,7 % der Daten liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die letzten drei Punkte werden als <strong>Faustregel<\/strong> bezeichnet, manchmal auch <strong>als 68-95-99,7-Regel<\/strong> bezeichnet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Verwandte Themen:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/praktische-regel-empirische-probleme\/\">Faustregel (\u00dcbungsprobleme)<\/a><\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>So zeichnen Sie eine Normalkurve<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um eine Normalkurve zu zeichnen, m\u00fcssen wir den Mittelwert und die Standardabweichung kennen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel 1:<\/strong> <em><strong>Angenommen, die Gr\u00f6\u00dfe der M\u00e4nner in einer bestimmten Schule ist normalverteilt mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 70 Zoll und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 2 Zoll. Skizzieren Sie die Normalkurve.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1:<\/strong> Skizzieren Sie eine Normalkurve.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2:<\/strong> Der Durchschnitt von 70 Zoll liegt in der Mitte.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3:<\/strong> Jede Standardabweichung entspricht einem Abstand von 2 Zoll.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-955 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/normaldist1.png\" alt=\"\" width=\"510\" height=\"356\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel 2:<\/strong> <em><strong>Angenommen, das Gewicht einer bestimmten Otterart ist normalverteilt mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 30 lb und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 5 lb. Skizzieren Sie die Normalkurve.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1:<\/strong> Skizzieren Sie eine Normalkurve.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2:<\/strong> Das durchschnittliche Gewicht von 30 Pfund liegt in der Mitte.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3:<\/strong> Jede Standardabweichung entspricht einer Distanz von 5 Pfund<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-956 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/normaldist2.png\" alt=\"\" width=\"506\" height=\"330\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <strong>So finden Sie Prozents\u00e4tze mithilfe der Normalverteilung<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Faustregel<\/strong> , manchmal auch <strong>68-95-99,7-Regel<\/strong> genannt, besagt, dass f\u00fcr eine normalverteilte Zufallsvariable 68 % der Daten in den Bereich von einer Standardabweichung vom Mittelwert fallen, 95 % in den Bereich von zwei Standards Abweichungen vom Mittelwert und 99,7 % liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-952 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/liste_normale.png\" alt=\"\" width=\"838\" height=\"354\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit dieser Regel k\u00f6nnen wir Fragen zu Prozents\u00e4tzen beantworten.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel:<\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Angenommen, die Gr\u00f6\u00dfe der M\u00e4nner in einer bestimmten Schule ist normalverteilt mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 70 Zoll und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 2 Zoll.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong><span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">Wie viel Prozent der M\u00e4nner an dieser Schule sind ungef\u00e4hr \u00fcber 74 Zoll gro\u00df?<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1:<\/strong> Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 70 Zoll und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 2 Zoll.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Schritt 2:<\/span><\/strong> <span style=\"color: #000000;\">Eine K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe von 74 Zoll liegt zwei Standardabweichungen \u00fcber dem Durchschnitt. Addieren Sie die Prozents\u00e4tze \u00fcber diesem Punkt zur Normalverteilung.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-959 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/normaldist3-1.png\" alt=\"\" width=\"512\" height=\"334\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">2,35 % + 0,15 % = <strong>2,5 %<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Etwa <strong>2,5 %<\/strong> der M\u00e4nner an dieser Schule sind \u00fcber 74 Zoll gro\u00df.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong><span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">Wie viel Prozent der M\u00e4nner an dieser Schule sind ungef\u00e4hr zwischen 68 und 72 Zoll gro\u00df?<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1:<\/strong> Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 70 Zoll und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 2 Zoll.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Schritt 2:<\/span><\/strong> <span style=\"color: #000000;\">Eine K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe von 68 Zoll und 72 Zoll liegt eine Standardabweichung unter bzw. \u00fcber dem Durchschnitt. Addieren Sie einfach die Prozents\u00e4tze zwischen diesen beiden Punkten in der Normalverteilung.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-961 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/normaldist4.png\" alt=\"\" width=\"504\" height=\"332\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">34 % + 34 % = <strong>68 %<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Etwa <strong>68 %<\/strong> der M\u00e4nner an dieser Schule sind zwischen 68 und 72 Zoll gro\u00df.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">So finden Sie Z\u00e4hlungen mithilfe der Normalverteilung<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen die Faustregel auch verwenden, um Fragen zu Z\u00e4hlungen zu beantworten.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beispiel: <em><strong>Angenommen, das Gewicht einer bestimmten Otterart ist normalverteilt mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 30 lb und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 5 lb.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Eine bestimmte Kolonie hat 200 dieser Otter. Wie viele dieser Otter wiegen ungef\u00e4hr mehr als 35 Pfund?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung:<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1:<\/strong> Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-7\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03bc<\/span> <span class=\"mrel\">= 30 lb und<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> einer Standardabweichung von <span aria-hidden=\"true\" aria-describedby=\"katex-8\"><span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"mord mathit\">\u03c3 = 5 lb.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Schritt 2:<\/span><\/strong> <span style=\"color: #000000;\">Ein Gewicht von 35 Pfund liegt eine Standardabweichung \u00fcber dem Mittelwert. Addieren Sie die Prozents\u00e4tze \u00fcber diesem Punkt zur Normalverteilung.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-964 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/normaldiste5.png\" alt=\"\" width=\"508\" height=\"333\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">13,5 % + 2,35 % + 0,15 % = <strong>16 %<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3:<\/strong> Da es in der Kolonie 200 Otter gibt, sind 16 % von 200 = 0,16 * 200 = <strong>32<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ungef\u00e4hr 32 Otter in dieser Kolonie wiegen mehr als 35 Pfund.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Wie viele Otter in dieser Kolonie wiegen ungef\u00e4hr weniger als 30 Pfund?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Anstatt alle Schritte zu befolgen, die wir oben ausgef\u00fchrt haben, k\u00f6nnen wir erkennen, dass der Median einer Normalverteilung gleich dem Mittelwert ist, der in diesem Fall 30 Pfund betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das bedeutet, dass die H\u00e4lfte der Otter mehr als 30 Pfund und die andere H\u00e4lfte weniger als 30 Pfund wiegt. Das bedeutet, dass 50 % der 200 Otter weniger als 30 Pfund wiegen, also 0,5 * 200 = <strong>100 Otter<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die folgenden Tutorials bieten zus\u00e4tzliche Informationen zur Normalverteilung:<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/beispiel-fur-eine-normalverteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">6 konkrete Beispiele der Normalverteilung<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilung-vs.-t-verteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Normalverteilung vs. t-Verteilung: der Unterschied<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/glockenkurve-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">So erstellen Sie eine Glockenkurve in Excel<\/a><br \/><a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/glockenkurven-python\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">So erstellen Sie eine Glockenkurve in Python<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Normalverteilung ist die h\u00e4ufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. 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