Wenn wir eine einfache Zufallsstichprobe<\/a> von 50 Delfinen aus dieser Population ziehen, k\u00f6nnten wir feststellen, dass das Durchschnittsgewicht der Delfine in dieser Stichprobe 305 Pfund betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n Wenn wir dann eine weitere einfache Zufallsstichprobe von 50 Delfinen nehmen, k\u00f6nnten wir feststellen, dass das durchschnittliche Gewicht der Delfine in dieser Stichprobe 295 Pfund betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n Wenn wir eine einfache Zufallsstichprobe von 50 Delfinen nehmen, ist es wahrscheinlich, dass das Durchschnittsgewicht der Delfine in der Stichprobe nahe am Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt von 300 Pfund liegt, aber nicht genau 300 Pfund.<\/span><\/p>\n Stellen wir uns vor, wir nehmen 200 einfache Zufallsstichproben von 50 Delfinen aus dieser Population und erstellen ein Histogramm des Durchschnittsgewichts jeder Stichprobe:<\/span> <\/p>\n In den meisten Proben liegt das Durchschnittsgewicht bei etwa 300 Pfund. In seltenen F\u00e4llen k\u00f6nnen wir eine Probe voller kleiner Delfine entnehmen, deren Durchschnittsgewicht nur 250 Pfund betr\u00e4gt. Oder wir nehmen eine Probe voller T\u00fcmmler, die durchschnittlich 350 Pfund wiegen. Im Allgemeinen ist die Verteilung<\/em> der Stichprobenmittelwerte ann\u00e4hernd normal, wobei sich das Verteilungszentrum im wahren Zentrum der Grundgesamtheit befindet.<\/span><\/p>\n Diese Verteilung der Stichprobenmittelwerte wird als Stichprobenverteilung des Mittelwerts<\/strong> bezeichnet und weist die folgenden Eigenschaften auf:<\/span><\/p>\n \u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n Dabei ist \u03bc x<\/span><\/sub> der Stichprobenmittelwert und \u03bc der Populationsmittelwert.<\/span><\/p>\n \u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n Dabei ist \u03c3 x<\/span><\/sub> die Stichprobenstandardabweichung, \u03c3 die Grundgesamtheitsstandardabweichung und n die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/span><\/p>\n Wir wissen beispielsweise, dass das Durchschnittsgewicht dieser Delfinpopulation \u03bc = 300 betr\u00e4gt. Der Mittelwert der Stichprobenverteilung betr\u00e4gt also \u03bc x<\/span><\/sub><\/strong> = 300<\/strong> .<\/span><\/p>\n Nehmen wir an, wir wissen auch, dass die Populationsstandardabweichung 18 Pfund betr\u00e4gt. Die Stichprobenstandardabweichung betr\u00e4gt daher \u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 18\/ \u221a50 = 2,546<\/strong> .<\/span><\/p>\n Betrachten Sie die gleiche Population von 10.000 Delfinen. Gehen Sie davon aus, dass 10 % der Delfine schwarz und der Rest grau sind. Nehmen wir an, wir nehmen eine einfache Zufallsstichprobe<\/a> von 50 Delfinen und stellen fest, dass 14 % der Delfine in dieser Stichprobe schwarz sind. Als n\u00e4chstes nehmen wir eine weitere einfache Zufallsstichprobe von 50 Delfinen und stellen fest, dass 8 % der Delfine in dieser Stichprobe schwarz sind.<\/span><\/p>\n Stellen Sie sich vor, wir nehmen 200 einfache Zufallsstichproben von 50 Delfinen aus dieser Population und erstellen ein Histogramm des Anteils schwarzer Delfine in jeder Stichprobe:<\/span> <\/p>\n In den meisten Proben wird der Anteil schwarzer Delfine nahe an der tats\u00e4chlichen Population von 10 % liegen. Die Verteilung<\/em> des Stichprobenanteils schwarzer Delfine wird ann\u00e4hernd normal sein, wobei das Verteilungszentrum im wahren Zentrum der Population liegt.<\/span><\/p>\n Diese Verteilung der Stichprobenanteile wird als Stichprobenanteilsverteilung<\/strong> bezeichnet und weist die folgenden Eigenschaften auf:<\/span><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n Dabei ist p<\/em> der Stichprobenanteil und P<\/em> der Bev\u00f6lkerungsanteil.<\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n Dabei ist P der Bev\u00f6lkerungsanteil und n die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/span><\/p>\n Wir wissen beispielsweise, dass in dieser Delfinpopulation der tats\u00e4chliche Anteil der schwarzen Delfine 10 % = 0,1 betr\u00e4gt. Somit betr\u00e4gt der Mittelwert der Anteilsstichprobenverteilung \u03bc p<\/sub><\/strong> = 0,1<\/strong> .<\/span><\/p>\n Nehmen wir an, wir wissen auch, dass die Populationsstandardabweichung 18 Pfund betr\u00e4gt. Somit betr\u00e4gt die Stichprobenstandardabweichung \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span> = \u221a (.1)(1-.1) \/ 50<\/span> = .042<\/strong> .<\/span><\/p>\n Um die oben genannten Formeln verwenden zu k\u00f6nnen, muss die Stichprobenverteilung normal sein.<\/span><\/p>\n Nach dem zentralen Grenzwertsatz<\/strong><\/a> ist die Stichprobenverteilung eines Stichprobenmittelwerts ann\u00e4hernd normal, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist, auch wenn die Grundgesamtheitsverteilung nicht normal ist<\/em> . In den meisten F\u00e4llen halten wir eine Stichprobengr\u00f6\u00dfe von 30 oder mehr f\u00fcr ausreichend.<\/span><\/p>\n Die Stichprobenverteilung eines Stichprobenanteils ist ungef\u00e4hr normal, wenn die erwartete Anzahl an Erfolgen und Misserfolgen jeweils mindestens 10 betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n Wir k\u00f6nnen Stichprobenverteilungen verwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.<\/span><\/p>\n Beispiel 1:<\/strong> Eine bestimmte Maschine erstellt Cookies. Die Gewichtsverteilung dieser Kekse ist mit einem Mittelwert von 10 Unzen und einer Standardabweichung von 2 Unzen rechtsschief. Wenn wir eine einfache Zufallsstichprobe von 100 von dieser Maschine hergestellten Keksen nehmen, wie gro\u00df ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das durchschnittliche Gewicht der Kekse in dieser Stichprobe weniger als 9,8 Unzen betr\u00e4gt?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n Schritt 1: Normalit\u00e4t herstellen.<\/span><\/strong><\/p>\n Wir m\u00fcssen sicherstellen, dass die Stichprobenverteilung der Stichprobenmittelwerte normal ist. Da unsere Stichprobengr\u00f6\u00dfe gem\u00e4\u00df dem zentralen Grenzwertsatz gr\u00f6\u00dfer oder gleich 30 ist, k\u00f6nnen wir davon ausgehen, dass die Stichprobenverteilung der Stichprobenmittelwerte normal ist.<\/span><\/p>\n Schritt 2: Ermitteln Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobenverteilung.<\/span><\/strong><\/p>\n \u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n \u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n \u03bc x<\/span><\/sub><\/strong> = 10 Unzen<\/strong><\/span><\/p>\n \u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 2\/ \u221a100 = 2\/10 = 0,2 Unzen<\/strong><\/span><\/p>\n Schritt 3:<\/strong> Verwenden Sie den Z-Score-Fl\u00e4chenrechner,<\/a> um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass das durchschnittliche Keksgewicht in dieser Probe weniger als 9,8 Unzen betr\u00e4gt.<\/strong><\/span><\/p>\n Geben Sie die folgenden Zahlen in den Z-Score-Fl\u00e4chenrechner ein.<\/a> Sie k\u00f6nnen \u201eRaw Score 2\u201c leer lassen, da wir in diesem Beispiel nur eine Zahl finden.<\/span> <\/p>\n Beispiel 2:<\/strong> Laut einer schulweiten Studie bevorzugen 87 % der Sch\u00fcler einer bestimmten Schule Pizza gegen\u00fcber Eis. Nehmen wir an, wir nehmen eine einfache Zufallsstichprobe von 200 Studenten. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Studierenden, die Pizza bevorzugen, unter 85 % liegt?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n Schritt 1: Normalit\u00e4t herstellen.<\/span><\/strong><\/p>\n Denken Sie daran, dass die Stichprobenverteilung eines Stichprobenanteils ann\u00e4hernd normal ist, wenn die erwartete Anzahl von \u201eErfolgen\u201c und \u201eMisserfolgen\u201c jeweils mindestens 10 betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n In diesem Fall betr\u00e4gt die erwartete Anzahl der Studierenden, die Pizza bevorzugen, 87 % * 200 Studierende = 174 Studierende. Die erwartete Zahl der Studierenden, die keine Pizza bevorzugen, betr\u00e4gt 13 % * 200 Studierende = 26 Studierende. Da beide Zahlen mindestens 10 betragen, k\u00f6nnen wir davon ausgehen, dass die Stichprobenverteilung des Anteils der Sch\u00fcler, die Pizza bevorzugen, ann\u00e4hernd normal ist.<\/span><\/p>\n Schritt 2: Ermitteln Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobenverteilung.<\/span><\/strong><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = 0,87<\/strong><\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (0,87)(1-0,87) \/ 200<\/span> = 0,024<\/strong><\/span><\/p>\n Schritt 3:<\/strong> Verwenden Sie den Z-Score-Fl\u00e4chenrechner,<\/a> um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der Anteil der Sch\u00fcler, die Pizza bevorzugen, weniger als 85 % betr\u00e4gt.<\/strong><\/span><\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/echantillonnagedist1.png\")
<\/p>\n Stichprobenverteilung des Anteils<\/strong><\/span><\/h2>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/echantillonnagedist2.png\")
<\/p>\n Normalit\u00e4t etablieren<\/strong><\/span><\/h2>\n
Beispiele<\/strong><\/span><\/h2>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/zcalc1.png\")
Da wir die Wahrscheinlichkeit wissen m\u00f6chten, dass das durchschnittliche Gewicht der Kekse in dieser Stichprobe weniger als<\/em> 9,8 Unzen betr\u00e4gt, interessiert uns der Bereich links<\/em> von 9,8. Der Rechner sagt uns, dass diese Wahrscheinlichkeit 0,15866<\/strong> betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/zcalc2.png\")
<\/p>\n