{"id":415,"date":"2023-07-30T05:00:57","date_gmt":"2023-07-30T05:00:57","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/lineare-regression\/"},"modified":"2023-07-30T05:00:57","modified_gmt":"2023-07-30T05:00:57","slug":"lineare-regression","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/lineare-regression\/","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung in die einfache lineare regression"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

\n

Die einfache lineare Regression<\/strong> ist eine statistische Methode, mit der Sie die Beziehung zwischen zwei Variablen x und y verstehen k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n

Eine Variable x<\/strong> wird als Pr\u00e4diktorvariable<\/strong> bezeichnet.<\/span><\/p>\n

Die andere Variable, y<\/strong> , wird als Antwortvariable<\/strong> bezeichnet.<\/span><\/p>\n

Angenommen, wir haben den folgenden Datensatz mit dem Gewicht und der Gr\u00f6\u00dfe von sieben Personen:<\/span> <\/p>\n

\"Einfache<\/p>\n

Das Gewicht<\/em> sei die Pr\u00e4diktorvariable und die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe<\/em> die Antwortvariable.<\/span><\/p>\n

Wenn wir diese beiden Variablen mithilfe eines Streudiagramms grafisch darstellen, mit Gewicht auf der x-Achse und H\u00f6he auf der y-Achse, w\u00fcrde es wie folgt aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Lineares<\/p>\n

Angenommen, wir m\u00f6chten den Zusammenhang zwischen Gewicht und Gr\u00f6\u00dfe verstehen. Aus dem Streudiagramm k\u00f6nnen wir deutlich erkennen, dass mit zunehmendem Gewicht tendenziell auch die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe zunimmt. Um diese Beziehung zwischen Gewicht und K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe jedoch tats\u00e4chlich zu quantifizieren<\/em> , m\u00fcssen wir eine lineare Regression verwenden.<\/span><\/p>\n

Mithilfe der linearen Regression k\u00f6nnen wir die Linie finden, die am besten zu unseren Daten \u201epasst\u201c. Diese Linie ist als Regressionslinie der kleinsten Quadrate<\/strong> bekannt und kann verwendet werden, um uns zu helfen, die Beziehungen zwischen Gewicht und Gr\u00f6\u00dfe zu verstehen.<\/span><\/p>\n

Normalerweise verwenden Sie Software wie Microsoft Excel, SPSS oder einen Grafikrechner, um die Gleichung f\u00fcr diese Linie zu finden.<\/span><\/p>\n

Die Formel f\u00fcr die beste Anpassungsgerade lautet:<\/span><\/p>\n

\u0177 = b 0<\/sub> + b 1<\/sub> x<\/span><\/p>\n

Dabei ist \u0177 der vorhergesagte Wert der Antwortvariablen, b 0<\/sub> der Achsenabschnitt, b 1<\/sub> der Regressionskoeffizient und x der Wert der Pr\u00e4diktorvariablen.<\/span><\/p>\n

Verwandte Themen:<\/strong> 4 Beispiele f\u00fcr die Verwendung der linearen Regression im wirklichen Leben<\/a><\/span><\/p>\n

Finden Sie die \u201eam besten geeignete Linie\u201c<\/span><\/strong><\/h2>\n

F\u00fcr dieses Beispiel k\u00f6nnen wir unsere Daten einfach in den statistischen linearen Regressionsrechner<\/a> eingeben und auf Berechnen<\/em> klicken:<\/span> <\/p>\n

\"Berechnung<\/p>\n

Der Rechner findet automatisch die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate<\/strong> :<\/span><\/p>\n

\u0177 = 32,7830 + 0,2001x<\/span><\/p>\n

Wenn wir aus unserem vorherigen Streudiagramm herauszoomen und diese Linie zum Diagramm hinzuf\u00fcgen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Beachten Sie, dass unsere Datenpunkte eng um diese Linie verstreut sind. Tats\u00e4chlich ist diese Regressionslinie der kleinsten Quadrate unter allen m\u00f6glichen Linien, die wir zeichnen k\u00f6nnten, die Linie, die am besten zu unseren Daten passt.<\/span><\/p>\n

So interpretieren Sie eine Regressionslinie der kleinsten Quadrate<\/span><\/strong><\/h2>\n

So interpretieren Sie diese Regressionslinie der kleinsten Quadrate: \u0177 = 32,7830 + 0,2001x<\/span><\/p>\n

b0<\/sub> = 32,7830<\/strong> . Das bedeutet, dass die vorhergesagte K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe<\/em> 32,7830 Zoll betr\u00e4gt, wenn das Gewicht der Pr\u00e4diktorvariablen null Pfund betr\u00e4gt. Manchmal kann es n\u00fctzlich sein, den Wert von b 0<\/sub> zu kennen, aber in diesem speziellen Beispiel macht es keinen Sinn, b 0<\/sub> zu interpretieren, da eine Person nicht null Pfund wiegen kann.<\/span><\/p>\n

b1<\/sub> = 0,2001<\/strong> . Dies bedeutet, dass ein Anstieg von x<\/em> um eine Einheit mit einem Anstieg von y<\/em> um 0,2001 Einheiten verbunden ist. In diesem Fall ist eine Gewichtszunahme von einem Pfund mit einer Zunahme der K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe um 0,2001 Zoll verbunden.<\/span><\/p>\n

So verwenden Sie die Regressionslinie der kleinsten Quadrate<\/span><\/strong><\/h2>\n

Mit dieser Regressionslinie der kleinsten Quadrate k\u00f6nnen wir Fragen beantworten wie:<\/span><\/p>\n

Wie gro\u00df sollte jemand sein, der 170 Pfund wiegt?<\/em><\/span><\/p>\n

Um diese Frage zu beantworten, k\u00f6nnen wir einfach 170 in unsere Regressionsgerade f\u00fcr x einf\u00fcgen und nach y aufl\u00f6sen:<\/span><\/p>\n

\u0177 = 32,7830 + 0,2001(170) = 66,8 Zoll<\/strong><\/span><\/p>\n

Wie gro\u00df sollten wir bei jemandem mit einem Gewicht von 150 Pfund rechnen?<\/em><\/span><\/p>\n

Um diese Frage zu beantworten, k\u00f6nnen wir 150 in unsere Regressionsgerade f\u00fcr x einf\u00fcgen und nach y aufl\u00f6sen:<\/span><\/p>\n

\u0177 = 32,7830 + 0,2001(150) = 62,798 Zoll<\/strong><\/span><\/p>\n

Achtung:<\/strong> Wenn Sie zur Beantwortung solcher Fragen eine Regressionsgleichung verwenden, achten Sie darauf, nur Werte f\u00fcr die Pr\u00e4diktorvariable zu verwenden, die innerhalb des Bereichs der Pr\u00e4diktorvariablen im Datensatz liegen. Ursprung, den wir zum Generieren der Regressionslinie der kleinsten Quadrate verwendet haben. Beispielsweise lagen die Gewichte in unserem Datensatz zwischen 140 und 212 Pfund. Daher ist es sinnvoll, Fragen zur erwarteten K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe zu beantworten, wenn das Gewicht zwischen 140 und 212 Pfund liegt.<\/em><\/span><\/p>\n

Das Bestimmtheitsma\u00df<\/strong><\/h2>\n

Eine M\u00f6glichkeit zu messen, wie gut die Regressionslinie der kleinsten Quadrate zu den Daten \u201epasst\u201c, ist die Verwendung des Bestimmtheitsma\u00dfes<\/strong> , das mit R 2<\/sup> bezeichnet wird.<\/span><\/p>\n

Das Bestimmtheitsma\u00df ist der Anteil der Varianz der Antwortvariablen, der durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden kann.<\/span><\/p>\n

Das Bestimmtheitsma\u00df kann zwischen 0 und 1 variieren. Ein Wert von 0 gibt an, dass die Antwortvariable \u00fcberhaupt nicht durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden kann. Ein Wert von 1 gibt an, dass die Antwortvariable perfekt und fehlerfrei durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden kann.<\/span><\/p>\n

Ein<\/span> R 2<\/sup> zwischen 0 und 1 gibt an, inwieweit die Antwortvariable durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden kann. Beispielsweise bedeutet ein R 2<\/sup> von 0,2, dass 20 % der Varianz der Antwortvariablen durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden k\u00f6nnen; Ein R 2<\/sup> von 0,77 bedeutet, dass 77 % der Varianz der Antwortvariablen durch die Pr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n

Beachten Sie, dass wir in unserem vorherigen Ergebnis ein R 2<\/sup> von 0,9311 erhalten haben, was darauf hinweist, dass 93,11 % der H\u00f6henvariabilit\u00e4t durch die Gewichtungspr\u00e4diktorvariable erkl\u00e4rt werden k\u00f6nnen:<\/span> <\/p>\n

\"Bestimmtheitskoeffizient<\/p>\n

Dies zeigt uns, dass das Gewicht ein sehr guter Indikator f\u00fcr die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe ist.<\/span><\/p>\n

Annahmen zur linearen Regression<\/span><\/strong><\/h2>\n

Damit die Ergebnisse eines linearen Regressionsmodells g\u00fcltig und zuverl\u00e4ssig sind, m\u00fcssen wir \u00fcberpr\u00fcfen, ob die folgenden vier Annahmen erf\u00fcllt sind:<\/span><\/p>\n

1. Lineare Beziehung:<\/strong> Es besteht eine lineare Beziehung zwischen der unabh\u00e4ngigen Variablen x und der abh\u00e4ngigen Variablen y.<\/span><\/p>\n

2. Unabh\u00e4ngigkeit:<\/strong> Die Residuen sind unabh\u00e4ngig. Insbesondere besteht keine Korrelation zwischen aufeinanderfolgenden Residuen in Zeitreihendaten.<\/span><\/p>\n

3. Homoskedastizit\u00e4t:<\/strong> Die Residuen haben auf jeder Ebene von x eine konstante Varianz.<\/span><\/p>\n

4. Normalit\u00e4t:<\/strong> Die Modellresiduen sind normalverteilt.<\/span><\/p>\n

Wenn eine oder mehrere dieser Annahmen nicht erf\u00fcllt sind, k\u00f6nnen die Ergebnisse unserer linearen Regression unzuverl\u00e4ssig oder sogar irref\u00fchrend sein.<\/span><\/p>\n

In diesem Artikel<\/a> finden Sie eine Erl\u00e4uterung der einzelnen Annahmen, wie Sie feststellen k\u00f6nnen, ob die Annahme erf\u00fcllt ist, und was zu tun ist, wenn die Annahme nicht erf\u00fcllt ist.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die einfache lineare Regression ist eine statistische Methode, mit der Sie die Beziehung zwischen zwei Variablen x und y verstehen k\u00f6nnen. Eine Variable x wird als Pr\u00e4diktorvariable bezeichnet. Die andere Variable, y , wird als Antwortvariable bezeichnet. 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