{"id":422,"date":"2023-07-29T23:52:42","date_gmt":"2023-07-29T23:52:42","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova\/"},"modified":"2023-07-29T23:52:42","modified_gmt":"2023-07-29T23:52:42","slug":"einweg-anova","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova\/","title":{"rendered":"Einfaktorielle anova: definition, formel und beispiel"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Eine <strong>einfaktorielle ANOVA<\/strong> (\u201eVarianzanalyse\u201c) vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr unabh\u00e4ngigen Gruppen, um festzustellen, ob ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der entsprechenden Population besteht.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In diesem Tutorial wird Folgendes erkl\u00e4rt:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Motivation, eine einfaktorielle ANOVA durchzuf\u00fchren.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Annahmen, die erf\u00fcllt sein m\u00fcssen, um eine einfaktorielle ANOVA durchzuf\u00fchren.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Der Prozess zur Durchf\u00fchrung einer einfaktoriellen ANOVA.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Ein Beispiel f\u00fcr die Durchf\u00fchrung einer einfaktoriellen ANOVA.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Einfaktorielle ANOVA: Motivation<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten wissen, ob drei verschiedene Pr\u00fcfungsvorbereitungsprogramme zu unterschiedlichen Durchschnittsergebnissen bei einer Hochschulaufnahmepr\u00fcfung f\u00fchren. Da es im ganzen Land Millionen von Oberstufensch\u00fclern gibt, w\u00e4re es zu zeitaufw\u00e4ndig und teuer, jeden Sch\u00fcler aufzusuchen und ihn eines der Pr\u00fcfungsvorbereitungsprogramme nutzen zu lassen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Stattdessen k\u00f6nnten wir drei<\/span> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/probenahmemethoden\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Zufallsstichproben<\/a> <span style=\"color: #000000;\">von 100 Studenten aus der Grundgesamtheit ausw\u00e4hlen und jeder Stichprobe erlauben, eines von drei Pr\u00fcfungsvorbereitungsprogrammen zu nutzen, um sich auf die Pr\u00fcfung vorzubereiten. Dann k\u00f6nnten wir die Ergebnisse jedes Sch\u00fclers aufzeichnen, sobald er die Pr\u00fcfung abgelegt hat.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8257 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/aller-simple1.png\" alt=\"Auswahl von Stichproben aus einer Grundgesamtheit\" width=\"327\" height=\"410\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es ist jedoch praktisch garantiert, dass die durchschnittliche Pr\u00fcfungspunktzahl zwischen den drei Stichproben zumindest geringf\u00fcgig unterschiedlich sein wird. <strong>Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist<\/strong> . Gl\u00fccklicherweise erm\u00f6glicht uns eine einfaktorielle ANOVA, diese Frage zu beantworten.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Einfaktorielle ANOVA: Annahmen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Damit die Ergebnisse einer einfaktoriellen ANOVA g\u00fcltig sind, m\u00fcssen die folgenden Annahmen erf\u00fcllt sein:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Normalit\u00e4t<\/strong> \u2013 Jede Stichprobe wurde aus einer normalverteilten Grundgesamtheit gezogen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Gleiche Varianzen<\/strong> \u2013 Die Varianzen der Grundgesamtheiten, aus denen die Stichproben gezogen werden, sind gleich. Sie k\u00f6nnen <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/bartlett-test\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">den Bartlett-Test<\/a> verwenden, um diese Hypothese zu testen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Unabh\u00e4ngigkeit<\/strong> \u2013 Die Beobachtungen innerhalb jeder Gruppe sind unabh\u00e4ngig voneinander und die Beobachtungen innerhalb der Gruppen wurden durch Zufallsstichproben ermittelt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Weitere Informationen zur \u00dcberpr\u00fcfung dieser Annahmen finden Sie in <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/danova-hypothesen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">diesem Artikel<\/a> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Einfaktorielle ANOVA: der Prozess<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Eine einfaktorielle ANOVA verwendet die folgenden Null- und Alternativhypothesen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> (Nullhypothese):<\/strong> \u03bc <sub>1<\/sub> = \u03bc <sub>2<\/sub> = \u03bc <sub>3<\/sub> = \u2026 = \u03bc <sub>k<\/sub> (alle Populationsmittelwerte sind gleich)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>1<\/sub> (Alternativhypothese):<\/strong> Mindestens ein Populationsmittelwert ist unterschiedlich <sub>&nbsp;<\/sub> ausruhen<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Normalerweise verwenden Sie eine Statistiksoftware (wie R, Excel, Stata, SPSS usw.), um eine einfaktorielle ANOVA durchzuf\u00fchren, da die manuelle Durchf\u00fchrung m\u00fchsam ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Unabh\u00e4ngig von der verwendeten Software erhalten Sie als Ausgabe folgende Tabelle:<\/span><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Quelle<\/strong><\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Summe der Quadrate (SS)<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">df<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Mittlere Quadrate (MS)<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">F<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">P<\/span><\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Behandlung<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">RSS<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">df <sub>r<\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">MSR<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">MSR\/MSE<\/span><\/td>\n<td> <span style=\"color: #000000;\">F <sub>df <sub>r<\/sub> , df <sub>e<\/sub><\/sub><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Fehler<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">ESS<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">df <sub>e<\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">MSE<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Gesamt<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">OHS<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">df <sub>t<\/sub><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>SSR:<\/strong> Summe der Quadrate-Regression<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>SSE:<\/strong> Summe der quadratischen Fehler<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>SST:<\/strong> Gesamtsumme der Quadrate (SST = SSR + SSE)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>df <sub>r<\/sub> :<\/strong> Regressionsfreiheitsgrade (df <sub>r<\/sub> = k-1)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>df <sub>e<\/sub> :<\/strong> Fehlerfreiheitsgrade (df <sub>e<\/sub> = nk)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>df <sub>t<\/sub> :<\/strong> Gesamtfreiheitsgrade (df <sub>t<\/sub> = n-1)<\/span>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> Gesamtzahl der Gruppen<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> Gesamtbeobachtungen<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>MSR:<\/strong> mittlere quadratische Regression (MSR = SSR\/ <sub>dfr<\/sub> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>MSE:<\/strong> mittlerer quadratischer Fehler (MSE = SSE\/df <sub>e<\/sub> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>F:<\/strong> Die F-Teststatistik (F = MSR\/MSE)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> Der Wert p, der F <sub>dfr, dfe<\/sub> entspricht<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn der p-Wert unter dem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau (z. B. 0,05) liegt, k\u00f6nnen Sie die Nullhypothese ablehnen und daraus schlie\u00dfen, dass sich mindestens einer der Mittelwerte der Grundgesamtheit von den anderen unterscheidet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Hinweis:<\/strong> Wenn Sie die Nullhypothese ablehnen, bedeutet dies, dass sich mindestens einer der Grundgesamtheitsmittelwerte von den anderen unterscheidet, die ANOVA-Tabelle gibt jedoch nicht an, <em>welche<\/em> Grundgesamtheitsmittelwerte unterschiedlich sind. Um dies festzustellen, m\u00fcssen Sie <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/post-hoc-anova-tests\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Post-hoc-Tests<\/a> durchf\u00fchren, die auch als \u201eMehrfachvergleichstests\u201c bezeichnet werden.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Einfaktorielle ANOVA: Beispiel<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten wissen, ob drei verschiedene Pr\u00fcfungsvorbereitungsprogramme zu unterschiedlichen Durchschnittsergebnissen bei einer bestimmten Pr\u00fcfung f\u00fchren. Um dies zu testen, rekrutieren wir 30 Studierende f\u00fcr die Teilnahme an einer Studie und teilen sie in drei Gruppen auf.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Den Sch\u00fclern jeder Gruppe wird <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/zufallsauswahl-vs.-zufallszuweisung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">nach dem Zufallsprinzip zugeteilt<\/a> , dass sie in den folgenden drei Wochen eines von drei Pr\u00fcfungsvorbereitungsprogrammen nutzen sollen, um sich auf eine Pr\u00fcfung vorzubereiten. Am Ende der drei Wochen legen alle Studierenden die gleiche Pr\u00fcfung ab.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Pr\u00fcfungsergebnisse f\u00fcr jede Gruppe sind unten aufgef\u00fchrt:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8258 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/aller-simple2.png\" alt=\"Beispiel f\u00fcr einfaktorielle ANOVA-Daten\" width=\"237\" height=\"246\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um eine einfache ANOVA f\u00fcr diese Daten durchzuf\u00fchren, verwenden wir den <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-danova-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Statistics One-Way ANOVA-Rechner<\/a> mit der folgenden Eingabe:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8259 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/aller-simple3.png\" alt=\"Beispiel einer einfaktoriellen ANOVA-Berechnung\" width=\"427\" height=\"616\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aus der Ausgabetabelle sehen wir, dass die F-Teststatistik <strong>2,358<\/strong> und der entsprechende p-Wert <strong>0,11385<\/strong> betr\u00e4gt.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8260 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/oneway4.png\" alt=\"Interpretation der ANOVA-Ausgabetabelle\" width=\"374\" height=\"178\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da dieser p-Wert nicht kleiner als 0,05 ist, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese nicht ablehnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das bedeutet, dass<\/span> <span style=\"color: #000000;\">uns keine ausreichenden Beweise daf\u00fcr vorliegen, dass es einen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den durchschnittlichen Pr\u00fcfungsergebnissen der drei Gruppen gibt.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In den folgenden Artikeln wird erl\u00e4utert, wie eine einfaktorielle ANOVA mit unterschiedlicher Statistiksoftware durchgef\u00fchrt wird:<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in Excel durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in R durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova-python\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in Python durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/one-way-anova-en-sas\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in SAS durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova-spss\/\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in SPSS durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-anova-stata\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA in Stata durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/anova-ti-84-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie eine einfaktorielle ANOVA auf einem TI-84-Rechner durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/einweg-danova-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Online-Rechner f\u00fcr einfaktorielle ANOVA<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Eine einfaktorielle ANOVA (\u201eVarianzanalyse\u201c) vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr unabh\u00e4ngigen Gruppen, um festzustellen, ob ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der entsprechenden Population besteht. 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