{"id":426,"date":"2023-07-29T23:33:30","date_gmt":"2023-07-29T23:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/zentraler-grenzwertsatz\/"},"modified":"2023-07-29T23:33:30","modified_gmt":"2023-07-29T23:33:30","slug":"zentraler-grenzwertsatz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/zentraler-grenzwertsatz\/","title":{"rendered":"Zentraler grenzwertsatz: definition + beispiele"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

\n

Der zentrale Grenzwertsatz<\/strong> besagt, dass die Stichprobenverteilung eines Stichprobenmittelwerts<\/a> ann\u00e4hernd normal ist, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist, auch wenn die Grundgesamtheitsverteilung nicht normal ist<\/em> .<\/span><\/p>\n

Der zentrale Grenzwertsatz besagt au\u00dferdem, dass die Stichprobenverteilung die folgenden Eigenschaften haben wird:<\/span><\/p>\n

1.<\/strong> Der Mittelwert der Stichprobenverteilung entspricht dem Mittelwert der Bev\u00f6lkerungsverteilung:<\/span><\/p>\n

x<\/span> = \u00b5<\/span><\/strong><\/p>\n

2.<\/strong> Die Varianz der Stichprobenverteilung entspricht der Varianz der Bev\u00f6lkerungsverteilung dividiert durch die Stichprobengr\u00f6\u00dfe:<\/span><\/p>\n

s2<\/sup> = \u03c32<\/sup><\/span> \/n<\/span><\/strong><\/p>\n

Beispiele f\u00fcr den zentralen Grenzwertsatz<\/span><\/strong><\/h2>\n

Hier sind einige Beispiele, um den zentralen Grenzwertsatz in der Praxis zu veranschaulichen.<\/span><\/p>\n

Gleichm\u00e4\u00dfige Verteilung<\/span><\/strong><\/h3>\n

Angenommen, die Breite des Panzers einer Schildkr\u00f6te folgt einer gleichm\u00e4\u00dfigen Verteilung mit einer minimalen Breite von 2 Zoll und einer maximalen Breite von 6 Zoll. Das hei\u00dft, wenn wir eine Schildkr\u00f6te zuf\u00e4llig ausw\u00e4hlen und die Breite ihres Panzers messen, ist es wahrscheinlich, dass sie auch zwischen 2 und 6 Zoll breit<\/em> ist.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die Verteilung der Schildkr\u00f6tenpanzerbreiten darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Gleichm\u00e4\u00dfiges
Der Mittelwert einer Gleichverteilung ist \u03bc<\/strong> = (b+a) \/ 2, wobei b<\/em> der gr\u00f6\u00dftm\u00f6gliche Wert und a<\/em> der kleinstm\u00f6gliche Wert ist. In diesem Fall ist es (6+2) \/ 2 = 4.<\/span><\/p>\n

Die Varianz einer Gleichverteilung betr\u00e4gt \u03c32<\/sup><\/strong> = (ba) 2\/12<\/sup> . In diesem Fall ist es (6-2) 2\/12<\/sup> = 1,33<\/strong><\/span><\/p>\n

Zufallsstichprobe von 2 aus der Gleichverteilung<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich nun vor, wir nehmen eine zuf\u00e4llige Stichprobe von zwei Schildkr\u00f6ten aus dieser Population und messen die Breite des Panzers jeder Schildkr\u00f6te. Nehmen wir an, dass der Panzer der ersten Schildkr\u00f6te 3 Zoll und der zweite 6 Zoll breit ist. Die durchschnittliche Breite dieser Probe von 2 Schildkr\u00f6ten betr\u00e4gt 4,5 Zoll.<\/span><\/p>\n

Stellen Sie sich als n\u00e4chstes vor, dass wir eine weitere Zufallsstichprobe von zwei Schildkr\u00f6ten aus dieser Population nehmen und die Panzerbreite jeder Schildkr\u00f6te erneut messen. Nehmen wir an, dass der Panzer der ersten Schildkr\u00f6te 2,5 Zoll breit ist und der Panzer der zweiten ebenfalls 2,5 Zoll breit ist. Die durchschnittliche Breite dieser Probe von 2 Schildkr\u00f6ten betr\u00e4gt 2,5 Zoll.<\/span><\/p>\n

Stellen Sie sich vor, wir nehmen immer wieder zuf\u00e4llige Proben von zwei Schildkr\u00f6ten und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Panzerbreite.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Panzerbreite aller dieser Proben von zwei Schildkr\u00f6ten darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler
Dies wird als Stichprobenverteilung f\u00fcr die Stichprobenmittelwerte<\/strong> bezeichnet, da sie die Verteilung der Stichprobenmittelwerte zeigt.<\/span><\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 2 = 0,665<\/strong><\/span><\/p>\n

Zufallsstichprobe von 5 aus der Gleichverteilung<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich nun vor, wir wiederholen das gleiche Experiment, aber dieses Mal nehmen wir immer wieder zuf\u00e4llige Proben von 5 Schildkr\u00f6ten und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Panzerbreite.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Panzerbreite aller dieser Proben von 5 Schildkr\u00f6ten darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler
Beachten Sie, dass diese Verteilung eher eine \u201eGlockenform\u201c hat, dieder Normalverteilung<\/a> \u00e4hnelt. Dies liegt daran, dass bei der Entnahme von Stichproben von 5 die Varianz zwischen unseren Stichprobenmittelwerten viel geringer ist, so dass es weniger wahrscheinlich ist, dass wir Stichproben mit einem Mittelwert von etwa 2 Zoll oder 6 Zoll erhalten, und dass die Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer ist, dass wir Stichproben mit einem Mittelwert von etwa 2 Zoll oder 6 Zoll erhalten 6 Zoll. Der Durchschnitt liegt um 4 Zoll n\u00e4her am tats\u00e4chlichen Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt.<\/span><\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 5 = 0,266<\/strong><\/span><\/p>\n

Zufallsstichprobe von 30 aus der Gleichverteilung<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich nun vor, wir wiederholen das gleiche Experiment, aber dieses Mal nehmen wir immer wieder zuf\u00e4llige Proben von 30 Schildkr\u00f6ten und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Panzerbreite.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Panzerbreite aller dieser Proben von 30 Schildkr\u00f6ten darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler
Beachten Sie, dass diese Stichprobenverteilung noch glockenf\u00f6rmiger und viel enger ist als die beiden vorherigen Verteilungen.<\/span><\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 30 = 0,044<\/strong><\/span><\/p>\n

Die Chi-Quadrat-Verteilung<\/span><\/strong><\/h3>\n

Angenommen, die Anzahl der Haustiere pro Familie in einer bestimmten Stadt folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit drei Freiheitsgraden. Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die Verteilung der Tiere nach Familien darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler<\/p>\n

Der Mittelwert einer Chi-Quadrat-Verteilung ist einfach die Anzahl der Freiheitsgrade (df). In diesem Fall ist \u03bc<\/strong> = 3<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Die Varianz einer Chi-Quadrat-Verteilung betr\u00e4gt 2 * df. In diesem Fall ist \u03c32<\/sup><\/strong> = 2 * 3 = 6<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Stichprobenentnahme von 2<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich vor, wir nehmen eine Zufallsstichprobe von zwei Familien aus dieser Population und z\u00e4hlen die Anzahl der Haustiere in jeder Familie. Angenommen, die erste Familie hat 4 Haustiere und die zweite Familie hat 1 Haustier. Die durchschnittliche Anzahl der Haustiere f\u00fcr diese Stichprobe von 2 Familien betr\u00e4gt 2,5.<\/span><\/p>\n

Stellen Sie sich dann vor, wir nehmen eine weitere Zufallsstichprobe von zwei Familien aus dieser Population und z\u00e4hlen erneut die Anzahl der Haustiere in jeder Familie. Angenommen, die erste Familie hat 6 Haustiere und die zweite Familie hat 4 Haustiere. Die durchschnittliche Anzahl der Haustiere f\u00fcr diese Stichprobe von 2 Familien betr\u00e4gt 5.<\/span><\/p>\n

Stellen Sie sich vor, wir nehmen immer wieder Stichproben aus zwei Familien und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Anzahl an Haustieren.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Anzahl der Haustiere aller dieser Stichproben aus zwei Familien darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler<\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s 2<\/sup> = \u03c3 2<\/sup> \/ n = 6 \/ 2 = 3<\/strong><\/span><\/p>\n

Stichprobenziehung von 10 Personen<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich nun vor, wir wiederholen das gleiche Experiment, aber dieses Mal nehmen wir immer wieder zuf\u00e4llige Stichproben von 10 Familien und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Anzahl von Tieren pro Familie.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Anzahl der Tiere pro Familie in allen diesen Stichproben von 10 Familien darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Zentraler<\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/10 = 0,6<\/strong><\/span><\/p>\n

Stichprobenziehung von 30<\/strong><\/span><\/h4>\n

Stellen Sie sich nun vor, wir wiederholen das gleiche Experiment, nehmen dieses Mal jedoch immer wieder Zufallsstichproben von 30 Familien und ermitteln jedes Mal die durchschnittliche Anzahl von Tieren pro Familie.<\/span><\/p>\n

Wenn wir ein Histogramm erstellen w\u00fcrden, um die durchschnittliche Anzahl der Tiere pro Familie in all diesen Stichproben von 30 Familien darzustellen, w\u00fcrde es so aussehen:<\/span> <\/p>\n

\"Histogramm<\/p>\n

Der Mittelwert dieser Stichprobenverteilung ist<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Die Varianz dieser Stichprobenverteilung betr\u00e4gt s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/30 = 0,2<\/strong><\/span><\/p>\n

Zusammenfassung<\/span><\/strong><\/h2>\n

Hier sind die wichtigsten Erkenntnisse aus diesen beiden Beispielen:<\/span><\/p>\n