{"id":511,"date":"2023-07-29T16:03:36","date_gmt":"2023-07-29T16:03:36","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/gepaarte-stichproben-t-test-r\/"},"modified":"2023-07-29T16:03:36","modified_gmt":"2023-07-29T16:03:36","slug":"gepaarte-stichproben-t-test-r","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/gepaarte-stichproben-t-test-r\/","title":{"rendered":"So f\u00fchren sie einen t-test f\u00fcr gepaarte stichproben in r durch"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Ein <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gepaarter-stichproben-t-test\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">T-Test f\u00fcr gepaarte Stichproben<\/a> ist ein statistischer Test, der die Mittelwerte zweier Stichproben vergleicht, wenn jede Beobachtung aus einer Stichprobe mit einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/beobachtung-in-der-statistik\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Beobachtung<\/a> aus der anderen Stichprobe abgeglichen werden kann.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nehmen wir zum Beispiel an, wir m\u00f6chten wissen, ob ein bestimmter Lehrplan einen erheblichen Einfluss auf die Leistung der Sch\u00fcler bei einer bestimmten Pr\u00fcfung hat. Um dies zu testen, bitten wir 20 Sch\u00fcler einer Klasse, einen Vortest zu machen. Anschlie\u00dfend nimmt jeder Studierende zwei Wochen lang t\u00e4glich am Studienprogramm teil. Anschlie\u00dfend wiederholen die Sch\u00fcler einen Test mit \u00e4hnlichem Schwierigkeitsgrad.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um die Differenz zwischen den durchschnittlichen Ergebnissen im ersten und zweiten Test zu vergleichen, verwenden wir einen gepaarten T-Test, da f\u00fcr jeden Sch\u00fcler seine Punktzahl im ersten Test mit seiner Punktzahl im zweiten Test verkn\u00fcpft werden kann.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>So f\u00fchren Sie einen gepaarten T-Test durch<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um einen gepaarten T-Test durchzuf\u00fchren, k\u00f6nnen wir den folgenden Ansatz verwenden:<\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Schritt 1: Geben Sie die Null- und Alternativhypothese an.<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> = 0<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> \u2260 0<\/strong> (zweiseitig)<\/span><br \/> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> &gt; 0<\/strong> (einseitig)<\/span><br \/> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> &lt; 0<\/strong> (einseitig)<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em>wobei <strong>\u03bc <sub>d<\/sub><\/strong> die mittlere Differenz ist.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Schritt 2: Finden Sie die Teststatistik und den entsprechenden p-Wert.<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sei <em>a<\/em> = die Punktzahl des Sch\u00fclers beim ersten Test und <em>b<\/em> = die Punktzahl des Sch\u00fclers beim zweiten Test. Um die Nullhypothese zu testen, dass die wahre mittlere Differenz zwischen den Testergebnissen Null ist:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen Sie die Differenz zwischen jedem Bewertungspaar (d <sub>i<\/sub> = b <sub>i<\/sub> \u2013 a <sub>i<\/sub> ).<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen Sie die mittlere Differenz (d)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen Sie die Standardabweichung der Differenzen s <sub>d<\/sub><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen Sie die t-Statistik: T = d \/ (s <sub>d<\/sub> \/ \u221an)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Finden Sie den entsprechenden p-Wert f\u00fcr die t-Statistik mit <em>n-1<\/em> Freiheitsgraden.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Je nach Signifikanzniveau die Nullhypothese ablehnen oder nicht ablehnen.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn der p-Wert kleiner als das gew\u00e4hlte Signifikanzniveau ist, lehnen wir die Nullhypothese ab und kommen zu dem Schluss, dass ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten der beiden Gruppen besteht. Andernfalls k\u00f6nnen wir die Nullhypothese nicht ablehnen.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">So f\u00fchren Sie einen gepaarten t-Test in R durch<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um einen gepaarten t-Test in R durchzuf\u00fchren, k\u00f6nnen wir die integrierte Funktion <strong>t.test()<\/strong> mit der folgenden Syntax verwenden:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t.test<\/strong> (x, y, gepaart = WAHR, alternativ = \u201ezwei Seiten\u201c)<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>x,y:<\/strong> die beiden digitalen Vektoren, die wir vergleichen m\u00f6chten<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>gepaart:<\/strong> ein logischer Wert, der angibt, dass wir einen gepaarten t-Test berechnen m\u00f6chten<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Alternative:<\/strong> die Alternativhypothese. Dies kann auf \u201edoppelseitig\u201c (Standard), \u201eoben\u201c oder \u201eunten\u201c eingestellt werden.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das folgende Beispiel veranschaulicht, wie ein gepaarter T-Test durchgef\u00fchrt wird, um zu bestimmen, ob es einen signifikanten Unterschied in den Durchschnittswerten zwischen einem Vortest und einem Nachtest f\u00fcr 20 Sch\u00fcler gibt.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Erstellen Sie die Daten<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zuerst erstellen wir den Datensatz:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#create the dataset<\/span>\ndata &lt;- data.frame(score = c(85,85, 78, 78, 92, 94, 91, 85, 72, 97,\n                             84, 95, 99, 80, 90, 88, 95, 90, 96, 89,\n                             84, 88, 88, 90, 92, 93, 91, 85, 80, 93,\n                             97, 100, 93, 91, 90, 87, 94, 83, 92, 95),\n                   group = c(rep('pre', 20), rep('post', 20)))\n\n<span style=\"color: #008080;\">#view the dataset\n<\/span>data\n\n#scoregroup\n#1 85 pre\n#2 85 pre\n#3 78 pre\n#4 78 pre\n#5 92 pre\n#6 94 pre\n#7 91 pre\n#8 85 pre\n#9 72 pre\n#10 97 pre\n#11 84 pre\n#12 95 pre\n#13 99 pre\n#14 80 pre\n#15 90 pre\n#16 88 pre\n#17 95 pre\n#18 90 pre\n#19 96 pre\n#20 89 pre\n#21 84 post\n#22 88 post\n#23 88 post\n#24 90 post\n#25 92 post\n#26 93 post\n#27 91 post\n#28 85 post\n#29 80 post\n#30 93 post\n#31 97 post\n#32 100 posts\n#33 93 post\n#34 91 post\n#35 90 post\n#36 87 post\n#37 94 post\n#38 83 post\n#39 92 post\n#40 95 post\n<\/strong><\/pre>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Visualisieren Sie die Unterschiede<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Als n\u00e4chstes schauen wir uns die zusammenfassenden Statistiken der beiden Gruppen an, indem wir die Funktionen <strong>\u201egroup_by()\u201c<\/strong> und <strong>\u201esummary<\/strong> <strong>()\u201c<\/strong> aus der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-statistik-erklart-konzepte-auf-einfache-und-direkte-weise.-wir-erleichtern-das-erlernen-von-statistiken\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>dplyr-<\/strong><\/a> Bibliothek verwenden:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#load <em>dplyr<\/em> library\n<span style=\"color: #000000;\">library(dplyr)<\/span>\n\n#find sample size, mean, and standard deviation for each group\n<span style=\"color: #000000;\">data %&gt;%\n<span style=\"color: #800080;\">group_by<\/span> (group) %&gt;%\n  <span style=\"color: #800080;\">summarize<\/span> (\n    count = n(),\n    mean = mean(score),\n    sd = sd(score)\n  )\n<\/span><\/span>\n# A tibble: 2 x 4\n# group count mean sd\n#     \n#1 post 20 90.3 4.88\n#2 pre 20 88.2 7.24<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-statistik-erklart-konzepte-auf-einfache-und-direkte-weise.-wir-erleichtern-das-erlernen-von-statistiken\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Boxplots<\/a> auch mit der Funktion <strong>boxplot()<\/strong> in R erstellen, um die Verteilung der Ergebnisse f\u00fcr die Vor- und Nachgruppen anzuzeigen:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #800080;\">boxplot<\/span> (score~group,\n  data=data,\n  main=\"Test Scores by Group\",\n  xlab=\"Group\",\n  ylab=\"Score\",\n  col=\"steelblue\",\n  border=\"black\"\n)<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Anhand der zusammenfassenden Statistiken und Boxplots k\u00f6nnen wir erkennen, dass die durchschnittliche Punktzahl in der <em>Post-<\/em> Gruppe etwas h\u00f6her ist als die durchschnittliche Punktzahl in der <em>Vorgruppe<\/em> . Wir k\u00f6nnen auch sehen, dass die Ergebnisse <em>nach<\/em> der Gruppe eine geringere Variabilit\u00e4t aufweisen als die Ergebnisse <em>vor<\/em> der Gruppe.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um herauszufinden, ob der Unterschied zwischen den Mittelwerten dieser beiden Gruppen statistisch signifikant ist, k\u00f6nnen wir einen gepaarten t-Test durchf\u00fchren.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">F\u00fchren Sie einen gepaarten T-Test durch<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Bevor wir den gepaarten t-Test durchf\u00fchren, m\u00fcssen wir \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Verteilung der Differenzen normal (oder ann\u00e4hernd normal) verteilt ist. Dazu k\u00f6nnen wir einen neuen Vektor erstellen, der als Differenz zwischen den Pre- und Post-Scores definiert ist, und einen Shapiro-Wilk-Test auf Normalit\u00e4t f\u00fcr diesen Wertevektor durchf\u00fchren:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#define new vector for difference between post and pre scores\n<\/span>differences &lt;- with(data, score[group == \"post\"] - score[group == \"pre\"])\n\n<span style=\"color: #008080;\">#perform shapiro-wilk test for normality on this vector of values\n<\/span>shapiro.test(differences)\n\n# Shapiro-Wilk normality test\n#\n#data: differences\n#W = 0.92307, p-value = 0.1135\n#<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der p-Wert des Tests betr\u00e4gt 0,1135, was gr\u00f6\u00dfer als Alpha = 0,05 ist. Daher k\u00f6nnen wir die Nullhypothese, dass unsere Daten normalverteilt sind, nicht zur\u00fcckweisen. Das bedeutet, dass wir nun mit dem gepaarten t-Test fortfahren k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen den folgenden Code verwenden, um einen gepaarten T-Test durchzuf\u00fchren:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #800080;\">t.test<\/span> (score~group, data = data, paired = TRUE)\n\n# Paired t-test\n#\n#data: score by group\n#t = 1.588, df = 19, p-value = 0.1288\n#alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0\n#95 percent confidence interval:\n# -0.6837307 4.9837307\n#sample estimates:\n#mean of the differences \n#2.15 \n<\/strong><\/span><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aus dem Ergebnis k\u00f6nnen wir Folgendes erkennen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die <strong>T-<\/strong> Test-Statistik betr\u00e4gt <strong>1,588<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Der p-Wert f\u00fcr diese Teststatistik mit 19 Freiheitsgraden (df) betr\u00e4gt <strong>0,1288<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Das 95 %-Konfidenzintervall f\u00fcr die mittlere Differenz betr\u00e4gt <strong>(-0,6837, 4,9837)<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die durchschnittliche Differenz zwischen den Ergebnissen der Vor- und Nachgruppe betr\u00e4gt <strong>2,15<\/strong> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da unser p-Wert also unter unserem Signifikanzniveau von 0,05 liegt, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese, dass die beiden Gruppen statistisch signifikante Mittelwerte haben, nicht zur\u00fcckweisen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit anderen Worten: Wir haben keine ausreichenden Beweise daf\u00fcr, dass die Durchschnittswerte zwischen der Vor- und der Nachgruppe statistisch unterschiedlich sind. Dies bedeutet, dass der Lehrplan keinen signifikanten Einfluss auf die Testergebnisse hatte.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dar\u00fcber hinaus gibt unser 95 %-Konfidenzintervall an, dass wir \u201e95 % sicher\u201c sind, dass die tats\u00e4chliche mittlere Differenz zwischen den beiden Gruppen zwischen <strong>-0,6837<\/strong> und <strong>4,9837<\/strong> liegt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da in diesem Konfidenzintervall der Wert <em>Null<\/em> liegt, bedeutet dies, dass <em>Null<\/em> tats\u00e4chlich die wahre Differenz zwischen den Mittelwerten sein k\u00f6nnte, weshalb wir in diesem Fall die Nullhypothese nicht verwerfen konnten.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein T-Test f\u00fcr gepaarte Stichproben ist ein statistischer Test, der die Mittelwerte zweier Stichproben vergleicht, wenn jede Beobachtung aus einer Stichprobe mit einer Beobachtung aus der anderen Stichprobe abgeglichen werden kann. 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