{"id":551,"date":"2023-07-29T12:48:58","date_gmt":"2023-07-29T12:48:58","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialexperiment\/"},"modified":"2023-07-29T12:48:58","modified_gmt":"2023-07-29T12:48:58","slug":"binomialexperiment","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialexperiment\/","title":{"rendered":"Binomiale experimente: eine erkl\u00e4rung + beispiele"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

\n

Das Verst\u00e4ndnis von Binomialexperimenten ist der erste Schritt zum Verst\u00e4ndnis der Binomialverteilung<\/a> .<\/span><\/p>\n

Dieses Tutorial definiert ein Binomialexperiment und bietet mehrere Beispiele f\u00fcr Experimente, die als<\/em> Binomialexperimente gelten oder nicht<\/em> .<\/span><\/p>\n

Binomialexperiment: Definition<\/strong><\/span><\/h2>\n

Ein Binomialexperiment<\/strong> ist ein Experiment mit den folgenden vier Eigenschaften:<\/span><\/p>\n

1. Das Experiment besteht aus n<\/em> wiederholten Versuchen.<\/strong> Die Zahl n<\/em> kann ein beliebiger Betrag sein. Wenn wir beispielsweise eine M\u00fcnze 100 Mal werfen, ist n<\/em> = 100.<\/span><\/p>\n

2. Jeder Prozess hat nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse.<\/strong> Wir nennen die Ergebnisse oft \u201eErfolg\u201c oder \u201eMisserfolg\u201c, aber \u201eErfolg\u201c ist nur eine Bezeichnung f\u00fcr etwas, auf das wir z\u00e4hlen. Wenn wir beispielsweise eine M\u00fcnze werfen, nennen wir \u201eKopf\u201c einen \u201eTreffer\u201c und \u201eZahl\u201c einen \u201eMisserfolg\u201c.<\/span><\/p>\n

3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit, mit p<\/em> bezeichnet, ist f\u00fcr jeden Versuch gleich.<\/strong> Damit ein Experiment ein echtes Binomialexperiment ist, muss die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jeden Versuch gleich sein. Wenn wir beispielsweise eine M\u00fcnze werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, \u201eKopf\u201c (\u201eErfolg\u201c) zu bekommen, bei jedem M\u00fcnzwurf immer gleich.<\/span><\/p>\n

4. Jeder Test ist unabh\u00e4ngig<\/strong> . Dies bedeutet einfach, dass das Ergebnis einer Studie keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Studie hat. Angenommen, wir werfen eine M\u00fcnze und sie zeigt \u201eKopf\u201c. Die Tatsache, dass es auf dem Kopf landet, \u00e4ndert nichts an der Wahrscheinlichkeit, dass es beim n\u00e4chsten Wurf auf dem Kopf landet. Jeder Flip (also jeder \u201eVersuch\u201c) ist unabh\u00e4ngig.<\/span><\/p>\n

Beispiele f\u00fcr Binomialexperimente<\/strong><\/span><\/h2>\n

Die folgenden Experimente sind alles Beispiele f\u00fcr Binomialexperimente.<\/span><\/p>\n

Beispiel 1<\/strong><\/span><\/h3>\n

Wirf 10 Mal eine M\u00fcnze. Notieren Sie, wie oft es \u201eZahl\u201c landet.<\/strong><\/span><\/em><\/p>\n

Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:<\/span><\/p>\n

    \n
  • Das Experiment besteht aus n<\/em> wiederholten Versuchen.<\/strong> In diesem Fall gibt es 10 Versuche.<\/span><\/li>\n
  • Jeder Versuch hat nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse.<\/strong> Die M\u00fcnze kann nur auf \u201eKopf\u201c oder \u201eZahl\u201c landen.<\/span><\/li>\n
  • Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich<\/strong> . Wenn wir \u201eErfolg\u201c als \u201eauf dem Kopf landen\u201c definieren, dann betr\u00e4gt die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jeden Versuch genau 0,5.<\/span><\/li>\n
  • Jeder Test ist unabh\u00e4ngig<\/strong> . Das Ergebnis einer Ziehung hat keinen Einfluss auf das Ergebnis einer anderen Ziehung.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

    Beispiel #2<\/strong><\/span><\/h3>\n

    Wirf 20 Mal einen fairen 6-seitigen W\u00fcrfel. Notieren Sie, wie oft eine 2 erscheint.<\/strong><\/span><\/em><\/p>\n

    Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:<\/span><\/p>\n

      \n
    • Das Experiment besteht aus n<\/em> wiederholten Versuchen.<\/strong> In diesem Fall gibt es 20 Versuche.<\/span><\/li>\n
    • Jeder Versuch hat nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse.<\/strong> Wenn wir eine 2 als \u201eErfolg\u201c definieren, dann landet der W\u00fcrfel jedes Mal entweder auf einer 2 (ein Erfolg) oder einer anderen Zahl (ein Misserfolg).<\/span><\/li>\n
    • Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich<\/strong> . Bei jedem Versuch betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass der W\u00fcrfel auf eine 2 f\u00e4llt, 1\/6. Diese Wahrscheinlichkeit \u00e4ndert sich von einem Versuch zum anderen nicht.<\/span><\/li>\n
    • Jeder Test ist unabh\u00e4ngig<\/strong> . Das Ergebnis eines W\u00fcrfelwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis anderer W\u00fcrfelw\u00fcrfe.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

      Beispiel #3<\/strong><\/span><\/h3>\n

      Tyler macht 70 % seiner Freiwurfversuche. Angenommen, er macht 15 Versuche. Notieren Sie die Anzahl der K\u00f6rbe, die er macht.<\/strong><\/span><\/em><\/p>\n

      Dies ist ein Binomialexperiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:<\/span><\/p>\n

        \n
      • Das Experiment besteht aus n<\/em> wiederholten Versuchen.<\/strong> In diesem Fall gibt es 15 Versuche.<\/span><\/li>\n
      • Jeder Versuch hat nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse.<\/strong> Bei jedem Versuch schafft Tyler entweder den Korb oder verfehlt ihn.<\/span><\/li>\n
      • Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich<\/strong> . Bei jedem Versuch betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass Tyler den Korb schafft, 70 %. Diese Wahrscheinlichkeit \u00e4ndert sich von einem Versuch zum anderen nicht.<\/span><\/li>\n
      • Jeder Test ist unabh\u00e4ngig<\/strong> . Das Ergebnis eines Freiwurfversuchs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Freiwurfversuchs.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

        Beispiele, die keine<\/em> Binomialexperimente sind<\/strong><\/span><\/h2>\n

        Beispiel 1<\/strong><\/span><\/h3>\n

        Fragen Sie 100 Menschen, wie alt sie sind<\/strong><\/span><\/em> .<\/strong><\/span><\/p>\n

        Dies ist kein<\/em> Binomialexperiment, da es mehr als zwei m\u00f6gliche Ergebnisse gibt.<\/span><\/p>\n

        Beispiel #2<\/strong><\/span><\/h3>\n

        Wirf einen fairen 6-seitigen W\u00fcrfel, bis eine 5 erscheint.<\/i><\/b><\/span><\/p>\n

        Dies ist kein<\/em> Binomialexperiment, da es keine vordefinierte Anzahl n<\/em> von Versuchen gibt. Wir wissen nicht, wie viele W\u00fcrfe n\u00f6tig sind, bis eine 5 erscheint.<\/span><\/p>\n

        Beispiel #3<\/strong><\/span><\/h3>\n

        Ziehe 5 Karten aus einem Kartenspiel.<\/i><\/b><\/span><\/p>\n

        Dies ist kein<\/em> binomiales Experiment, da das Ergebnis eines Versuchs (z. B. das Ziehen einer bestimmten Karte vom Stapel) das Ergebnis nachfolgender Versuche beeinflusst.<\/span><\/p>\n

        Ein Beispiel und eine L\u00f6sung f\u00fcr ein Binomialexperiment<\/strong><\/span><\/h2>\n

        Das folgende Beispiel zeigt, wie eine Frage zu einem Binomialexperiment gel\u00f6st wird.<\/span><\/p>\n

        Sie werfen 10 Mal eine M\u00fcnze. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass die M\u00fcnze genau 7 Mal \u201eKopf\u201c landet?<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

        Wann immer wir die Wahrscheinlichkeit von n<\/em> Erfolgen in einem Binomialexperiment ermitteln m\u00f6chten, m\u00fcssen wir die folgende Formel verwenden:<\/span><\/p>\n

        P(genau k<\/em> Erfolge) = n<\/sub> C k<\/sub> * p k<\/sup> * (1-p) nk<\/sup><\/span><\/p>\n

        Gold:<\/span><\/p>\n

          \n
        • n:<\/strong> die Anzahl der Versuche<\/span><\/li>\n
        • k:<\/strong> die Anzahl der Erfolge<\/span><\/li>\n
        • C:<\/strong> das \u201eKombinations\u201c-Symbol<\/span><\/li>\n
        • p:<\/strong> Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

          Durch Einsetzen dieser Zahlen in die Formel erhalten wir:<\/span><\/p>\n

          P(7 K\u00f6pfe) = 10<\/sub> C 7<\/sub> * 0,5 7<\/sup> * (1-0,5) 10-7<\/sup> = (120) * (.0078125) * (.125) = 0,11719<\/strong> .<\/span><\/p>\n

          Die Wahrscheinlichkeit, dass die M\u00fcnze sieben Mal \u201eKopf\u201c zeigt, betr\u00e4gt also 0,11719<\/strong> .<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          Das Verst\u00e4ndnis von Binomialexperimenten ist der erste Schritt zum Verst\u00e4ndnis der Binomialverteilung . Dieses Tutorial definiert ein Binomialexperiment und bietet mehrere Beispiele f\u00fcr Experimente, die als Binomialexperimente gelten oder nicht . Binomialexperiment: Definition Ein Binomialexperiment ist ein Experiment mit den folgenden vier Eigenschaften: 1. Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. 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