{"id":590,"date":"2023-07-29T09:47:17","date_gmt":"2023-07-29T09:47:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/kendalls-tau\/"},"modified":"2023-07-29T09:47:17","modified_gmt":"2023-07-29T09:47:17","slug":"kendalls-tau","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/kendalls-tau\/","title":{"rendered":"Kendalls tau: definition + beispiel"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">In der Statistik bezeichnet <strong>Korrelation<\/strong> die St\u00e4rke und Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen. Der Wert eines Korrelationskoeffizienten kann zwischen -1 und 1 liegen, wobei -1 eine perfekte negative Beziehung angibt, 0 keine Beziehung angibt und 1 eine perfekte positive Beziehung angibt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der am h\u00e4ufigsten verwendete Korrelationskoeffizient ist der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/pearson-korrelationskoeffizient-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Pearson-Korrelationskoeffizient<\/a> , der den linearen Zusammenhang zwischen zwei numerischen Variablen misst.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein weniger h\u00e4ufig verwendeter Korrelationskoeffizient ist <strong>Kendalls Tau<\/strong> , der die Beziehung zwischen zwei Spalten mit Rangdaten misst.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel zur Berechnung von Kendalls Tau, oft mit \u03c4 abgek\u00fcrzt, lautet wie folgt:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u03c4 = (CD) \/ (C+D)<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">C = die Anzahl der passenden Paare<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">D = die Anzahl der diskordanten Paare<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das folgende Beispiel veranschaulicht, wie diese Formel zur Berechnung des Kendall-Tau-Rangkorrelationskoeffizienten f\u00fcr zwei Spalten mit Rangdaten verwendet wird.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel f\u00fcr die Berechnung von Kendalls Tau<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Geht davon aus, dass zwei Basketballtrainer die 12 ihrer Spieler vom schlechtesten zum besten ordnen. Die folgende Tabelle zeigt die Ranglisten, die jeder Trainer den Spielern zugewiesen hat:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5441 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall1.png\" alt=\"Kendalls Tau-Beispiel\" width=\"233\" height=\"281\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da wir mit zwei Spalten mit Ranglistendaten arbeiten, ist es sinnvoll, Kendalls Tau zu verwenden, um die Korrelation zwischen den Ranglisten der beiden Trainer zu berechnen. Befolgen Sie die folgenden Schritte, um Kendalls Tau zu berechnen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1: Z\u00e4hlen Sie die Anzahl der passenden Paare.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Schauen Sie sich nur die Rangliste von Trainer Nr. 2 an. Z\u00e4hlen Sie beginnend mit dem ersten Spieler, um wie viele R\u00e4nge unter ihm der <em>gr\u00f6\u00dfere Spieler<\/em> ist. Es gibt beispielsweise 11 Zahlen unter \u201e1\u201c, die gr\u00f6\u00dfer sind, also schreiben wir 11:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5443 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall2.png\" alt=\"Kendall-Tau-Datensatz\" width=\"308\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gehen Sie zum n\u00e4chsten Spieler und wiederholen Sie den Vorgang. Es gibt 10 Zahlen unter \u201e2\u201c, die gr\u00f6\u00dfer sind, also schreiben wir 10:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5444 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall3.png\" alt=\"Berechnung von Kendalls-Tau-Konkordantenpaaren\" width=\"316\" height=\"280\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sobald wir einen Spieler erreichen, dessen Rang <em>niedriger<\/em> ist als der des Spielers vor ihm, wird ihm einfach der gleiche Wert zugewiesen wie dem Spieler vor ihm. Elliot hat beispielsweise einen Rang von \u201e4\u201c, der niedriger ist als der Rang von \u201e5\u201c des vorherigen Spielers, sodass ihm einfach der gleiche Wert wie dem Spieler vor ihm zugewiesen wird:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5445 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall4.png\" alt=\"Kendalls Tau\" width=\"321\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wiederholen Sie diesen Vorgang f\u00fcr alle Spieler:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5446 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall5.png\" alt=\"Kendalls Tau\" width=\"321\" height=\"288\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2: Z\u00e4hlen Sie die Anzahl der nicht \u00fcbereinstimmenden Paare.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Schauen Sie sich auch hier nur die Rangliste von Trainer Nr. 2 an. Z\u00e4hlen Sie f\u00fcr jeden Spieler, wie viele R\u00e4nge unter ihm <em>kleiner<\/em> sind. Beispielsweise hat Trainer Nr. 2 AJ den Rang \u201e1\u201c zugewiesen und kein Spieler unter ihm hat einen niedrigeren Rang. Daher weisen wir ihm den Wert 0 zu:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5447 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall6.png\" alt=\"Berechnung von Kendalls Tau f\u00fcr diskordante Paare\" width=\"396\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wiederholen Sie diesen Vorgang f\u00fcr jeden Spieler:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5448 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall7.png\" alt=\"Kendalls Tau-Beispiel\" width=\"397\" height=\"282\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Berechnen Sie die Summe jeder Spalte und ermitteln Sie Kendalls Tau.<\/strong><\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5449 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall8.png\" alt=\"Berechnung von Kendalls Tau\" width=\"401\" height=\"308\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Kendalls Tau = (CD) \/ (C+D) = (63-3) \/ (63+3) = (60\/66) = <strong>0,909<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Statistische Bedeutung von Kendalls Tau<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> Wenn Sie mehr als n=10 Paare haben, folgt Kendalls Tau im Allgemeinen einer Normalverteilung. Sie k\u00f6nnen die folgende Formel verwenden, um einen Z-Score f\u00fcr Kendalls Tau zu berechnen:<\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">z = 3\u03c4*\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n(n-1)<\/span> \/ \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">2(2n+5)<\/span><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u03c4 = Wert, den Sie f\u00fcr Kendalls Tau berechnet haben<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">n = Anzahl der Paare<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">So berechnen Sie <em>z<\/em> f\u00fcr das vorherige Beispiel:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">z = 3(.909)*\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">12(12-1)<\/span> \/ \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">2(2*12+5)<\/span> = <strong>4.11<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mithilfe des P-Wert-Z-Score-Rechners sehen wir, dass der p-Wert f\u00fcr diesen Z-Score <strong>0,00004<\/strong> betr\u00e4gt, was auf dem Alpha-Niveau von 0,05 statistisch signifikant ist. Somit besteht eine statistisch signifikante Korrelation zwischen den R\u00e4ngen, die die beiden Trainer den Spielern zugewiesen haben.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Bonus: So berechnen Sie Kendalls Tau in R<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In der R-Statistiksoftware k\u00f6nnen Sie die Funktion <strong>kendall.tau()<\/strong> aus der VGAM-Bibliothek verwenden, um Kendalls Tau f\u00fcr zwei Vektoren zu berechnen, die die folgende Syntax verwendet:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>kendall.tau(x, y)<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">wobei <em>x<\/em> und <em>y<\/em> zwei digitale Vektoren gleicher L\u00e4nge sind.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der folgende Code veranschaulicht, wie Kendalls Tau f\u00fcr die genauen Daten berechnet wird, die wir im vorherigen Beispiel verwendet haben:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#load <em>VGAM\n<\/em><\/span>library(VGAM)\n\n<span style=\"color: #008080;\">#create vector for each coach's rankings<\/span>\ncoach_1 &lt;- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)\ncoach_2 &lt;- c(1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8, 10, 9, 11, 12)\n\n<span style=\"color: #008080;\">#calculate Kendall's Tau\n<\/span>kendall.tau(coach_1, coach_2)\n\n#[1] 0.9090909<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beachten Sie, dass der Tau-Wert von Kendall mit dem Wert \u00fcbereinstimmt, den wir manuell berechnet haben.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In der Statistik bezeichnet Korrelation die St\u00e4rke und Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen. 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