{"id":65,"date":"2023-08-05T20:30:12","date_gmt":"2023-08-05T20:30:12","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/varianz\/"},"modified":"2023-08-05T20:30:12","modified_gmt":"2023-08-05T20:30:12","slug":"varianz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/varianz\/","title":{"rendered":"Varianz"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was Varianz, auch Varianz genannt, ist und wie sie berechnet wird. Sie finden die Varianzformel, ein konkretes Beispiel zur Varianzberechnung und k\u00f6nnen dar\u00fcber hinaus die Varianz eines beliebigen Datensatzes mit einem Online-Rechner berechnen.<\/p>\n

Wir zeigen Ihnen auch, wie Sie die Varianz gruppierter Daten ermitteln, da dies auf andere Weise geschieht. Abschlie\u00dfend zeigen wir Ihnen den Unterschied zwischen Populationsvarianz und Stichprobenvarianz, den Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung und die Eigenschaften dieses statistischen Ma\u00dfes.<\/p>\n

<\/span> Was ist Varianz?<\/span><\/h2>\n

In der Statistik ist Varianz ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung, das die Variabilit\u00e4t einer Zufallsvariablen angibt.<\/strong> Die Varianz entspricht der Summe der Quadrate der Residuen dividiert durch die Gesamtzahl der Beobachtungen.<\/p>\n

Beachten Sie, dass unter dem Residuum die Differenz zwischen dem Wert eines statistischen Datenpunkts und dem Mittelwert des Datensatzes verstanden wird.<\/p>\n

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Symbol f\u00fcr Varianz der griechische Buchstabe Sigma im Quadrat (\u03c3 2<\/sup> ). Normalerweise wird es jedoch auch als Var(X)<\/em> dargestellt, wobei X<\/em> die Zufallsvariable ist, aus der die Varianz berechnet wird.<\/p>\n

Im Allgemeinen ist die Interpretation des Varianzwerts einer Zufallsvariablen<\/strong> einfach. Je gr\u00f6\u00dfer der Varianzwert, desto st\u00e4rker gestreut sind die Daten. Und umgekehrt gilt: Je kleiner der Varianzwert, desto geringer ist die Streuung in der Datenreihe. Allerdings muss man bei der Interpretation der Varianz auf Ausrei\u00dfer<\/em> achten, da diese den Varianzwert verzerren k\u00f6nnen.<\/p>\n

Neben der Varianz werden neben der Streuung auch die Spanne, die Standardabweichung, die mittlere Abweichung und der Variationskoeffizient ber\u00fccksichtigt.<\/p>\n

<\/span>So berechnen Sie die L\u00fccke<\/span><\/h2>\n

Um die Varianz zu berechnen, m\u00fcssen folgende Schritte durchgef\u00fchrt werden:<\/p>\n

    \n
  1. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel<\/a> des Datensatzes.<\/span><\/li>\n
  2. Berechnen Sie die Residuen, definiert als Differenz zwischen den Werten und dem Mittelwert des Datensatzes.<\/span><\/li>\n
  3. Quadrieren Sie jeden Rest.<\/span><\/li>\n
  4. Addieren Sie alle im vorherigen Schritt berechneten Ergebnisse.<\/span><\/li>\n
  5. Teilen Sie durch die Gesamtzahl der Daten. Das erhaltene Ergebnis ist die Varianz der Datenreihe.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    Zusammenfassend lautet die Formel zur Berechnung der Varianz<\/strong> eines Datensatzes: <\/p>\n

    \"Varianz\"<\/figure>\n

    Gold:<\/p>\n

      \n
    • \n

      \"X\"<\/p>\n

      ist die Zufallsvariable, f\u00fcr die Sie die Varianz berechnen m\u00f6chten.<\/li>\n

    • \n

      \"x_i\"<\/p>\n

      ist der Datenwert<\/p>\n

      \"i\"<\/p>\n

      .<\/li>\n

    • \n

      \"n\"<\/p>\n

      ist die Gesamtzahl der Beobachtungen.<\/li>\n

    • \n

      \"\\overline{X}\"<\/p>\n

      ist der Mittelwert der Zufallsvariablen<\/p>\n

      \"X\"<\/p>\n

      .<\/li>\n<\/ul>\n

      \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Varianz eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n

      Um die Varianz aus einer Datenreihe zu extrahieren, ist es daher wichtig, dass Sie wissen, wie das arithmetische Mittel berechnet wird. Wenn Sie nicht wissen, wie das geht, k\u00f6nnen Sie es im oben verlinkten Artikel nachlesen.<\/p>\n

      <\/span> Beispiel einer Abweichung<\/span><\/h2>\n

      Nachdem wir nun die Definition der Varianz kennen, l\u00f6sen wir eine \u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie die Varianz einer Datenreihe ermittelt wird.<\/p>\n

        \n
      • Von einem multinationalen Unternehmen ist das wirtschaftliche Ergebnis bekannt, das es in den letzten f\u00fcnf Jahren erzielt hat. In den meisten F\u00e4llen erzielte es Gewinne, in einem Jahr verzeichnete es jedoch erhebliche Verluste: 11,5, 2, -9, 7 Millionen Euro. Berechnen Sie die Varianz dieses Datensatzes.<\/li>\n<\/ul>\n

        Wie wir in der obigen Erkl\u00e4rung gesehen haben, m\u00fcssen wir zum Ermitteln der Varianz einer Datenreihe zun\u00e4chst ihr arithmetisches Mittel berechnen:<\/p>\n

        <\/p>\n<\/p>\n

        \"\\overline{X}=\\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2\"<\/p>\n<\/p>\n

        Und sobald wir den Durchschnittswert der Daten kennen, k\u00f6nnen wir die Varianzformel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n

        \"Var(X)=\\cfrac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n\\left(x_i-\\overline{X}\\right)^2}{n}\"<\/p>\n<\/p>\n

        Wir setzen die in der \u00dcbungserkl\u00e4rung bereitgestellten Daten in die Formel ein:<\/p>\n<\/p>\n

        \"Var(X)=\\cfrac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Abschlie\u00dfend m\u00fcssen nur noch die Operationen zur Berechnung der Varianz gel\u00f6st werden:<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\begin{aligned}Var(X)&=\\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\\\[2ex]&=\\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\\\[2ex]&=<\/p>\n<\/p>\n

        Beachten Sie, dass es sich bei den Varianzeinheiten um die gleichen Einheiten der statistischen Daten handelt, jedoch quadriert. Aus diesem Grund betr\u00e4gt die Varianz dieser Datengruppe 45,76 Millionen Euro 2<\/sup> . <\/p>\n

        <\/span> L\u00fcckenrechner<\/span><\/h2>\n

        Geben Sie einen statistischen Datensatz in den folgenden Rechner ein, um dessen Varianz zu berechnen. Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden. <\/p>\n