{"id":740,"date":"2023-07-28T22:09:23","date_gmt":"2023-07-28T22:09:23","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-stichproben-t-test\/"},"modified":"2023-07-28T22:09:23","modified_gmt":"2023-07-28T22:09:23","slug":"ein-stichproben-t-test","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-stichproben-t-test\/","title":{"rendered":"T-test bei einer stichprobe: definition, formel und beispiel"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Ein <strong>T-Test bei einer Stichprobe<\/strong> wird verwendet, um zu testen, ob der Mittelwert einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/population-vs.-stichprobe\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Grundgesamtheit<\/a> einem bestimmten Wert entspricht oder nicht.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In diesem Tutorial wird Folgendes erkl\u00e4rt:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Motivation, einen T-Test bei einer Stichprobe durchzuf\u00fchren.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel zur Durchf\u00fchrung eines T-Tests bei einer Stichprobe.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Annahmen, die erf\u00fcllt sein m\u00fcssen, um einen T-Test bei einer Stichprobe durchzuf\u00fchren.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Ein Beispiel f\u00fcr die Durchf\u00fchrung eines T-Tests bei einer Stichprobe.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Ein Beispiel f\u00fcr einen T-Test: Motivation<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nehmen wir an, wir m\u00f6chten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkr\u00f6tenart in Florida 310 Pfund betr\u00e4gt oder nicht. Da es in Florida Tausende von Schildkr\u00f6ten gibt, w\u00e4re es \u00e4u\u00dferst zeitaufw\u00e4ndig und teuer, jede Schildkr\u00f6te einzeln zu wiegen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Stattdessen k\u00f6nnten wir eine <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/probenahmemethoden\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">einfache Zufallsstichprobe<\/a> von 40 Schildkr\u00f6ten nehmen und das Durchschnittsgewicht der Schildkr\u00f6ten in dieser Stichprobe verwenden, um den wahren Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt zu sch\u00e4tzen:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-7353 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/cimoyenne1.png\" alt=\"Stichprobe einer Beispielpopulation\" width=\"405\" height=\"270\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es ist jedoch praktisch garantiert, dass das Durchschnittsgewicht der Schildkr\u00f6ten in unserer Stichprobe von 310 Pfund abweicht. <strong>Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist<\/strong> . Gl\u00fccklicherweise k\u00f6nnen wir diese Frage mit einem T-Test bei einer Stichprobe beantworten.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>T-Test bei einer Stichprobe:<\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Formel<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein t-Test bei einer Stichprobe verwendet immer die folgende Nullhypothese:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> :<\/strong> \u03bc = \u03bc <sub>0<\/sub> (der Populationsmittelwert entspricht einem hypothetischen Wert \u03bc <sub>0<\/sub> )<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Alternativhypothese kann bilateral, links oder rechts sein:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>1<\/sub> (zweiseitig):<\/strong> \u03bc \u2260 \u03bc <sub>0<\/sub> (der Populationsmittelwert ist nicht gleich einem hypothetischen Wert \u03bc <sub>0<\/sub> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>1<\/sub> (links):<\/strong> \u03bc &lt; \u03bc <sub>0<\/sub> (der Bev\u00f6lkerungsmittelwert ist kleiner als ein hypothetischer Wert \u03bc <sub>0<\/sub> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>1<\/sub> (rechts):<\/strong> \u03bc &gt; \u03bc <sub>0<\/sub> (der Bev\u00f6lkerungsmittelwert ist gr\u00f6\u00dfer als ein hypothetischer Wert \u03bc <sub>0<\/sub> )<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir verwenden die folgende Formel, um die T-Test-Statistik zu berechnen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t = (<\/strong> <strong><span style=\"text-decoration: overline;\">X<\/span> \u2013 \u03bc) \/ (s\/ <span style=\"text-decoration: overline;\">\u221an<\/span> )<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> :<\/strong> Stichprobenmittel<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03bc <sub>0<\/sub> :<\/strong> hypothetischer Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>s:<\/strong> Stichprobenstandardabweichung<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> Stichprobengr\u00f6\u00dfe<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn der p-Wert, der der T-Test-Statistik mit (n-1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das gew\u00e4hlte Signifikanzniveau ist (\u00fcbliche Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), k\u00f6nnen Sie die Nullhypothese ablehnen.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Ein Stichproben-T-Test: Hypothesen<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Damit die Ergebnisse eines t-Tests bei einer Stichprobe g\u00fcltig sind, m\u00fcssen die folgenden Annahmen erf\u00fcllt sein:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color: #000000;\">Die untersuchte Variable muss entweder eine Intervallvariable oder eine Verh\u00e4ltnisvariable sein.<\/span><\/strong><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beobachtungen in der Stichprobe m\u00fcssen <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/unabhangigkeitshypothese\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">unabh\u00e4ngig<\/a> sein.<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Die untersuchte Variable muss eine ann\u00e4hernd normale Verteilung aufweisen.<\/strong> <span style=\"color: #000000;\">Sie k\u00f6nnen diese Annahme testen, indem Sie ein Histogramm erstellen und visuell pr\u00fcfen, ob die Verteilung ungef\u00e4hr eine \u201eGlockenform\u201c hat.<\/span><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Die untersuchte Variable darf keine Ausrei\u00dfer enthalten.<\/strong> Sie k\u00f6nnen diese Hypothese \u00fcberpr\u00fcfen, indem Sie ein <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/kastenschnurrhaare\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Boxplot<\/a> erstellen und visuell auf Ausrei\u00dfer pr\u00fcfen.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Ein Beispiel-T-Test<\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\"><strong>: Beispiel<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkr\u00f6tenart 310 Pfund betr\u00e4gt oder nicht. Um dies zu testen, f\u00fchren wir einen t-Test bei einer Stichprobe auf dem Signifikanzniveau \u03b1 = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1: Sammeln Sie Beispieldaten.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen,<\/span> <span style=\"color: #000000;\">wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Schildkr\u00f6ten mit den folgenden Informationen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Stichprobengr\u00f6\u00dfe n = 40<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Durchschnittliches Probengewicht <span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = 300<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Stichprobenstandardabweichung s = 18,5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2: Annahmen definieren.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir werden den Ein-Stichproben-t-Test mit den folgenden Hypothesen durchf\u00fchren:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> :<\/strong> \u03bc = 310 (der Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt betr\u00e4gt 310 B\u00fccher)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>1<\/sub> :<\/strong> \u03bc \u2260 310 (der Bev\u00f6lkerungsmittelwert betr\u00e4gt nicht 310 Pfund)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Berechnen Sie die <em>t<\/em> -Test-Statistik.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t<\/strong> = ( <span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> \u2013 \u03bc) \/ (s\/ <span style=\"text-decoration: overline;\">\u221an<\/span> ) = (300-310) \/ (18,5\/ <span style=\"text-decoration: overline;\">\u221a40<\/span> ) = <strong>-3,4187<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der <em>t-<\/em> Test-Statistik.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Laut dem <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/t-score-p-wert-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">T-Score-zu-P-Wert-Rechner<\/a> betr\u00e4gt der mit t = -3,4817 und Freiheitsgraden = n-1 = 40-1 = 39 verbundene p-Wert <strong>0,00149<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 5: Ziehen Sie ein Fazit.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da dieser p-Wert unter unserem Signifikanzniveau \u03b1 = 0,05 liegt, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir haben gen\u00fcgend Beweise daf\u00fcr, dass das Durchschnittsgewicht dieser Schildkr\u00f6tenart nicht 310 Pfund betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Hinweis:<\/strong> Sie k\u00f6nnen diesen gesamten T-Test bei einer Stichprobe auch einfach mit dem <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-beispiel-t-test-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">T-Test-Rechner bei einer Stichprobe<\/a> durchf\u00fchren.<\/em><\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In den folgenden Tutorials wird erl\u00e4utert, wie Sie mit verschiedenen Statistikprogrammen einen T-Test bei einer Stichprobe durchf\u00fchren:<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-beispiel-fur-einen-excel-t-test\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Excel durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-stichproben-t-test-spss\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in SPSS durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-stichproben-t-teststatus\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Stata durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-stichproben-t-test-in-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So f\u00fchren Sie einen t-Test bei einer Stichprobe in R durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-beispiel-fur-einen-python-test\/\">So f\u00fchren Sie einen T-Test bei einer Stichprobe in Python durch<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ein-beispiel-t-test-ti-84-rechner\/\">So f\u00fchren Sie einen t-Test bei einer Stichprobe auf einem TI-84-Rechner durch<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein T-Test bei einer Stichprobe wird verwendet, um zu testen, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit einem bestimmten Wert entspricht oder nicht. 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