{"id":75,"date":"2023-08-05T17:37:55","date_gmt":"2023-08-05T17:37:55","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/kovarianz\/"},"modified":"2023-08-05T17:37:55","modified_gmt":"2023-08-05T17:37:55","slug":"kovarianz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/kovarianz\/","title":{"rendered":"Kovarianz"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Kovarianz ist und wie sie berechnet wird. Sie finden die Kovarianzformel sowie ein Beispiel zur Berechnung der Kovarianz eines Datensatzes. Zus\u00e4tzlich k\u00f6nnen Sie mit dem Online-Rechner am Ende die Kovarianz beliebiger Datenreihen berechnen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-covarianza\"><\/span> Was ist Kovarianz?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Statistik ist <strong>Kovarianz<\/strong> ein Wert, der den Grad der gemeinsamen Variation zweier Zufallsvariablen angibt. Mit anderen Worten: Kovarianz wird verwendet, um die Abh\u00e4ngigkeit zwischen zwei Variablen zu analysieren.<\/p>\n<p> Die Kovarianz ist gleich der Summe der Produkte der Differenzen zwischen den Daten der beiden Variablen und ihren jeweiligen Mittelwerten dividiert durch die Gesamtzahl der Daten. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/covariance.png\" alt=\"Kovarianz\" class=\"wp-image-1610\" width=\"301\" height=\"191\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Kovarianz eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n<p> Die Interpretation des Kovarianzwertes ist sehr einfach:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die <strong>Kovarianz positiv ist<\/strong> , bedeutet dies, dass eine Abh\u00e4ngigkeit zwischen den beiden Variablen besteht. Wenn also eine Variable an Wert zunimmt, nimmt auch die andere Variable zu und umgekehrt.<\/li>\n<li> Wenn die <strong>Kovarianz negativ ist<\/strong> , bedeutet dies, dass die Beziehung zwischen den beiden Variablen negativ ist. Wenn also der Wert einer Variablen zunimmt, nimmt der Wert der anderen Variablen ab und umgekehrt.<\/li>\n<li> Wenn die <strong>Kovarianz Null ist<\/strong> (oder ihr Wert nahe bei Null liegt), bedeutet dies, dass zwischen den beiden Variablen keine Beziehung besteht. Mit anderen Worten: Die beiden Zufallsvariablen sind unabh\u00e4ngig. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-covarianza\"><\/span> So berechnen Sie die Kovarianz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um die Kovarianz einer Datenreihe zu berechnen, m\u00fcssen folgende Schritte durchgef\u00fchrt werden:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Berechnen Sie den Durchschnitt jeder Variablen separat.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Ermitteln Sie f\u00fcr jede Variable die Differenz zwischen jedem ihrer Werte und dem Mittelwert der Variablen.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Multiplizieren Sie die im vorherigen Schritt berechneten Differenzen f\u00fcr jeden Datenpunkt.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Addieren Sie alle im vorherigen Schritt erhaltenen Ergebnisse.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Teilen Sie durch die Gesamtzahl der Daten. Der erhaltene Wert ist die Kovarianz der Datenreihe.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Zusammenfassend lautet die Formel zur Berechnung der Kovarianz zwischen zwei Variablen wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e8484a2dfa35044eae76362ca631df2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"70\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Eine dringend empfohlene Methode zum Extrahieren der Kovarianz zwischen zwei Variablen besteht darin, eine Tabelle mit allen Datenpaaren zu erstellen und f\u00fcr jeden der oben erl\u00e4uterten Schritte eine Spalte hinzuzuf\u00fcgen. Auf diese Weise werden Ihre Berechnungen viel besser organisiert und Sie werden besser verstehen, was Sie tun. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-la-covarianza\"><\/span> Beispiel einer Kovarianzberechnung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Unter Ber\u00fccksichtigung der Definition der Kovarianz finden Sie unten ein schrittweises Beispiel f\u00fcr die Berechnung dieser Art von statistischem Ma\u00df. Ziel ist es, das Konzept der Kovarianz besser zu verstehen und die Korrelation zwischen zwei Variablen zu analysieren.<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie die Kovarianz des folgenden statistischen Datensatzes: <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-donnees-variables-aleatoires.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1612\" width=\"116\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Zuerst m\u00fcssen wir das arithmetische Mittel jeder Variablen berechnen. Dazu dividieren wir die Summe der Werte jeder Variablen durch die Gesamtzahl der Daten. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cbd143f38881aba1c648a4d6f306adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}=\\cfrac{58}{10}=5,8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a19af98b2edc689420b116d93fffbe6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}=\\cfrac{51}{10}=5,1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/arithmetisches-mittel\/\">Mittelwert der arithmetischen Formel<\/a><\/div>\n<p> Sobald wir den Mittelwert jeder Zufallsvariablen ermittelt haben, k\u00f6nnen wir der Datentabelle die folgenden Spalten hinzuf\u00fcgen, um die Kovarianz zu ermitteln: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-de-covariance-resolu.png\" alt=\"Kovarianz\u00fcbung gel\u00f6st\" class=\"wp-image-1614\" width=\"376\" height=\"287\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Um die Kovarianz der beiden Variablen zu bestimmen, m\u00fcssen Sie also die Summe der letzten Spalte durch die Anzahl der Datenpaare dividieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49b4992f8443e4d94e38dfa56da38a9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}Cov(X,Y)&amp;=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\\\\[2ex] Cov(X,Y)&amp;= \\cfrac{41,2}{10} \\\\[2ex]Cov(X,Y)&amp;= 4,12\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"175\" width=\"257\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall ist der Kovarianzwert positiv, was bedeutet, dass eine direkte Abh\u00e4ngigkeit zwischen den beiden untersuchten Zufallsvariablen besteht. W\u00e4re der Kovarianzwert jedoch negativ gewesen, w\u00fcrde dies bedeuten, dass die Abh\u00e4ngigkeit zwischen den beiden Variablen umgekehrt ist. Und schlie\u00dflich: Wenn der Kovarianzwert Null ist oder sehr nahe bei Null liegt, bedeutet dies, dass zwischen den beiden Variablen keine lineare Beziehung besteht.<\/p>\n<p> Wie Sie anhand der L\u00f6sung dieses Beispiels sehen k\u00f6nnen, ist es sehr n\u00fctzlich, ein Computerprogramm wie Excel zu verwenden, um die Spalten zur Tabelle hinzuzuf\u00fcgen und die Berechnungen schnell durchzuf\u00fchren. Andernfalls dauert es bei manueller Berechnung der Operationen viel l\u00e4nger, die Kovarianz zu ermitteln. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-covarianza\"><\/span> Kovarianzrechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Geben Sie einen Satz statistischer Daten in den folgenden Rechner ein, um die Kovarianz zwischen zwei Variablen zu berechnen. Sie m\u00fcssen die Datenpaare trennen, sodass im ersten Feld nur die Werte einer Variablen und im zweiten Feld nur die Werte der zweiten Variablen stehen.<\/p>\n<p> Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Zuf\u00e4llige Variable <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la primera variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Zufallsvariable Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la segunda variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Berechnen Sie die Kovarianz\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-covarianza\"><\/span> Kovarianzeigenschaften<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kovarianz hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Kovarianz zwischen einer Zufallsvariablen und einer Konstante ist Null.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3521edd5d0781593491d07e147d9274e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,a)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Kovarianz einer Variablen und sich selbst entspricht der Varianz dieser Variablen. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b96c9e198a0904a56206dedad0e7608c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,X)=Var(X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/varianz\/\">Was ist Varianz?<\/a><\/div>\n<ul>\n<li> Die Kovarianz erf\u00fcllt die Symmetrieeigenschaft, sodass die Kovarianz der Variablen X und Y gleich der Kovarianz der Variablen Y und X ist. Die Reihenfolge der Variablen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis der Kovarianz.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d384166725954287d0065f3a145c61a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die Variablen mit Konstanten multipliziert werden, k\u00f6nnen Sie zun\u00e4chst die Kovarianz berechnen und dann das Ergebnis mit den Konstanten multiplizieren.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ea811783444fab37858b563c94c0ce7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a\\cdot X,b\\cdot Y)=a\\cdot b\\cdot Cov(X,Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Hinzuf\u00fcgen von Termen zu Variablen hat keinen Einfluss auf das Kovarianzergebnis.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fa1b5d5152dd55933384887aea08396_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen h\u00e4ngt mit ihren mathematischen Erwartungen zusammen. Die Kovarianz zwischen den Variablen X und Y ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Produkts von X und Y minus dem Produkt des mathematischen Erwartungswerts jeder Variablen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cdc964b9ce9f0c87cf3fd8fc5eb84fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=E[X\\cdot Y]-E[X]\\cdot E[Y]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Bei der Arbeit mit Variablen wird hinsichtlich der Kovarianz folgender algebraischer Ausdruck gef\u00fcllt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d429b5bb4e4796cc5b8c73ed0845fa2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \\ &amp; \\displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\\\[2ex]&amp; +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"457\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Kovarianz ist und wie sie berechnet wird. 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