{"id":757,"date":"2023-07-28T20:46:17","date_gmt":"2023-07-28T20:46:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-von-fisch\/"},"modified":"2023-07-28T20:46:17","modified_gmt":"2023-07-28T20:46:17","slug":"verteilung-von-fisch","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-von-fisch\/","title":{"rendered":"Eine einf\u00fchrung in die poisson-verteilung"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Poisson-Verteilung<\/strong> ist eine der beliebtesten Verteilungen in der Statistik.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um die Poisson-Verteilung zu verstehen, ist es hilfreich, zun\u00e4chst Poisson-Experimente zu verstehen.<\/span><\/p>\n<h2> <strong>Fischexperimente<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein <strong>Poisson-Experiment<\/strong> ist ein Experiment mit den folgenden Eigenschaften:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Erfolge des Experiments k\u00f6nnen gez\u00e4hlt werden.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge, die w\u00e4hrend eines bestimmten Zeit- (oder Raum-)Intervalls aufgetreten sind, ist bekannt.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Jedes Ergebnis ist unabh\u00e4ngig.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erfolg eintritt, ist proportional zur Gr\u00f6\u00dfe des Intervalls.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein Beispiel f\u00fcr ein Poisson-Experiment ist die Anzahl der Geburten pro Stunde in einem bestimmten Krankenhaus. Angenommen, in einem bestimmten Krankenhaus werden durchschnittlich 10 Geburten pro Stunde durchgef\u00fchrt. Dies ist ein Poisson-Experiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Erfolge des Experiments k\u00f6nnen gez\u00e4hlt werden \u2013 Wir k\u00f6nnen die Anzahl der Geburten z\u00e4hlen.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die durchschnittliche Anzahl der Geburten, die in einem bestimmten Zeitintervall stattfinden, ist bekannt \u2013 es ist bekannt, dass es durchschnittlich 10 Geburten pro Stunde gibt.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Jedes Ergebnis ist unabh\u00e4ngig \u2013 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mutter in einer bestimmten Stunde ein Kind zur Welt bringt, ist unabh\u00e4ngig von der Wahrscheinlichkeit, dass eine andere Mutter ein Kind zur Welt bringt.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist proportional zur Gr\u00f6\u00dfe des Intervalls: Je l\u00e4nger das Zeitintervall, desto h\u00f6her ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Geburt eintritt.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen die Poisson-Verteilung verwenden, um Fragen zu Wahrscheinlichkeiten zu diesem Poisson-Experiment zu beantworten, wie zum Beispiel:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde mehr als 12 Geburten stattfinden?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde weniger als 5 Geburten stattfinden?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde zwischen 8 und 11 Geburten stattfinden?<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <strong>Die Fischverteilung<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Poisson-Verteilung<\/strong> beschreibt die Wahrscheinlichkeit, in einem bestimmten Zeitintervall <em>k<\/em> Erfolge zu erzielen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn eine <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/zufallige-variablen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Zufallsvariable<\/a> <em>X<\/em> einer Poisson-Verteilung folgt, kann die Erfolgswahrscheinlichkeit von <em>X<\/em> = <em>k<\/em> mit der folgenden Formel ermittelt werden:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=k) = \u03bb <sup>k<\/sup> * e <sup>\u2013 \u03bb<\/sup> \/ k!<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03bb:<\/strong> durchschnittliche Anzahl von Erfolgen, die w\u00e4hrend eines bestimmten Intervalls auftreten<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> Anzahl der Erfolge<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><b>e:<\/b> eine Konstante, die ungef\u00e4hr 2,71828 entspricht<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, in einem bestimmten Krankenhaus gibt es durchschnittlich zwei Geburten pro Stunde. Wir k\u00f6nnen die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, 0, 1, 2, 3 Geburten usw. zu erleben. in einer bestimmten Stunde:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = 2 <sup>0<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 0! = <strong>0,1353<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = 2 <sup>1<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 1! = <strong>0,2707<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = 2 <sup>2<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 2! = <strong>0,2707<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=3)<\/strong> = 2 <sup>3<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 3! = <strong>0,1805<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen die Wahrscheinlichkeit beliebig vieler Geburten bis ins Unendliche berechnen. Anschlie\u00dfend erstellen wir ein einfaches Histogramm, um diese Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8131 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/poissondist1.png\" alt=\"Fischverteilungsdiagramm\" width=\"472\" height=\"347\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2> <strong>Berechnung kumulativer Poisson-Wahrscheinlichkeiten<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es ist einfach, eine einzelne Poisson-Wahrscheinlichkeit (z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Krankenhaus drei Geburten in einer bestimmten Stunde stattfinden) mithilfe der obigen Formel zu berechnen. Um jedoch kumulative Poisson-Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, m\u00fcssen wir einzelne Wahrscheinlichkeiten addieren.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nehmen wir zum Beispiel an, wir m\u00f6chten die Wahrscheinlichkeit wissen, dass es im Krankenhaus in einer bestimmten Stunde eine oder weniger Geburten geben wird. Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit w\u00fcrden wir die folgende Formel verwenden:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = <strong>0,406<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dies wird als <strong>kumulative Wahrscheinlichkeit<\/strong> bezeichnet, da dabei mehrere Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Mit einer \u00e4hnlichen Formel k\u00f6nnen wir die kumulative Wahrscheinlichkeit berechnen, in einer bestimmten Stunde <em>k<\/em> oder weniger Geburten zu erleben:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22640)<\/strong> = P(X=0) = <strong>0,1353<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = <strong>0,406<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22642)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = <strong>0,6767<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen diese kumulativen Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr eine beliebige Anzahl von Geburten bis ins Unendliche berechnen. Anschlie\u00dfend k\u00f6nnen wir ein Histogramm erstellen, um diese kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8132 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/poissondist2.png\" alt=\"Beispiel einer kumulativen Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung\" width=\"474\" height=\"289\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<div class=\"wp-block-image\"><\/div>\n<h2> <strong>Eigenschaften der Poisson-Verteilung<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Poisson-Verteilung hat die folgenden Eigenschaften:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Mittelwert der Verteilung ist <strong>\u03bb<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Varianz der Verteilung betr\u00e4gt ebenfalls <strong>\u03bb<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Standardabweichung der Verteilung betr\u00e4gt <strong>\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">\u03bb<\/span><\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, in einem Krankenhaus werden durchschnittlich zwei Geburten pro Stunde durchgef\u00fchrt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die durchschnittliche Anzahl der in einer bestimmten Stunde erwarteten Geburten betr\u00e4gt \u03bb = 2 Geburten.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die von uns erwartete Varianz der Geburtenzahl betr\u00e4gt \u03bb = 2 Geburten.<\/span><\/p>\n<h2> <strong>Probleme in der Fischverteilungspraxis<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Verwenden Sie die folgenden \u00dcbungsaufgaben, um Ihr Wissen \u00fcber die Poisson-Verteilung zu testen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Hinweis:<\/strong> Zur Berechnung der Antworten auf diese Fragen verwenden wir den <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/fischverteilungsrechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Poisson-Verteilungsrechner<\/a> .<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage:<\/strong> Wir wissen, dass eine bestimmte Website 10 Verk\u00e4ufe pro Stunde t\u00e4tigt. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Website in einer bestimmten Stunde genau 8 Verk\u00e4ufe t\u00e4tigt?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Antwort:<\/strong> Mit dem Poisson-Verteilungsrechner mit \u03bb = 10 und x = 8 finden wir P(X=8) = <strong>0,1126<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 2<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage:<\/strong> Wir wissen, dass ein bestimmter Immobilienmakler durchschnittlich 5 Verk\u00e4ufe pro Monat t\u00e4tigt. Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einem bestimmten Monat mehr als 7 Verk\u00e4ufe t\u00e4tigt?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Antwort:<\/strong> Mit dem Poisson-Verteilungsrechner mit \u03bb = 5 und x = 7 finden wir P(X&gt;7) = <strong>0,13337<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 3<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage:<\/strong> Wir wissen, dass in einem bestimmten Krankenhaus 4 Entbindungen pro Stunde stattfinden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer bestimmten Stunde 4 oder weniger Geburten gibt?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Antwort:<\/strong> Unter Verwendung des Poisson-Verteilungsrechners mit \u03bb = 4 und x = 4 finden wir, dass P(X\u22644) = <strong>0,62884<\/strong> ist.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In den folgenden Artikeln wird erl\u00e4utert, wie die Poisson-Verteilung in verschiedenen Statistikprogrammen verwendet wird:<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/ppois-ppois-qpois-rpois-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So verwenden Sie die Poisson-Verteilung in R<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/fischvertrieb-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So verwenden Sie die Poisson-Verteilung in Excel<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/fischwahrscheinlichkeiten-ti-84-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So berechnen Sie Poisson-Wahrscheinlichkeiten mit einem TI-84-Rechner<\/a><br \/><a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/fischverteilung-echte-beispiele\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Beispiele aus der Praxis der Poisson-Verteilung<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/fischverteilungsrechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Fischverteilungsrechner<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Poisson-Verteilung ist eine der beliebtesten Verteilungen in der Statistik. 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