{"id":94,"date":"2023-08-05T12:39:47","date_gmt":"2023-08-05T12:39:47","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/mittlerer-median-und-modus\/"},"modified":"2023-08-05T12:39:47","modified_gmt":"2023-08-05T12:39:47","slug":"mittlerer-median-und-modus","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/mittlerer-median-und-modus\/","title":{"rendered":"Mittelwert, median und modus"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was Mittelwert, Median und Modus sind. Sie erfahren, wie Sie den Mittelwert, den Median und den Modus ermitteln, wof\u00fcr sie verwendet werden und was der Unterschied zwischen diesen drei statistischen Ma\u00dfen ist. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit dem Online-Rechner am Ende den Mittelwert, den Median und den Modus jeder statistischen Stichprobe berechnen. <\/p>\n

<\/span> Was ist Mittelwert, Median und Modus?<\/span><\/h2>\n

Mittelwert, Median und Modus sind statistische Ma\u00dfe der zentralen Position.<\/strong> Mit anderen Worten: Mittelwert, Median und Modus sind Werte, die bei der Definition einer statistischen Stichprobe helfen, insbesondere geben sie an, was ihre zentralen Werte sind.<\/p>\n

Mittelwert, Median und Modus sind wie folgt definiert:<\/p>\n

    \n
  • Mittelwert<\/strong> : ist der Durchschnitt aller Daten in der Stichprobe.<\/span><\/li>\n
  • Median<\/strong> : Dies ist der Mittelwert aller Daten, sortiert vom kleinsten zum gr\u00f6\u00dften.<\/span><\/li>\n
  • Modus<\/strong> : Dies ist der am h\u00e4ufigsten wiederholte Wert im Datensatz.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

    Diese drei statistischen Ma\u00dfe werden im Folgenden n\u00e4her erl\u00e4utert.<\/p>\n

    <\/span> Halb<\/span><\/h3>\n

    Um den Durchschnitt zu berechnen,<\/strong> addieren Sie alle Werte und teilen Sie sie dann durch die Gesamtzahl der Daten. Die Formel f\u00fcr den Durchschnitt lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

    \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie den Mittelwert, den Median und den Modus eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n

    Das durchschnittliche Symbol ist ein horizontales Band \u00fcber dem Buchstaben x<\/p>\n<\/p>\n

    \"(\\overline{x}).\"<\/p>\n

    Sie k\u00f6nnen den Stichprobenmittelwert auch mit dem Mittelwertsymbol vom Grundgesamtheitsmittelwert unterscheiden: Der Mittelwert einer Stichprobe wird mit dem Symbol ausgedr\u00fcckt<\/p>\n

    \"\\overline{x}\"<\/p>\n

    , w\u00e4hrend der Durchschnitt einer Bev\u00f6lkerung den griechischen Buchstaben verwendet<\/p>\n

    \"\\mu.\"<\/p>\n<\/p>\n

    Der Durchschnitt wird auch als arithmetisches Mittel<\/strong> oder Durchschnitt<\/strong> bezeichnet. Dar\u00fcber hinaus entspricht der Mittelwert einer statistischen Verteilung ihrem mathematischen Erwartungswert.<\/p>\n

    <\/span> Durchschnittliches Beispiel<\/span><\/h4>\n
      \n
    • Ein Sch\u00fcler hat im Laufe eines Schuljahres folgende Noten erreicht: in Mathematik eine 9, in Sprache eine 7, in Geschichte eine 6, in Wirtschaftswissenschaften eine 8 und in Naturwissenschaften eine 7,5. Was ist der Durchschnitt aller Ihrer Noten?<\/li>\n<\/ul>\n

      Um den arithmetischen Durchschnitt zu ermitteln, m\u00fcssen wir alle Noten addieren und dann durch die Gesamtzahl der F\u00e4cher im Kurs dividieren, also 5. Daher wenden wir die Formel f\u00fcr den arithmetischen Durchschnitt an:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

      Wir setzen die Daten in die Formel ein und berechnen das arithmetische Mittel:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\overline{x}=\\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3\"<\/p>\n<\/p>\n

      Wie Sie sehen, wird im arithmetischen Mittel jedem Wert das gleiche Gewicht zugewiesen, das hei\u00dft, jedes Datenelement hat im Ganzen das gleiche Gewicht.<\/p>\n

      <\/span> Median<\/span><\/h3>\n

      Der Median<\/strong> ist der Mittelwert aller Daten, geordnet vom kleinsten zum gr\u00f6\u00dften. Mit anderen Worten: Der Median teilt den geordneten Datensatz in zwei gleiche Teile.<\/p>\n

      Die Berechnung des Medians h\u00e4ngt davon ab, ob die Gesamtzahl der Daten gerade oder ungerade ist:<\/p>\n

        \n
      • Wenn die Gesamtzahl der Daten ungerade<\/strong> ist, ist der Median der Wert, der genau in der Mitte der Daten liegt. Das hei\u00dft der Wert, der an Position (n+1)\/2 der sortierten Daten steht.<\/span><\/li>\n

        \"Me=x_{\\frac{n+1}{2}\"<\/p>\n<\/p>\n

      • Wenn die Gesamtzahl der Datenpunkte gerade<\/strong> ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden Datenpunkte in der Mitte. Das hei\u00dft das arithmetische Mittel der Werte, die an den Positionen n\/2 und n\/2+1 der geordneten Daten gefunden werden.<\/span><\/li>\n

        \"Me=\\cfrac{x_{\\frac{n}{2}}+x_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\"<\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n

        Gold<\/p>\n<\/p>\n

        \"n\"<\/p>\n

        ist die Gesamtzahl der Datenelemente in der Stichprobe.<\/p>\n

        Der Begriff Me<\/em> wird oft als Symbol verwendet, um anzuzeigen, dass ein Wert der Median aller Beobachtungen ist.<\/p>\n

        \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie den Mittelwert, den Median und den Modus eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n

        <\/span>Median-Beispiel<\/span><\/h4>\n
          \n
        • Finden Sie den Median der folgenden Daten: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5<\/li>\n<\/ul>\n

          Bevor wir Berechnungen durchf\u00fchren, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Daten klassifizieren, d. h. wir ordnen die Zahlen vom kleinsten zum gr\u00f6\u00dften an.<\/p>\n<\/p>\n

          \"1<\/p>\n<\/p>\n

          In diesem Fall haben wir 11 Beobachtungen, daher ist die Gesamtzahl der Daten ungerade. Daher wenden wir die folgende Formel an, um die Position des Medians zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

          \"\\cfrac{n+1}{2}=\\cfrac{11+1}{2}=6\"<\/p>\n<\/p>\n

          Als Median werden also die an sechster Stelle stehenden Daten herangezogen, was in diesem Fall dem Wert 4 entspricht. <\/p>\n<\/p>\n

          \"Me=x_6=4\"<\/p>\n<\/p>\n

          <\/span> Mode<\/span><\/h3>\n

          In der Statistik ist der Modus<\/strong> der Wert im Datensatz, der die h\u00f6chste absolute H\u00e4ufigkeit aufweist, d. h. der Modus ist der am h\u00e4ufigsten wiederholte Wert in einem Datensatz.<\/p>\n

          Um den Modus eines statistischen Datensatzes zu berechnen, z\u00e4hlen Sie daher einfach, wie oft jedes Datenelement in der Stichprobe vorkommt. Die am h\u00e4ufigsten wiederholten Daten ergeben den Modus.<\/p>\n

          Der Modus kann auch als statistischer Modus<\/strong> oder Modalwert<\/strong> bezeichnet werden. Wenn Daten in Intervalle gruppiert werden, ist das am h\u00e4ufigsten wiederholte Intervall das Modalintervall<\/strong> oder die Modalklasse<\/strong> .<\/p>\n

          Im Allgemeinen wird der Begriff Mo<\/em> als Symbol f\u00fcr den statistischen Modus verwendet, beispielsweise ist der Verteilungsmodus X Mo(X).<\/p>\n

          Je nach Anzahl der am h\u00e4ufigsten wiederholten Werte k\u00f6nnen drei Arten von Modi unterschieden werden:<\/p>\n

            \n
          • Unimodaler Modus<\/strong> : Es gibt nur einen Wert mit der maximalen Anzahl an Wiederholungen. Zum Beispiel [1, 4, 2, 4, 5, 3].<\/span><\/li>\n
          • Bimodaler Modus<\/strong> : Die maximale Anzahl an Wiederholungen erfolgt bei zwei unterschiedlichen Werten, und beide Werte werden gleich oft wiederholt. Zum Beispiel [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].<\/span><\/li>\n
          • Multimodaler Modus<\/strong> : Drei oder mehr Werte haben die gleiche maximale Wiederholungszahl. Zum Beispiel [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

            \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie den Mittelwert, den Median und den Modus eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n

            <\/span> Modebeispiel<\/span><\/h4>\n
              \n
            • Welchen Modus hat der folgende Datensatz?<\/li>\n<\/ul>\n

              \"5<\/p>\n<\/p>\n

              Die Zahlen sind nicht in der richtigen Reihenfolge, also sortieren wir sie zun\u00e4chst. Dieser Schritt ist nicht zwingend erforderlich, hilft Ihnen aber dabei, Mode leichter zu finden.<\/p>\n<\/p>\n

              \"2<\/p>\n<\/p>\n

              Die Zahlen 2 und 9 erscheinen zweimal, aber die Zahl 5 wird dreimal wiederholt. Daher ist der Modus der Datenreihe Nummer 5. <\/p>\n<\/p>\n

              \"Mo=5\"<\/p>\n<\/p>\n

              <\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbung zu Mittelwert, Median und Modus<\/span><\/h2>\n

              Nachdem Sie nun den Mittelwert, den Median und den Modus kennen, finden Sie unten eine ausf\u00fchrliche \u00dcbung zu diesen statistischen Ma\u00dfen, damit Sie genau sehen k\u00f6nnen, wie sie berechnet werden.<\/p>\n

                \n
              • Ermitteln Sie Mittelwert, Median und Modus des folgenden statistischen Datensatzes:<\/li>\n<\/ul>\n

                \"<\/p>\n<\/p>\n

                \"0<\/p>\n<\/p>\n

                Um den Durchschnitt der Daten zu ermitteln, m\u00fcssen wir alles addieren und dann durch die Gesamtzahl der Daten dividieren, also 30:<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

                Zweitens ermitteln wir den Stichprobenmedian. Also ordnen wir alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge an:<\/p>\n<\/p>\n

                \"0<\/p>\n<\/p>\n

                \"7<\/p>\n<\/p>\n

                In diesem Fall ist die Gesamtzahl der Daten gerade, daher m\u00fcssen die beiden zentralen Positionen berechnet werden, zwischen denen der Median ermittelt wird. Hierzu verwenden wir die folgenden zwei Formeln:<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\cfrac{n}{2}=\\cfrac{30}{2}=15\"<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\cfrac{n}{2}+1=\\cfrac{30}{2}+1=16\"<\/p>\n<\/p>\n

                Der Median liegt also zwischen der f\u00fcnfzehnten und sechzehnten Stelle, was den Werten 6 bzw. 7 entspricht. Genauer gesagt entspricht der Median dem Durchschnitt dieser Werte:<\/p>\n<\/p>\n

                \"Me=\\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\\cfrac{6+7}{2}=6,5\"<\/p>\n<\/p>\n

                Um schlie\u00dflich den Modus zu finden, m\u00fcssen Sie nur noch z\u00e4hlen, wie oft jede Zahl erscheint. Wie Sie sehen, erscheinen Nummer 6 und Nummer 8 insgesamt viermal, was der maximalen Anzahl an Wiederholungen entspricht. Daher handelt es sich in diesem Fall um einen bimodalen Modus und die beiden Zahlen sind der Modus des Datensatzes: <\/p>\n<\/p>\n

                \"Mo=\\{<\/p>\n<\/p>\n

                <\/span> Mittelwert-, Median- und Modusrechner<\/span><\/h2>\n

                Geben Sie Daten aus einer beliebigen statistischen Stichprobe in den folgenden Online-Rechner ein, um deren Mittelwert, Median und Modus zu berechnen. Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden. <\/p>\n