Asymmetrie und abflachung

Von Dr. Benjamin Anderson August 4, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Schiefe und Kurtosis in der Statistik sind. Hier finden Sie die Definitionen dieser beiden Konzepte, Informationen zur Berechnung von Schiefe und Kurtosis, die entsprechenden Formeln sowie einen Online-Rechner zur Berechnung der Schiefe und Kurtosis einer beliebigen Datenstichprobe.

Was sind Schiefe und Kurtosis?

Schiefe und Kurtosis sind zwei statistische Maße, mit denen die Form einer Verteilung beschrieben werden kann, ohne dass eine grafische Darstellung erforderlich ist. Genauer gesagt gibt die Schiefe den Grad der Symmetrie (oder Schiefe) einer Verteilung an, während die Kurtosis den Grad der Konzentration einer Verteilung um ihren Mittelwert angibt.

In der Statistik werden Schiefe und Kurtosis auch Formmaße genannt.

👉 Mit dem unten stehenden Online-Rechner können Sie die Schiefe und Kurtosis eines beliebigen Datensatzes berechnen.

Asymmetrie

In der Statistik ist die Schiefe ein Maß, das den Grad der Symmetrie (oder Asymmetrie) einer Verteilung relativ zu ihrem Mittelwert angibt. Einfach ausgedrückt ist die Schiefe ein statistischer Parameter, mit dem der Grad der Symmetrie (oder Asymmetrie) einer Verteilung bestimmt werden kann, ohne dass eine grafische Darstellung erforderlich ist.

Eine asymmetrische Verteilung ist also eine Verteilung, die links vom Mittelwert eine andere Anzahl von Werten aufweist als rechts davon. Bei einer symmetrischen Verteilung hingegen gibt es links und rechts vom Mittel gleich viele Werte.

Daher unterscheiden wir drei Arten von Asymmetrie :

Positive Asymmetrie : Die Verteilung weist rechts vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte auf als links davon.
Symmetrie : Die Verteilung hat links vom Mittelwert die gleiche Anzahl von Werten wie rechts vom Mittelwert.
Negative Schiefe : Die Verteilung hat links vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte als rechts davon.

Asymmetriekoeffizient

Der Schiefekoeffizient oder Asymmetrieindex ist ein statistischer Koeffizient, der dabei hilft, die Asymmetrie einer Verteilung zu bestimmen. Somit ist es durch die Berechnung des Asymmetriekoeffizienten möglich, zu wissen, welche Art von Asymmetrie die Verteilung aufweist, ohne sie grafisch darstellen zu müssen.

Obwohl es verschiedene Formeln zur Berechnung des Asymmetriekoeffizienten gibt und wir sie alle unten sehen werden, erfolgt die Interpretation des Asymmetriekoeffizienten unabhängig von der verwendeten Formel immer wie folgt:

Wenn der Schiefekoeffizient von positiv ist, ist die Verteilung positiv schief .
Wenn der Asymmetriekoeffizient von gleich Null ist, ist die Verteilung symmetrisch .
Wenn der Schiefekoeffizient von negativ ist, ist die Verteilung negativ schief .

Fishers Asymmetriekoeffizient

Der Schiefekoeffizient nach Fisher entspricht dem dritten Moment um den Mittelwert dividiert durch die Standardabweichung der Stichprobe. Daher lautet die Formel für den Fisher-Asymmetriekoeffizienten :

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Entsprechend kann eine der beiden folgenden Formeln zur Berechnung des Fisher-Koeffizienten verwendet werden:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Gold

$E$

ist die mathematische Erwartung,

$\mu$

das arithmetische Mittel,

$\sigma$

die Standardabweichung und

$N$

die Gesamtzahl der Daten.

Wenn die Daten hingegen gruppiert sind, können Sie die folgende Formel verwenden:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Wo in diesem Fall

$x_i$

Es ist das Zeichen von Klasse und

$f_i$

die absolute Häufigkeit des Kurses.

Asymmetriekoeffizient nach Pearson

Der Schiefekoeffizient nach Pearson entspricht der Differenz zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Stichprobenmodus dividiert durch seine Standardabweichung (oder Standardabweichung). Die Formel für den Pearson-Asymmetriekoeffizienten lautet daher wie folgt:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Gold

$A_p$

ist der Pearson-Koeffizient,

$\mu$

das arithmetische Mittel,

$Mo$

Mode und

$\sigma$

die Standardabweichung.

Beachten Sie, dass der Pearson-Skewness-Koeffizient nur berechnet werden kann, wenn es sich um eine unimodale Verteilung handelt, d. h. wenn die Daten nur einen Modus enthalten.

Bowleys Asymmetriekoeffizient

Der Schiefekoeffizient nach Bowley ist gleich der Summe aus dem dritten Quartil plus dem ersten Quartil minus dem Doppelten des Medians dividiert durch die Differenz zwischen dem dritten und dem ersten Quartil. Die Formel für diesen Asymmetriekoeffizienten lautet daher wie folgt:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Gold

$Q_1$

Und

$Q_3$

Dies sind jeweils das erste und dritte Quartil und

$Me$

ist der Median der Verteilung.

Abflachung

Kurtosis , auch Schiefe genannt, gibt an, wie konzentriert eine Verteilung um ihren Mittelwert ist. Mit anderen Worten: Kurtosis gibt an, ob eine Verteilung steil oder flach ist. Konkret gilt: Je größer die Kurtosis einer Verteilung, desto steiler (oder schärfer) ist sie.

Es gibt drei Arten von Schmeichelei :

Leptokurtic : Die Verteilung ist sehr spitz, das heißt, die Daten konzentrieren sich stark um den Mittelwert. Genauer gesagt werden leptokurtische Verteilungen als Verteilungen definiert, die schärfer als die Normalverteilung sind.
Mesokurtic : Die Kurtosis der Verteilung entspricht der Kurtosis der Normalverteilung. Daher gilt es weder als scharf noch als schmeichelhaft.
Platykurtic : Die Verteilung ist sehr flach, das heißt, die Konzentration um den Mittelwert ist gering. Formal werden platykurtische Verteilungen als solche Verteilungen definiert, die flacher als die Normalverteilung sind.

Beachten Sie, dass die verschiedenen Kurtosis-Typen anhand der Kurtosis der Normalverteilung als Referenz definiert werden.

Kurtosis-Koeffizient

Die Formel für den Kurtosis-Koeffizienten lautet wie folgt:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Die Formel für den Kurtosis-Koeffizienten für in Häufigkeitstabellen gruppierte Daten :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Schließlich die Formel für den Kurtosis-Koeffizienten für in Intervalle gruppierte Daten :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Gold:

$g_2$

ist der Kurtosis-Koeffizient.
$N$

ist die Gesamtzahl der Daten.
$x_i$

ist der i-te Datenpunkt in der Reihe.
$\mu$

ist das arithmetische Mittel der Verteilung.
$\sigma$

ist die Standardabweichung (oder typische Abweichung) der Verteilung.
$f_i$

ist die absolute Häufigkeit des it-Datensatzes.
$c_i$

ist die Klassennote der i-ten Gruppe.

Beachten Sie, dass in allen Kurtosis-Koeffizientenformeln 3 subtrahiert wird, da es sich um den Kurtosis-Wert der Normalverteilung handelt. Daher erfolgt die Berechnung des Kurtosis-Koeffizienten unter Verwendung der Kurtosis der Normalverteilung als Referenz. Aus diesem Grund heißt es in der Statistik manchmal, dass eine übermäßige Kurtosis berechnet wird.

Nachdem der Kurtosis-Koeffizient berechnet wurde, muss er wie folgt interpretiert werden, um festzustellen, um welche Art von Kurtosis es sich handelt:

Wenn der Kurtosis-Koeffizient positiv ist, bedeutet dies, dass die Verteilung leptokurtisch ist.
Wenn der Kurtosis-Koeffizient Null ist, bedeutet dies, dass die Verteilung mesokurtisch ist.
Wenn der Kurtosis-Koeffizient negativ ist, bedeutet dies, dass die Verteilung platykurtisch ist.

Schiefe- und Kurtosis-Rechner

Geben Sie einen Datensatz in den folgenden Rechner ein, um seine Schiefe und seinen Kurtosis-Koeffizienten zu berechnen und auch zu bestimmen, um welche Art von Verteilung es sich handelt. Die Daten müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Wofür werden Asymmetrie und Kurtosis verwendet?

Abschließend werden wir sehen, wofür Schiefe und Kurtosis in der Statistik verwendet werden und wie diese beiden Arten statistischer Parameter interpretiert werden.

Schiefe und Kurtosis werden verwendet, um die Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu definieren, ohne dass diese grafisch dargestellt werden muss. Das heißt, Schiefe und Kurtosis werden berechnet, um zu bestimmen, um welche Art von Verteilung es sich handelt, ohne dass eine grafische Darstellung erforderlich ist, was normalerweise viel Zeit und Mühe erfordert.

Darüber hinaus werden Schiefe- und Kurtosis-Werte verwendet, um die Kurve einer Verteilung mit einer Normalverteilung zu vergleichen. Denn wenn sie ähnlich sind, bedeutet dies, dass die zu untersuchende Verteilung einer Normalverteilung angenähert werden kann und daher mehrere statistische Theoreme angewendet werden können.

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was sind Schiefe und Kurtosis?

Asymmetrie

Asymmetriekoeffizient

Fishers Asymmetriekoeffizient

Asymmetriekoeffizient nach Pearson

Bowleys Asymmetriekoeffizient

Abflachung

Kurtosis-Koeffizient

Schiefe- und Kurtosis-Rechner

Wofür werden Asymmetrie und Kurtosis verwendet?

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Einen Kommentar hinzufügen