So interpretieren sie z-scores: mit beispielen

In der Statistik sagt uns ein Z-Score , wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Wert vom Mittelwert hat. Wir verwenden die folgende Formel, um einen Z-Score zu berechnen:

z = (X – μ) / σ

Gold:

• X ist ein einzelner Rohdatenwert
• μ ist der Durchschnitt
• σ ist die Standardabweichung

Ein Z-Score für einen einzelnen Wert kann wie folgt interpretiert werden:

• Positiver Z-Score: Der Einzelwert liegt über dem Durchschnitt.
• Negativer Z-Score: Der Einzelwert ist niedriger als der Durchschnitt.
• Ein Z-Score von 0: Der Einzelwert entspricht dem Durchschnitt.

Je größer der Absolutwert des Z-Scores ist, desto weiter ist ein einzelner Wert vom Mittelwert entfernt.

Das folgende Beispiel zeigt, wie Z-Scores berechnet und interpretiert werden.

Beispiel: Berechnen und Interpretieren von Z-Scores

Angenommen, die Ergebnisse einer bestimmten Prüfung sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 80 und einer Standardabweichung von 4.

Frage 1: Finden Sie den Z-Score für ein Prüfungsergebnis von 87.

Wir können die folgenden Schritte verwenden, um den Z-Score zu berechnen:

• Der Durchschnitt liegt bei μ = 80
• Die Standardabweichung beträgt σ = 4
• Der individuelle Wert, der uns interessiert, ist
• Somit ist z = (X – μ) / σ = (87 – 80) /4 = 1,75 .

Dies sagt uns, dass ein Prüfungsergebnis von 87 1,75 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt.

Frage 2: Finden Sie den Z-Score für ein Prüfungsergebnis von 75.

Wir können die folgenden Schritte verwenden, um den Z-Score zu berechnen:

• Der Durchschnitt liegt bei μ = 80
• Die Standardabweichung beträgt σ = 4
• Der Einzelwert, der uns interessiert, ist X = 75
• Somit ist z = (X – μ) / σ = (75 – 80) /4 = – 1,25 .

Dies sagt uns, dass ein Testergebnis von 75 1,25 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Frage 3: Ermitteln Sie den Z-Score für ein Prüfungsergebnis von 80.

Wir können die folgenden Schritte verwenden, um den Z-Score zu berechnen:

• Der Durchschnitt liegt bei μ = 80
• Die Standardabweichung beträgt σ = 4
• Der Einzelwert, der uns interessiert, ist X = 80
• Somit ist z = (X – μ) / σ = (80 – 80) /4 = 0 .

Dies zeigt uns, dass ein Bewertungsergebnis von 80 genau dem Durchschnitt entspricht .

Warum sind Z-Scores nützlich?

Z-Scores sind nützlich, weil sie uns eine Vorstellung davon geben, wie ein einzelner Wert im Vergleich zum Rest einer Verteilung abschneidet.

Ist beispielsweise eine Punktzahl von 87 bei einer Prüfung gut? Nun, es hängt vom Mittelwert und der Standardabweichung aller Prüfungsergebnisse ab.

Wenn die Prüfungsergebnisse für die gesamte Bevölkerung normalverteilt sind und einen Mittelwert von 90 und eine Standardabweichung von 4 aufweisen, würden wir den Z-Score für 87 wie folgt berechnen:

z = (X – μ) / σ = (87 – 90) /4 = -0,75 .

Da dieser Wert negativ ist, bedeutet dies, dass ein Prüfungsergebnis von 87 tatsächlich niedriger ist als das durchschnittliche Prüfungsergebnis der Bevölkerung. Konkret liegt ein Prüfungsergebnis von 87 0,75 Standardabweichungen unter dem Mittelwert .

Kurz gesagt: Z-Scores geben uns eine Vorstellung davon, wie einzelne Werte im Vergleich zum Durchschnitt abschneiden.

So berechnen Sie Z-Scores in der Praxis

Die folgenden Tutorials zeigen Schritt-für-Schritt-Beispiele zur Berechnung von Z-Scores in verschiedenen Statistiksoftware:

So berechnen Sie Z-Scores in Excel
So berechnen Sie Z-Scores in R
So berechnen Sie Z-Scores in Python
So berechnen Sie Z-Scores in SPSS