Z-test

Von Dr. Benjamin Anderson August 3, 2023 Statistiken Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was der Z-Test in der Statistik ist und wofür er verwendet wird. Sie erfahren daher, wie ein Z-Test durchgeführt wird, welche verschiedenen Z-Testformeln es gibt und schließlich den Unterschied zwischen dem Z-Test und anderen statistischen Tests.

Was ist ein Z-Test?

In der Statistik ist der Z-Test ein Hypothesentest, der verwendet wird, wenn die Teststatistik einer Normalverteilung folgt. Die aus einem Z-Test erhaltene Statistik wird Z-Statistik oder Z-Wert genannt.

Die Z-Testformel ist immer dieselbe. Genauer gesagt ist die Z-Teststatistik gleich der Differenz zwischen dem berechneten Stichprobenwert und dem vorgeschlagenen Populationswert dividiert durch die Standardabweichung des Populationsparameters.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Der Z-Test wird verwendet, um die Nullhypothese von Hypothesentests abzulehnen oder zu akzeptieren, bei denen die Teststatistik einer Normalverteilung folgt.

Beispielsweise wird der Z-Test verwendet, um die Hypothese des Mittelwerts zu testen, wenn die Varianz der Grundgesamtheit bekannt ist, um eine Hypothese über den Wert des Mittelwerts der Grundgesamtheit abzulehnen oder zu akzeptieren.

➤ Siehe: Was ist Hypothesentest?

Arten von Z-Tests

Je nachdem, für welchen Parameter der Hypothesentest durchgeführt wird, können verschiedene Arten von Z-Tests unterschieden werden:

Z-Test für Mittelwert.
Z-Test für Proportionen.
Z-Test für Mittelwertunterschiede.
Z-Test auf Unterschiede in den Proportionen.

Unten sehen Sie die Formel für jede Art von Z-Test.

Z-Test für Mittelwert

Die Z-Testformel für den Mittelwert lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Gold:

$Z$

ist die Z-Teststatistik für den Mittelwert.
$\overline{x}$

ist das Beispielmittel.
$\mu$

ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.
$\sigma$

ist die Populationsstandardabweichung.
$n$

ist die Stichprobengröße.

Sobald die Hypothesenteststatistik für den Mittelwert berechnet ist, sollte das Ergebnis so interpretiert werden, dass es die Nullhypothese zurückweist oder ablehnt:

Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z _α/2 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z _α ist.
Wenn der Hypothesentest für den Mittelwert mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z _α ist.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Die kritischen Werte des Z-Tests werden aus der Standardnormalverteilungstabelle ermittelt.

➤ Siehe: Hypothesentest für den Mittelwert

Z-Test für Proportionen

Die Z-Testformel für Proportionen lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Gold:

$Z$

ist die Z-Teststatistik für Proportionen.
$\widehat{p}$

ist der Stichprobenanteil.
$p$

ist der Wert des vorgeschlagenen Anteils.
$n$

ist die Stichprobengröße.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ist die Standardabweichung des Anteils.

Beachten Sie, dass es nicht ausreicht, die Z-Teststatistik für den Anteil zu berechnen, sondern dass Sie das erhaltene Ergebnis anschließend interpretieren müssen:

Wenn der Hypothesentest für den Anteil zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik größer als der kritische Wert Z _α/2 ist.
Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem rechten Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik größer als der kritische Wert Z _α ist.
Wenn der Hypothesentest für den Anteil mit dem linken Ende übereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z _α ist.

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Siehe: Hypothesentest zum Verhältnis

Z-Test für Mittelwertunterschiede

Die Formel zur Berechnung der Z-Teststatistik für die Mittelwertdifferenz lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Gold:

$Z$

ist die Z-Teststatistik für die Differenz zweier Mittelwerte mit bekannter Varianz, die einer Standardnormalverteilung folgt.
$\mu_1$

ist der Mittelwert der Bevölkerung 1.
$\mu_2$

ist der Mittelwert der Bevölkerung 2.
$\overline{x_1}$

ist der Mittelwert von Stichprobe 1.
$\overline{x_2}$

ist der Mittelwert von Stichprobe 2.
$\sigma_1$

ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit 1.
$\sigma_2$

ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit 2.
$n_1$

ist Stichprobengröße 1.
$n_2$

ist Stichprobengröße 2.

➤ Siehe: Hypothesentest für die Mittelwertdifferenz

Z-Test auf Unterschiede in den Proportionen

Die Formel zur Berechnung der Z-Teststatistik für die Differenz der Anteile zweier Populationen lautet:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Gold:

$Z$

ist die Z-Teststatistik für den Unterschied in den Proportionen.
$p_1$

ist der Bevölkerungsanteil 1.
$p_2$

ist der Bevölkerungsanteil 2.
$\widehat{p_1}$

ist der Anteil von Probe 1.
$\widehat{p_2}$

ist Stichprobenanteil 2.
$n_1$

ist Stichprobengröße 1.
$n_2$

ist Stichprobengröße 2.
$p_0$

ist der kombinierte Anteil der beiden Stichproben.

Der kombinierte Anteil der beiden Stichproben wird wie folgt berechnet:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Gold

$x_i$

ist die Anzahl der Ergebnisse in der Stichprobe iy

$n_i$

ist die Stichprobengröße i.

➤ Siehe: Hypothesentest auf Unterschiede in den Proportionen

So führen Sie einen Z-Test durch

Nachdem wir nun die verschiedenen Z-Testformeln kennengelernt haben, sehen wir uns nun an, wie man einen Z-Test durchführt.

Die Schritte zur Durchführung eines Z-Tests sind wie folgt.

Definieren Sie die Nullhypothese und die Alternativhypothese des Hypothesentests.
Legen Sie das Alpha (α)-Signifikanzniveau des Hypothesentests fest.
Stellen Sie sicher, dass die Anforderungen für die Verwendung des Z-Tests erfüllt sind.
Wenden Sie die entsprechende Z-Testformel an und berechnen Sie die Teststatistik.
Interpretieren Sie das Z-Testergebnis, indem Sie es mit dem kritischen Testwert vergleichen.

Z-Test und T-Test

Abschließend werden wir sehen, was der Unterschied zwischen dem Z-Test und dem T-Test ist, da es sich sicherlich um die beiden Arten von Hypothesentests handelt, die in der Statistik am häufigsten verwendet werden.

Der T-Test , auch Student-T-Test genannt, ist ein Hypothesentest, der verwendet wird, wenn die untersuchte Grundgesamtheit einer Normalverteilung folgt, die Stichprobengröße jedoch zu klein ist, um die Grundgesamtheitsvarianz zu ermitteln.

Daher besteht der Hauptunterschied zwischen der Verwendung des Z-Tests und des t-Tests darin, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. Wenn die Populationsvarianz bekannt ist, wird der Z-Test verwendet, während bei unbekannter Populationsvarianz der t-Test verwendet wird.

➤ Siehe: t-Test (Statistik)

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

Was ist ein Z-Test?

Arten von Z-Tests

Z-Test für Mittelwert

Z-Test für Proportionen

Z-Test für Mittelwertunterschiede

Z-Test auf Unterschiede in den Proportionen

So führen Sie einen Z-Test durch

Z-Test und T-Test

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