Zwei z-testbeispiele: definition, formel und beispiel

Ein Z-Test mit zwei Stichproben wird verwendet, um zu testen, ob die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten gleich sind.

Bei diesem Test wird davon ausgegangen, dass die Standardabweichung jeder Population bekannt ist.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Formel zur Durchführung eines Z-Tests bei zwei Stichproben.
• Die Annahmen eines Z-Tests bei zwei Stichproben.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines Z-Tests bei zwei Stichproben.

Lass uns gehen!

Zwei Z-Testproben: Formel

Ein Z-Test bei zwei Stichproben verwendet die folgenden Null- und Alternativhypothesen:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind nicht gleich)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Z-Test-Statistik zu berechnen:

z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )

Gold:

• x ₁ , x ₂ : Stichprobenmittelwerte
• σ ₁ , σ ₂ : Populationsstandardabweichungen
• n ₁ , n ₂ : Stichprobengrößen

Wenn der p-Wert, der der Z-Test-Statistik entspricht, kleiner ist als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau (übliche Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen .

Zwei Beispiele für Z-Tests: Annahmen

Damit die Ergebnisse eines Z-Tests bei zwei Stichproben gültig sind, müssen die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die Daten für jede Population sind kontinuierlich (und nicht diskret).
• Bei jeder Stichprobe handelt es sich um eine einfache Zufallsstichprobe aus der interessierenden Grundgesamtheit.
• Die Daten für jede Population sind annähernd normalverteilt .
• Populationsstandardabweichungen sind bekannt.

Z-Test bei zwei Stichproben : Beispiel

Gehen Sie davon aus, dass die IQ-Werte von Personen aus zwei verschiedenen Städten normalverteilt sind und jeweils eine Bevölkerungsstandardabweichung von 15 aufweisen.

Ein Wissenschaftler möchte wissen, ob der durchschnittliche IQ-Wert von Personen in Stadt A und Stadt B unterschiedlich ist. Deshalb wählt sie eine einfache Zufallsstichprobe von 20 Personen aus jeder Stadt aus und zeichnet deren IQ-Werte auf.

Um dies zu testen, führt sie einen Z-Test mit zwei Stichproben auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 durch und verwendet dabei die folgenden Schritte:

Schritt 1: Sammeln Sie Beispieldaten.

Angenommen, sie sammelt zwei einfache Zufallsstichproben mit den folgenden Informationen:

• x ₁ (durchschnittlicher IQ von Stichprobe 1) = 100,65
• n ₁ (Probe 1 Größe) = 20
• x ₂ (durchschnittlicher IQ von Stichprobe 2) = 108,8
• n ₂ (Stichprobengröße 2) = 20

Schritt 2: Annahmen definieren.

Sie wird die beiden Z-Test-Beispiele mit den folgenden Annahmen durchführen:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind nicht gleich)

Schritt 3: Berechnen Sie die Z-Test-Statistik.

Die Z-Teststatistik wird wie folgt berechnet:

• z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )
• z = (100,65-108,8) / √ 15 ² /20 + 15 ² /20)
• z = -1,718

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Z-Test-Statistik.

Laut dem Z-Score-zu-P-Wert-Rechner beträgt der mit z = -1,718 verbundene zweiseitige p-Wert 0,0858 .

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da der p-Wert (0,0858) nicht kleiner als das Signifikanzniveau (0,05) ist, wird der Wissenschaftler die Nullhypothese nicht ablehnen können.

Es gibt nicht genügend Beweise dafür, dass der durchschnittliche IQ-Wert zwischen den beiden Bevölkerungsgruppen unterschiedlich ist.

Hinweis: Sie können diesen gesamten Z-Test bei zwei Stichproben auch mit dem Z-Test-Rechner bei zwei Stichproben durchführen.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie einen Z-Test bei zwei Stichproben mit unterschiedlicher Statistiksoftware durchführen:

So führen Sie Z-Tests in Excel durch
So führen Sie Z-Tests in R durch
So führen Sie Z-Tests in Python durch