Zwei-proportionen-z-test: definition, formel und beispiel

Ein Zwei-Proportionen-Z-Test wird verwendet, um einen Unterschied zwischen zwei Bevölkerungsanteilen zu testen.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung eines Zwei-Proportionen-Z-Tests.
• Die Formel zur Durchführung eines Zwei-Proportionen-Z-Tests.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines Zwei-Proportionen-Z-Tests.

Zwei-Proportionen-Z-Test: Motivation

Angenommen, wir möchten wissen, ob es einen Unterschied zwischen dem Anteil der Einwohner, die ein bestimmtes Gesetz in Kreis A unterstützen, und dem Anteil, der das Gesetz in Kreis B unterstützt, gibt.

Da es in jedem Landkreis Tausende von Einwohnern gibt, wäre es zu zeitaufwändig und teuer, jeden einzelnen Einwohner in jedem Landkreis zu befragen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von Einwohnern aus jedem Kreis ziehen und den Anteil der Befürworter des Gesetzes in jeder Stichprobe verwenden, um den tatsächlichen Unterschied in den Anteilen zwischen den beiden Kreisen abzuschätzen:

Es ist jedoch nahezu sicher, dass der Anteil der Einwohner, die das Gesetz befürworten, zwischen den beiden Stichproben zumindest etwas unterschiedlich sein wird. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist . Glücklicherweise können wir diese Frage mit einem Zwei-Proportionen-Z-Test beantworten.

Zwei-Proportionen-Z-Test: Formel

Ein Z-Test mit zwei Anteilen verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind gleich)

Die Alternativhypothese kann bilateral, links oder rechts sein:

• H ₁ (zweiseitig): π ₁ ≠ π ₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind nicht gleich)
• H ₁ (links): π ₁ < π ₂ (der Anteil der Bevölkerung 1 ist kleiner als der Anteil der Bevölkerung 2)
• H ₁ (rechts): π ₁ > π ₂ (der Anteil der Bevölkerung 1 ist größer als der Anteil der Bevölkerung 2)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Z-Teststatistik zu berechnen:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

Dabei sind p ₁ und p ₂ die Stichprobenanteile, n ₁ und n ₂ die Stichprobengrößen und p der gesamte gepoolte Anteil, der wie folgt berechnet wird:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ )

Wenn der p-Wert, der der Z-Teststatistik entspricht, kleiner als das gewählte Signifikanzniveau ist (gängige Optionen sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen.

Z-Test mit zwei Proportionen : Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob es einen Unterschied zwischen dem Anteil der Einwohner, die ein bestimmtes Gesetz in Kreis A unterstützen, und dem Anteil, der das Gesetz in Kreis B unterstützt, gibt.

Um dies zu testen, führen wir einen Zwei-Proportionen-Z-Test auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:

Schritt 1: Sammeln Sie Beispieldaten.

Angenommen, wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Einwohnern aus jedem Landkreis und erhalten die folgenden Informationen:

Probe 1:

• Stichprobengröße n ₁ = 50
• Anteil der Befürworter des Gesetzes p ₁ = 0,67

Probe 2:

• Stichprobengröße n ₂ = 50
• Anteil der Befürworter des Gesetzes p ₂ = 0,57

Schritt 2: Annahmen definieren.

Wir werden den Zwei-Proportionen-Z-Test mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind gleich)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind nicht gleich)

Schritt 3: Berechnen Sie die Z- Teststatistik.

Zunächst berechnen wir den gesamten Poolanteil:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ +n ₂ ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Als nächstes berechnen wir die Z- Teststatistik:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (.67-.57) / √ .62(1-.62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Z- Teststatistik.

Laut dem P-Wert-Z-Score-Rechner beträgt der mit z = 1,03 verbundene zweiseitige p-Wert 0,30301 .

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert nicht niedriger als unser Signifikanzniveau α = 0,05 ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Wir haben keine ausreichenden Beweise dafür, dass der Anteil der Einwohner, die dieses Gesetz befürworten, in den beiden Landkreisen unterschiedlich ist.

Hinweis: Sie können diesen gesamten Zwei-Proportionen-Z-Test auch einfach mit dem Rechner für den Zwei-Proportionen-Z-Test durchführen.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie mit verschiedener Statistiksoftware einen Zwei-Proportionen-Z-Test durchführen:

So führen Sie einen Zwei-Proportionen-Z-Test in Excel durch
So führen Sie einen Zwei-Proportionen-Z-Test in SAS durch
Zwei-Proportionen-Z-Test-Rechner