पश्च संभाव्यता: परिभाषा + उदाहरण

पश्चवर्ती संभाव्यता अद्यतन संभाव्यता है कि नई जानकारी को ध्यान में रखने के बाद कोई घटना घटित होगी।

उदाहरण के लिए, हमें इस संभावना में रुचि हो सकती है कि एक घटना “ए” एक घटना “बी” के लिए लेखांकन के बाद घटित होगी जो अभी घटित हुई है। हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके इस पश्च संभाव्यता की गणना कर सकते हैं:

पी(ए|बी) = पी(ए) * पी(बी|ए) / पी(बी)

सोना:

P(A|B) = घटना A के घटित होने की प्रायिकता, बशर्ते कि घटना B घटित हो चुकी हो। ध्यान दें कि “| » का अर्थ है “दिया”।

पी(ए) = घटना ए के घटित होने की प्रायिकता।

पी(बी) = घटना बी के घटित होने की प्रायिकता।

P(B|A) = घटना B के घटित होने की प्रायिकता, बशर्ते कि घटना A घटित हो चुकी हो।

उदाहरण: पश्च संभाव्यता की गणना

एक जंगल 20% ओक और 80% मेपल से बना है। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि 90% ओक के पेड़ स्वस्थ हैं जबकि केवल 50% मेपल स्वस्थ हैं। मान लीजिए, दूर से आप बता सकते हैं कि कोई विशेष पेड़ स्वस्थ है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पेड़ ओक है?

याद रखें कि घटना A के घटित होने की प्रायिकता यह है कि घटना B घटित हुई है:

पी(ए|बी) = पी(ए) * पी(बी|ए) / पी(बी)

इस उदाहरण में, यह देखते हुए कि पेड़ स्वस्थ है, पेड़ के ओक होने की प्रायिकता है:

पी(ओक|स्वस्थ) = पी(ओक) * पी(स्वस्थ|ओक) / पी(स्वस्थ)

पी(ओक) = दिए गए पेड़ के ओक होने की संभावना 0.2 है क्योंकि जंगल के सभी पेड़ों में से 20% ओक हैं।

पी(स्वस्थ) = दिए गए पेड़ के स्वस्थ होने की संभावना की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: (0.20)*(0.9) + (0.8)*(0.5) = 0.58 ।

पी(स्वस्थ|ओक) = एक पेड़ के स्वस्थ होने की संभावना, यह देखते हुए कि वह ओक है, 0.9 है, क्योंकि हमें बताया गया है कि 90% ओक स्वस्थ हैं।

इन तीन संख्याओं का उपयोग करके, हम यह संभावना पा सकते हैं कि पेड़ एक ओक है, यह देखते हुए कि यह स्वस्थ है:

पी(ओक|स्वस्थ) = पी(ओक) * पी(स्वस्थ|ओक) / पी(स्वस्थ) = (0.2) * (0.9) / (0.58) = 0.3103 ।

इस संभावना की सहज समझ के लिए, मान लें कि निम्नलिखित ग्रिड 100 पेड़ों के इस जंगल का प्रतिनिधित्व करता है। ठीक 20 पेड़ ओक के हैं और उनमें से 18 स्वस्थ हैं। अन्य 80 पेड़ मेपल के हैं और उनमें से 40 स्वस्थ हैं।

(ओ = ओक, एम = मेपल, हरा = स्वस्थ, लाल = अस्वस्थ)

सभी पेड़ों में से, ठीक 58 पेड़ स्वस्थ हैं और उनमें से 18 स्वस्थ पेड़ ओक हैं। इसलिए, यदि हम जानते हैं कि हमने एक स्वस्थ पेड़ चुना है तो उसके ओक होने की संभावना 18/58 = 0.3103 है।

आपको पश्च संभाव्यता का उपयोग कब करना चाहिए?

पोस्टीरियर संभाव्यता का उपयोग वित्त, चिकित्सा, अर्थशास्त्र और मौसम पूर्वानुमान सहित विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

पिछली संभावनाओं का उपयोग करने का उद्देश्य नई जानकारी प्राप्त करने के बाद किसी चीज़ के बारे में हमारी पूर्व धारणा को अद्यतन करना है।

पिछले उदाहरण से याद करें कि हम जानते थे कि जंगल में दिए गए पेड़ के ओक होने की संभावना 20% थी। इसे पूर्व संभाव्यता कहा जाता है। यदि हमने यादृच्छिक रूप से एक पेड़ चुना, तो हमें पता था कि इसके ओक होने की संभावना 0.20 थी।

हालाँकि, एक बार जब हमें नई जानकारी मिली कि हमने जो पेड़ चुना है वह स्वस्थ है, तो हम इस नई जानकारी का उपयोग यह निर्धारित करने में सक्षम थे कि इस पेड़ के ओक होने की पिछली संभावना 0.3103 थी।

वास्तविक दुनिया में, लोग लगातार नई जानकारी खोज रहे हैं। यह नई जानकारी हमें अपनी पिछली मान्यताओं को अद्यतन करने में मदद करती है। सांख्यिकीय शब्दों में, इसका मतलब है कि हम घटित होने वाली घटनाओं की पिछली संभावनाओं को उत्पन्न करने में सक्षम हैं, जो हमें दुनिया की अधिक सटीक समझ हासिल करने में मदद करती है और हमें भविष्य की घटनाओं के बारे में अधिक सटीक भविष्यवाणियां करने की अनुमति देती है।