ए और बी की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें: उदाहरणों के साथ

दो घटनाओं, ए और बी को देखते हुए, “ए और बी की संभावना ढूंढना” का अर्थ है कि घटना ए और घटना बी दोनों के घटित होने की संभावना का पता लगाना।

हम आम तौर पर इस संभावना को दो तरह से लिखते हैं:

• पी (ए और बी) – लिखित रूप
• पी(ए∩बी) – फॉर्म नोटेशन

हम इस संभाव्यता की गणना कैसे करते हैं यह इस पर निर्भर करता है कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या आश्रित हैं।

यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A∩B) की गणना करने के लिए हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं वह सरल है:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

यदि A और B आश्रित हैं, तो P(A∩B) की गणना के लिए हम जिस सूत्र का उपयोग करते हैं वह है:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

ध्यान दें कि P(B|A) घटना B के घटित होने की सशर्त संभावना है   घटना A घटित होती है।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि इन सूत्रों को व्यवहार में कैसे उपयोग किया जाए।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A∩B) के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि P(A∩B) की गणना कैसे करें जब A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

उदाहरण 1: आपकी पसंदीदा बेसबॉल टीम के विश्व सीरीज जीतने की संभावना 1/30 है और आपकी पसंदीदा फुटबॉल टीम के सुपर बाउल जीतने की संभावना 1/32 है। इसकी क्या संभावना है कि आपकी दो पसंदीदा टीमें अपनी-अपनी चैंपियनशिप जीतेंगी?

समाधान: इस उदाहरण में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना दूसरे से स्वतंत्र है। तो दोनों के घटित होने की संभावना की गणना इस प्रकार की जाती है:

पी(ए∩बी) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104।

उदाहरण 2: आप एक पासा घुमाते हैं और एक ही समय में एक सिक्का उछालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि पासा 4 पर गिरे और सिक्का पट पर गिरे?

समाधान: इस उदाहरण में, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना दूसरे से स्वतंत्र है। तो दोनों के घटित होने की संभावना की गणना इस प्रकार की जाती है:

पी(ए∩बी) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0.083333।

आश्रित घटनाओं के लिए P(A∩B) के उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि जब A और B आश्रित घटनाएँ हैं तो P(A∩B) की गणना कैसे करें।

उदाहरण 1: एक कलश में 4 लाल गेंदें और 4 हरी गेंदें हैं। आप कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद चुनते हैं। फिर, प्रतिस्थापन के बिना, आप दूसरी गेंद का चयन करते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आप हर बार लाल गेंद चुनेंगे?

समाधान: इस उदाहरण में, आपके द्वारा पहली बार चुनी गई गेंद का रंग दूसरी बार लाल गेंद चुनने की संभावना को प्रभावित करता है। इसलिए दोनों घटनाएँ निर्भर हैं।

आइए हम घटना ए को पहली बार लाल गेंद चुनने की संभावना के रूप में परिभाषित करें। यह प्रायिकता P(A) = 4/8 है। इसके बाद, हमें फिर से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी, यह देखते हुए कि पहली गेंद लाल थी। इस मामले में, चुनने के लिए केवल 3 लाल गेंदें बची हैं और कलश में कुल मिलाकर केवल 7 गेंदें हैं। इस प्रकार, P(B|A) 3/7 है।

इसलिए संभावना है कि हम हर बार एक लाल गेंद का चयन करेंगे, इसकी गणना इस प्रकार की जाएगी:

पी(ए∩बी) = पी(ए) * पी(बी|ए) = (4/8) * (3/7) = 0.214।

उदाहरण 2: एक निश्चित कक्षा में 15 लड़के और 12 लड़कियाँ हैं। मान लीजिए कि हम प्रत्येक छात्र के नाम एक बैग में रखते हैं। हम बेतरतीब ढंग से बैग से एक नाम चुनते हैं। फिर, प्रतिस्थापन के बिना, हम दूसरा नाम चुनते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों नाम लड़के हैं?

समाधान: इस उदाहरण में, जो पहला नाम हम पहली बार चुनते हैं, वह दूसरी ड्राइंग में लड़के का पहला नाम चुनने की संभावना को प्रभावित करता है। इसलिए दोनों घटनाएँ निर्भर हैं।

आइए हम घटना A को पहली बार किसी लड़के के चयन की संभावना के रूप में परिभाषित करें। यह प्रायिकता P(A) = 15/27 है। इसके बाद, हमें फिर से एक लड़के को चुनने की प्रायिकता ढूंढनी होगी, यह देखते हुए कि पहला नाम एक लड़का था। इस मामले में, चुनने के लिए केवल 14 लड़के बचे हैं और बैग में कुल 26 नाम हैं। इस प्रकार, P(B|A) 14/26 है।

इसलिए इस बात की प्रायिकता कि हम हर बार एक लड़के का नाम चुनेंगे, की गणना इस प्रकार की जाएगी:

पी(ए∩बी) = पी(ए) * पी(बी|ए) = (15/27) * (14/26) = 0.299।