कुल संभाव्यता का नियम: परिभाषा और उदाहरण

संभाव्यता सिद्धांत में, कुल संभाव्यता का नियम किसी घटना A की संभाव्यता ज्ञात करने का एक उपयोगी तरीका है, जब हम सीधे तौर पर A की संभाव्यता नहीं जानते हैं, लेकिन हम जानते हैं कि घटनाएँ B ₁ , B ₂ , B ₃ … एक विभाजन बनाती हैं। नमूना स्थान का एस.

यह कानून निम्नलिखित निर्दिष्ट करता है:

कुल संभाव्यता का नियम

यदि B ₁ , B ₂ , B ₃ … नमूना स्थान S का एक विभाजन बनाते हैं, तो हम घटना A की संभावना की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

पी( ए ) = Σपी( ए | बी _आई )*पी( बी _आई )

इस कानून को समझने का सबसे आसान तरीका एक सरल उदाहरण लेना है।

मान लीजिए कि एक बॉक्स में दो बैग हैं जिनमें निम्नलिखित मार्बल्स हैं:

• बैग 1: 7 लाल मार्बल्स और 3 हरे मार्बल्स
• बैग 2: 2 लाल मार्बल्स और 8 हरे मार्बल्स

यदि हम बेतरतीब ढंग से एक बैग का चयन करते हैं, फिर बेतरतीब ढंग से उस बैग से एक संगमरमर का चयन करते हैं, तो इसकी क्या संभावना है कि यह हरा संगमरमर है?

इस उदाहरण में, मान लीजिए P( G ) = हरा संगमरमर चुनने की संभावना। यह वह संभावना है जिसमें हमारी रुचि है, लेकिन हम इसकी सीधे गणना नहीं कर सकते।

इसके बजाय, हमें G की सशर्त संभाव्यता का उपयोग करने की आवश्यकता है, कुछ घटना B को देखते हुए जहां B _i नमूना स्थान S का एक विभाजन बनाता है। इस उदाहरण में, हमारे पास निम्नलिखित सशर्त संभावनाएं हैं:

• पी(जी| _बी1 ) = 3/10 = 0.3
• पी(जी| _बी2 ) = 8/10 = 0.8

इसलिए, कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके, हम हरे संगमरमर को चुनने की संभावना की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

• पी(जी) = Σपी(जी|बी _आई )*पी(बी _आई )
• पी(जी) = पी(जी|बी ₁ )*पी(बी ₁ ) + पी(जी|बी ₂ )*पी(बी ₂ )
• पी(जी) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
• पी(जी) = 0.55

यदि हम बेतरतीब ढंग से किसी एक बैग का चयन करते हैं, और फिर बेतरतीब ढंग से उस बैग से एक मार्बल चुनते हैं, तो संभावना है कि हम हरा मार्बल चुनते हैं, 0.55 है।

कुल संभाव्यता के नियम के बारे में अपनी समझ को मजबूत करने के लिए निम्नलिखित दो उदाहरण पढ़ें।

उदाहरण 1: विजेट

कंपनी A एक ऑटोमोबाइल वर्कशॉप को 80% विजेट की आपूर्ति करती है और उसके केवल 1% विजेट ख़राब निकलते हैं। कंपनी B शेष 20% विजेट ऑटो रिपेयर शॉप को सप्लाई करती है और उसके 3% विजेट ख़राब निकलते हैं।

यदि कोई ग्राहक कार मरम्मत की दुकान से यादृच्छिक रूप से एक विजेट खरीदता है, तो इसकी क्या संभावना है कि वह दोषपूर्ण है?

यदि हम P( D ) = एक विजेट के ख़राब होने की संभावना और P(B _i ) को यह संभावना देते हैं कि विजेट किसी एक कंपनी से आता है, तो हम एक दोषपूर्ण विजेट खरीदने की संभावना की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

• पी(डी) = Σपी(डी|बी _आई )*पी(बी _आई )
• पी(डी) = पी(डी|बी ₁ )*पी(बी ₁ ) + पी(डी|बी ₂ )*पी(बी ₂ )
• पी(डी) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
• पी(डी) = 0.014

यदि हम इस ऑटो स्टोर से यादृच्छिक रूप से एक विजेट खरीदते हैं, तो इसके दोषपूर्ण होने की संभावना 0.014 है।

उदाहरण 2: वन

वन A एक निश्चित पार्क के कुल क्षेत्रफल का 50% भाग घेरता है, और इस जंगल में 20% पौधे जहरीले हैं। वन बी कुल क्षेत्रफल का 30% भाग घेरता है और इसमें मौजूद 40% पौधे जहरीले हैं। शेष 20% क्षेत्र पर वन सी का कब्जा है और वहां पाए जाने वाले 70% पौधे जहरीले हैं।

यदि हम अचानक इस पार्क में चले जाएं और जमीन से एक पौधा उठा लें, तो इसकी कितनी संभावना है कि वह जहरीला है?

यदि हम P( P ) = संभावना है कि पौधा जहरीला है, और P(B _i ) संभावना है कि हम तीन जंगलों में से एक में प्रवेश कर चुके हैं, तो हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि यादृच्छिक रूप से चुना गया पौधा जहरीला है जैसे:

• पी(पी) = Σपी(पी|बी _आई )*पी(बी _आई )
• पी(पी) = पी(पी|बी ₁ )*पी(बी ₁ ) + पी(पी|बी ₂ )*पी(बी ₂ ) + पी(पी|बी ₃ )*पी(बी ₃ )
• पी(पी) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
• पी(पी) = 0.36

यदि हम जमीन से बेतरतीब ढंग से एक पौधा चुनते हैं, तो उसके विषैले होने की संभावना 0.36 है।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल संभाव्यता विषयों पर अतिरिक्त जानकारी प्रदान करते हैं:

संभाव्यता वितरण का माध्य कैसे ज्ञात करें
संभाव्यता वितरण का मानक विचलन कैसे ज्ञात करें
संभाव्यता वितरण कैलकुलेटर