स्वतंत्र घटनाएँ (या स्वतंत्र घटनाएँ)

इस लेख में हम बताते हैं कि दो स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं, जिन्हें स्वतंत्र घटनाएँ भी कहा जाता है। आपको स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण भी मिलेंगे और इस प्रकार की घटनाओं की संभावना की गणना कैसे की जाती है। अंततः, आप देखेंगे कि स्वतंत्र घटनाओं और आश्रित घटनाओं के बीच क्या अंतर है।

स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं?

स्वतंत्र घटनाएँ एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं जिनके घटित होने की संभावनाएँ एक दूसरे पर निर्भर नहीं होती हैं। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि घटना A के घटित होने की संभावना घटना B के घटित होने पर निर्भर नहीं करती है और इसके विपरीत।

स्वतंत्र घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ भी कहा जाता है।

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण

स्वतंत्र घटनाओं (या स्वतंत्र घटनाओं) की परिभाषा पर विचार करते हुए, अब हम उनके अर्थ को बेहतर ढंग से समझने के लिए इस प्रकार की घटनाओं के कई उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण के लिए, जब आप एक सिक्के को दो बार उछालते हैं, तो घटनाएँ “पहली उछाल पर हेड” और “दूसरी टॉस पर हेड” स्वतंत्र होती हैं, क्योंकि दूसरी टॉस पर हेड या टेल आना पहली टॉस के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। . .

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण किसी डेक से दो (या अधिक) बार यादृच्छिक रूप से निकाले गए कार्ड में भी पाए जा सकते हैं। जो भी कार्ड निकाला जाता है, यदि हम उसे वापस डेक में रख देते हैं, तो इससे दूसरे ड्रा के दौरान इस या उस कार्ड को निकालने की संभावनाओं पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

संक्षेप में, स्वतंत्र घटनाएँ पिछली घटनाओं से प्रभावित नहीं होती हैं , क्योंकि उनके घटित होने की संभावना एक दूसरे से स्वतंत्र होती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावना

दो स्वतंत्र घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावनाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

एक उदाहरण के रूप में, हम स्वतंत्र घटनाओं “पासा फेंकते समय संख्या 4 लुढ़कना” और “सिक्का फेंकते समय चित आना” की घटित होने की संभावना की गणना करेंगे। गणना करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक घटना की संभावना अलग से निर्धारित करनी होगी और फिर उन्हें गुणा करना होगा।

जब आप एक पासा उछालते हैं, तो छह संभावित परिणाम होते हैं, इसलिए जब आप एक पासा उछालते हैं तो संख्या 4 लुढ़कने की संभावना है:

दूसरी ओर, सिक्का उछालते समय, दो संभावित व्यक्तिगत घटनाएँ होती हैं: चित या पट। तो, सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता है:

चूँकि दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए दोनों घटनाओं के घटित होने की संभावना की गणना प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को गुणा करके की जाती है:

स्वतंत्र घटनाएँ और आश्रित घटनाएँ

स्वतंत्र घटनाओं और आश्रित घटनाओं के बीच का अंतर घटना की संभावना की निर्भरता है। दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक घटना के घटित होने की संभावना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है। हालाँकि, दो घटनाएँ तब निर्भर होती हैं जब एक घटना की संभावना इस पर निर्भर करती है कि दूसरी घटना घटित होती है या नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक बैग में पाँच नीली गेंदें और तीन नारंगी गेंदें रखते हैं, तो घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र होंगी या नहीं, यह इस बात पर निर्भर करेगा कि जब हम एक गेंद निकालते हैं तो हम उसे वापस बैग में रखते हैं या नहीं।

यदि हम एक नीली गेंद निकालते हैं और उसे वापस बैग में रख देते हैं, तो दोबारा नीली गेंद निकालने की संभावना पिछले परिणाम से प्रभावित नहीं होती है और इसलिए, वे दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

इसके विपरीत, यदि हम एक नीली गेंद निकालते हैं लेकिन उसे वापस बैग में नहीं रखते हैं, तो नीली गेंद बरामद होने की संभावना कम हो जाती है क्योंकि बैग में अब कम नीली गेंदें हैं। इस मामले में, इसलिए दो आश्रित घटनाएँ हैं।

संक्षेप में, स्वतंत्र घटनाएँ और आश्रित घटनाएँ दो अलग-अलग अवधारणाएँ हैं जिन्हें घटित होने की संभावना की गणना करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए।