पियर्सन अवशेष क्या हैं? (परिभाषा & #038; उदाहरण)

आकस्मिक तालिका में प्रेक्षित सेल संख्या और अपेक्षित सेल संख्या के बीच अंतर का विश्लेषण करने के लिए पियर्सन अवशेषों का उपयोग स्वतंत्रता के ची-स्क्वायर परीक्षण में किया जाता है।

पियर्सन अवशिष्ट की गणना का सूत्र है:

आर _आईजे = (ओ _आईजे – ई _आईजे ) / √ ई _आईजे

सोना:

• आर _आईजे : ^{आईवें} कॉलम और ^{जेवीं} पंक्ति के सेल के लिए पियर्सन अवशेष
• O _ij : i ^वें कॉलम और j ^वें पंक्ति के सेल के लिए मनाया गया मान
• ई _आईजे : ^{आईवें} कॉलम और ^{जेवीं} पंक्ति के सेल के लिए अपेक्षित मान

एक समान माप मानकीकृत (समायोजित) पियर्सन अवशिष्ट है, जिसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

आर _आईजे = (ओ _आईजे – ई _आईजे ) / √ ई _आईजे (1-एन _आई+ )(1-एन _+जे )

सोना:

• आर _आईजे : ^{आईवें} कॉलम और ^{जेवीं} पंक्ति के सेल के लिए पियर्सन अवशेष
• O _ij : i ^वें कॉलम और j ^वें पंक्ति के सेल के लिए मनाया गया मान
• ई _आईजे : ^{आईवें} कॉलम और ^{जेवीं} पंक्ति के सेल के लिए अपेक्षित मान
• p _i+ : पंक्ति के कुल योग को कुल योग से विभाजित किया जाता है
• p _{+ j} : स्तंभ कुल को कुल योग से विभाजित किया जाता है

मानकीकृत पियर्सन अवशेषों को आम तौर पर 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। कुछ सीमाओं (जैसे 2 या 3) से ऊपर पूर्ण मूल्य वाला कोई भी मानकीकृत पियर्सन अवशेष फिट की कमी को इंगित करता है।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाता है कि व्यवहार में पियर्सन अवशेषों की गणना कैसे करें।

उदाहरण: पियर्सन अवशेषों की गणना

मान लीजिए कि शोधकर्ता यह निर्धारित करने के लिए स्वतंत्रता के ची-स्क्वायर परीक्षण का उपयोग करना चाहते हैं कि लिंग किसी राजनीतिक दल की प्राथमिकता से जुड़ा है या नहीं।

उन्होंने 500 मतदाताओं का एक सरल यादृच्छिक नमूना लेने और उनसे उनकी राजनीतिक पार्टी की प्राथमिकता के बारे में पूछने का निर्णय लिया।

निम्नलिखित आकस्मिकता तालिका सर्वेक्षण के परिणाम प्रस्तुत करती है:

पियर्सन अवशेषों की गणना करने से पहले, हमें पहले आकस्मिकता तालिका में प्रत्येक सेल के लिए अपेक्षित गणना की गणना करनी होगी। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

अपेक्षित मान = (पंक्तियों का योग * स्तंभों का योग) / तालिका का योग।

उदाहरण के लिए, रिपब्लिकन पुरुषों के लिए अपेक्षित मान है: (230*250) / 500 = 115 ।

हम प्रत्येक तालिका सेल के लिए अपेक्षित मान प्राप्त करने के लिए इस सूत्र को दोहरा सकते हैं:

फिर हम तालिका में प्रत्येक कोशिका के लिए पियर्सन अवशिष्ट की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, रिपब्लिकन पुरुषों वाले सेल के लिए पियर्सन अवशिष्ट की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

• आर _आईजे = (ओ _आईजे – ई _आईजे ) / √ ई _आईजे
• आर _आईजे = (120 – 115) / √ 115
• आर _आईजे = 0.466

तालिका में प्रत्येक कोशिका के लिए पियर्सन अवशिष्ट प्राप्त करने के लिए हम इस सूत्र को दोहरा सकते हैं:

फिर हम तालिका में प्रत्येक कोशिका के लिए मानकीकृत पियर्सन अवशिष्ट की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, रिपब्लिकन पुरुषों वाले सेल के लिए मानकीकृत पियर्सन अवशेष की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

• आर _आईजे = (ओ _आईजे – ई _आईजे ) / √ ई _आईजे (1-पी _आई+ )(1-पी _+जे )
• आर _आईजे = (120 – 115) / √ 115(1-250/500)(1-230/500)
• आर _आईजे = 0.897

हम तालिका में प्रत्येक कोशिका के लिए मानकीकृत पियर्सन अवशेष प्राप्त करने के लिए इस सूत्र को दोहरा सकते हैं:

हम देख सकते हैं कि मानकीकृत पियर्सन अवशेषों में से किसी का भी पूर्ण मान 3 से अधिक नहीं है, जो दर्शाता है कि कोई भी कोशिका फिट की महत्वपूर्ण कमी में योगदान नहीं करती है।

यदि हम स्वतंत्रता का काई-स्क्वायर परीक्षण करने के लिए इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हम पाएंगे कि परीक्षण का पी-मान 0.649198 है।

चूँकि यह पी-वैल्यू 0.05 से कम नहीं है, हमारे पास यह कहने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं है कि लिंग और राजनीतिक दल की प्राथमिकता के बीच कोई संबंध है।

अतिरिक्त संसाधन

निम्नलिखित ट्यूटोरियल बताते हैं कि विभिन्न सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके स्वतंत्रता का ची-स्क्वायर परीक्षण कैसे किया जाए:

ची-स्क्वायर इंडिपेंडेंस टेस्ट का एक परिचय
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