बड़ी संख्या का नियम

इस लेख में हम बताते हैं कि बड़ी संख्याओं का नियम क्या है और संभाव्यता और सांख्यिकी में इसका उपयोग किस लिए किया जाता है। आप बड़ी संख्या के कानून के अनुप्रयोग का एक उदाहरण भी देख पाएंगे और इसके अलावा, इस कानून और केंद्रीय सीमा प्रमेय के बीच क्या संबंध है।

बड़ी संख्या का नियम क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत में, बड़ी संख्या का नियम एक नियम है जो बड़ी संख्या में कार्य करने के परिणाम का वर्णन करता है। अधिक विशेष रूप से, बड़ी संख्या का नियम कहता है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों से प्राप्त परिणामों का औसत अपेक्षित मूल्य के करीब होगा।

इसके अलावा, बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, हम जितने अधिक प्रयोग करेंगे, परिणाम अपेक्षित मूल्य के उतने ही करीब होंगे।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्के को पांच बार उछालते हैं, तो हमें केवल एक बार (20%) चित प्राप्त होता है। हालाँकि, यदि सिक्के को कई बार उछाला जाता है (1000 से अधिक बार उछाला जाता है), तो लगभग आधे परिणाम हेड (50%) होंगे क्योंकि यह इसका अपेक्षित मूल्य है। यह बड़ी संख्या के नियम का एक उदाहरण है.

बड़ी संख्या के कानून की उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में गेरोलामो कार्डानो के साथ पाई जाती है, हालांकि पूरे इतिहास में कई लेखकों ने इस सांख्यिकीय कानून के विकास में भाग लिया है: बर्नौली, पॉइसन, चेबीशेव, मार्कोव, बोरेल, कैंटेली, कोलमोगोरोव और खिनचिन।

बड़ी संख्या के नियम का उदाहरण

बड़ी संख्या के नियम की परिभाषा देखने के बाद, हम इसके अर्थ को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक ठोस उदाहरण देखेंगे। इस मामले में हम उन संभावित परिणामों की संभावनाओं का विश्लेषण करेंगे जो हम पासे को घुमाकर प्राप्त कर सकते हैं।

पासे को घुमाने पर छह संभावित परिणाम होते हैं (1, 2, 3, 4, 5 और 6), इसलिए प्रत्येक प्रारंभिक घटना की सैद्धांतिक संभावना है:

इसलिए हम कई बार लॉन्च का अनुकरण करेंगे और परिणामों को आवृत्ति तालिका में रिकॉर्ड करेंगे ताकि यह जांचा जा सके कि बड़ी संख्या के कानून का सम्मान किया जाता है या नहीं।

ताकि आप किए गए प्रयोगों की संख्या का महत्व देख सकें, हम पहले दस प्रक्षेपणों का अनुकरण करेंगे, फिर एक सौ और अंत में एक हजार। इस प्रकार, 10 यादृच्छिक पासा फेंकने के अनुकरण से प्राप्त परिणाम इस प्रकार हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल दस थ्रो का अनुकरण करके प्राप्त आवृत्ति संभावनाएं सैद्धांतिक संभावनाओं के समान नहीं होती हैं।

लेकिन जैसे-जैसे हम प्रयोगों की संख्या बढ़ाते हैं, ये दोनों मेट्रिक्स अधिक समान हो जाते हैं, 100 लॉन्च के सिमुलेशन को देखें:

अब पासे पर प्रत्येक संख्या के लिए गणना की गई आवृत्ति संभावना इसकी सैद्धांतिक संभावना के समान है, हालांकि, हमें अभी भी बहुत अलग मूल्य मिलते हैं।

अंत में, हम वही प्रक्रिया करते हैं लेकिन 1000 लॉन्च का अनुकरण करते हैं:

जैसा कि हम पिछली तालिका में देख सकते हैं, अब आवृत्ति संभावनाओं के मान सैद्धांतिक संभावनाओं के बहुत करीब हैं।

संक्षेप में, जितना अधिक हम किए गए प्रयोगों की संख्या बढ़ाते हैं, किसी घटना की आवृत्ति संभावना का मूल्य उतना ही अधिक उसके घटित होने की सैद्धांतिक संभावना के करीब पहुंचता है। इसलिए, बड़ी संख्या के नियम का सम्मान किया जाता है, क्योंकि हम जितनी अधिक पुनरावृत्तियाँ करते हैं, प्रायोगिक मूल्य सैद्धांतिक मूल्यों के उतने ही अधिक समान होते हैं।

बड़ी संख्या के नियम की सीमा

बड़ी संख्याओं का नियम अधिकांश मामलों में मान्य है, हालाँकि, कुछ प्रकार के संभाव्यता वितरण इस सांख्यिकीय प्रमेय को संतुष्ट नहीं करते हैं।

उदाहरण के लिए, कॉची वितरण या पेरेटो वितरण (α<1) परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर अभिसरण नहीं होता है। यह वितरण की बड़ी पूंछों के कारण है, जिसका अर्थ है कि उनका कोई अपेक्षित मूल्य नहीं है।

दूसरी ओर, कुछ प्रयोग अपनी विशेषताओं के कारण पक्षपाती होते हैं, जिससे शोधकर्ता तर्कसंगत, मनोवैज्ञानिक, आर्थिक आदि के लिए परिणामों को (जानबूझकर या नहीं) संशोधित करते हैं। कारण. इन मामलों में, बड़ी संख्या का कानून पूर्वाग्रह को हल करने में मदद नहीं करता है, लेकिन परीक्षणों की संख्या बढ़ने के बावजूद पूर्वाग्रह बना रहेगा।

बड़ी संख्या का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय

बड़ी संख्या का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय संभाव्यता और सांख्यिकी के दो निकट से संबंधित मौलिक नियम हैं। तो इस भाग में हम देखेंगे कि उनका रिश्ता क्या है और उनमें क्या अंतर है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय, जिसे केंद्रीय सीमा प्रमेय भी कहा जाता है, कहता है कि जनसंख्या के संभाव्यता वितरण की परवाह किए बिना, नमूना का वितरण सामान्य वितरण के करीब पहुंचता है क्योंकि नमूना आकार बढ़ता है।

बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय के बीच अंतर यह है कि बड़ी संख्या का कानून कहता है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों का औसत उसके अपेक्षित मूल्य के करीब है, लेकिन केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई परीक्षणों का औसत नमूने सामान्य वितरण का अनुमान लगाते हैं।