मात्राएँ

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 5, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यहां आप जानेंगे कि मात्राएँ क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है। हम यह भी समझाते हैं कि मात्राएँ कितने प्रकार की होती हैं और आप मात्राएँ गणना के हल किए गए उदाहरण देखेंगे। अंत में, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर से अपने डेटा नमूने की किसी भी मात्रा की गणना करने में सक्षम होंगे।

मात्राएँ क्या हैं?

आंकड़ों में, क्वांटाइल वे बिंदु होते हैं जो ऑर्डर किए गए डेटा के एक सेट को समान रूप से विभाजित करते हैं। इस प्रकार, एक क्वांटाइल उस मान को इंगित करता है जिसके नीचे डेटा का एक प्रतिशत निहित होता है।

उदाहरण के लिए, यदि 0.39 ऑर्डर क्वांटाइल मान 24 है, तो इसका मतलब है कि नमूने में 39% डेटा 24 से कम है और बाकी डेटा 24 से अधिक है।

इसलिए, वितरण से डेटा को समान समूहों में अलग करने के लिए मात्राओं का उपयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, इनका उपयोग किसी निश्चित मान से ऊपर या नीचे डेटा के प्रतिशत को इंगित करने के लिए भी किया जाता है।

👉 आप किसी भी डेटासेट की मात्राओं की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

मात्राओं के प्रकार

मात्राओं के विभिन्न प्रकार हैं:

चतुर्थक – मात्राएँ जो डेटा सेट को चार बराबर भागों में विभाजित करती हैं। इसलिए तीन चतुर्थक हैं: पहला चतुर्थक (क्यू ₁ ), दूसरा चतुर्थक (क्यू ₂ ) और तीसरा चतुर्थक (क्यू ₃ )।
क्विंटाइल – क्वांटाइल जो डेटा सेट को पांच बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, एक नमूने में केवल चार क्विंटल हो सकते हैं। इस प्रकार के परिमाणों को K अक्षर से व्यक्त किया जाता है।
डेसीलेज़ : क्वांटिटाइल्स जो डेटा सेट को दस बराबर भागों में विभाजित करते हैं। डेसील्स का प्रतीक अक्षर D है।
प्रतिशतक – क्वांटाइल जो डेटा सेट को एक सौ बराबर भागों में विभाजित करते हैं। प्रतिशतक नमूने का प्रतिशत भी दर्शाते हैं। इनका नाम P अक्षर से रखा गया है।

विभिन्न प्रकार की मात्राओं से संबंधित गुणों में से एक यह है कि माध्यिका, द्वितीय चतुर्थक, पाँचवाँ दशमांश और 50वें प्रतिशतक का मान समान होता है।

इसके अलावा, अन्य प्रकार की मात्राएँ भी हैं लेकिन इनका उपयोग कम होता है। उनमें से, टेरसिल्स प्रमुख हैं, जो डेटा की एक श्रृंखला को तीन समान भागों में विभाजित करते हैं, और विजिलेंटेस, जो एकत्र किए गए डेटा को बीस समकक्ष भागों में अलग करते हैं।

इसी प्रकार, सभी प्रकार की मात्राओं को गैर-केंद्रीय स्थिति माप माना जाता है।

मात्राओं की गणना कैसे करें

किसी सांख्यिकीय डेटा सेट के क्वांटाइल की स्थिति की गणना करने के लिए, आपको क्वांटाइल संख्या को डेटा की कुल संख्या के योग और एक से गुणा करना होगा।

इसलिए मात्रात्मक सूत्र है:

$p\cdot (n+1)$

कृपया ध्यान दें: यह सूत्र हमें मात्रा की स्थिति बताता है, उसका मान नहीं। क्वांटाइल सूत्र द्वारा प्राप्त स्थिति पर स्थित डेटा होगा।

हालाँकि, कभी-कभी इस सूत्र का परिणाम हमें दशमलव संख्या देगा। इसलिए हमें दो मामलों में अंतर करना चाहिए जो इस बात पर निर्भर करता है कि परिणाम दशमलव संख्या है या नहीं:

यदि सूत्र का परिणाम दशमलव भाग के बिना एक संख्या है, तो क्वांटाइल वह डेटा है जो उपरोक्त सूत्र द्वारा प्रदान की गई स्थिति में है।
यदि सूत्र परिणाम दशमलव भाग वाली एक संख्या है, तो सटीक मात्रात्मक मान की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

जहाँ x _i और x _i+1 उन स्थितियों की संख्याएँ हैं जिनके बीच पहले सूत्र द्वारा प्राप्त संख्या स्थित है, और d पहले सूत्र द्वारा प्राप्त संख्या का दशमलव भाग है।

यदि आपको लगता है कि मात्रा की गणना करना बहुत जटिल है, तो चिंता न करें। निम्नलिखित उदाहरण पढ़ें और आप देखेंगे कि यह वास्तव में सरल है।

ध्यान दें : वैज्ञानिक समुदाय में मात्राओं की गणना कैसे करें, इस पर अभी भी कोई सहमति नहीं है, इसलिए आप एक सांख्यिकी पुस्तक पा सकते हैं जो इसे थोड़ा अलग तरीके से समझाती है।

मात्रात्मक गणना उदाहरण

एक मात्रा की परिभाषा और उसकी गणना के सिद्धांत पर विचार करते हुए, आपको नीचे कुछ मात्राओं की गणना पर एक हल किया हुआ अभ्यास मिलेगा। इससे आपको अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलेगी।

निम्नलिखित सांख्यिकीय नमूने के क्रम 0.50 की मात्रा और क्रम 0.81 की मात्रा की गणना करें।

समस्याग्रस्त डेटा पहले से ही आरोही क्रम में क्रमबद्ध है, इसलिए इसे बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है। अन्यथा, डेटा को पहले क्रम में रखना होगा।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी भी मात्रा की स्थिति ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

$p\cdot (n+1)$

इस मामले में, नमूना आकार 49 अवलोकन है, इसलिए 0.50 मात्रा की गणना करने के लिए, हमें n को 49 से और p को 0.50 से बदलने की आवश्यकता है:

$0,5\cdot (49+1)=25\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad C_{0,50}=250$

तो, क्वांटाइल 0.50 वह मान होगा जो ऑर्डर की गई सूची के पच्चीसवें स्थान पर है, जो मान 250 से मेल खाता है।

अब हम 0.81 मात्रा ज्ञात करने के लिए फिर से वही सूत्र लागू करते हैं। तार्किक रूप से, इस दूसरे उदाहरण में हमें p को 0.81 से बदलना होगा।

$0,81\cdot (49+1)=40,5$

लेकिन इस बार हमें सूत्र (40.5) से एक दशमलव संख्या मिली, जिसका अर्थ है कि मात्रा स्थिति 40 और स्थिति 41 के बीच होगी। इसलिए, इस मात्रा को निर्धारित करने के लिए हमें दूसरी विधि सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

इस स्थिति में, क्वांटाइल स्थिति 40 और 41 के बीच होगा, जिसका मान क्रमशः 286 और 289 है। परिणामस्वरूप, x _{i का} मान 286 है, x _i+1 का मान 289 है और d प्राप्त संख्या का दशमलव भाग है, i अर्थात 0.5।

$C_{0,81}=286+0,5\cdot (289-286)=287,5$

जैसा कि आप देख सकते हैं, मात्रा की गणना इस बात पर निर्भर करती है कि पहला सूत्र हमें दशमलव संख्या देता है या नहीं। यदि आप अधिक उदाहरण देखना चाहते हैं, तो आप यहां विभिन्न प्रकार की मात्राओं पर अधिक हल किए गए अभ्यास देख सकते हैं:

➤ देखें: चतुर्थक के उदाहरण
➤ देखें: क्विंटाइल के उदाहरण
➤ देखें: डेसील्स के उदाहरण
➤ देखें: प्रतिशतक के उदाहरण

मात्रात्मक कैलकुलेटर

नीचे दिए गए कैलकुलेटर में एक सांख्यिकीय डेटा सेट और वह मात्रात्मक संख्या दर्ज करें जिसकी आप गणना करना चाहते हैं। संख्याओं को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

समूहीकृत डेटा में मात्राएँ

जब डेटा को अंतरालों में समूहीकृत किया जाता है, तो एक क्वांटाइल की गणना करने के लिए, हमें सबसे पहले निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उस अंतराल या बिन को ढूंढना होगा जिसमें क्वांटाइल आता है:

$p\cdot (n+1)$

इसलिए क्वांटाइल उस अंतराल में होगा जिसकी संचित निरपेक्ष आवृत्ति पिछली अभिव्यक्ति में प्राप्त संख्या से तुरंत अधिक है।

और एक बार जब हम उस अंतराल को जान लेते हैं जिससे परिमाण संबंधित होता है, तो हमें परिमाण का सटीक मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र को लागू करना चाहिए:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

सोना:

L _i उस अंतराल की निचली सीमा है जिसमें मात्रा निहित है।
n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
F _i-1 पिछले अंतराल की संचयी निरपेक्ष आवृत्ति है।
f _i उस अंतराल की पूर्ण आवृत्ति है जिसमें मात्रा निहित है।
I _i क्वांटाइल अंतराल की चौड़ाई है।

आपको यह कैसे करना है यह दिखाने के लिए, यहां समूहीकृत डेटा के लिए क्रम 0.29 और 0.62 की मात्राओं की गणना का एक ठोस उदाहरण दिया गया है।

0.29 क्वांटाइल की गणना करने के लिए, हमें पहले वह अंतराल ज्ञात करना होगा जिसमें यह स्थित है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$p\cdot (n+1)$

$0,29\cdot (500+1)=145,29 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [350,375)$

इस प्रकार क्वांटाइल उस अंतराल में होगा जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति 145.29 से तुरंत अधिक है, जो इस मामले में अंतराल [350.375) है जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति 175 है। और एक बार जब हम क्वांटाइल अंतराल को जान लेते हैं, तो हम दूसरे के सूत्र का उपयोग करते हैं तरीका:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$C_{0,29}=350+ \cfrac{0,29\cdot (500+1)-131}{44}\cdot 25 =358,12$

अब हम मात्रा 0.62 प्राप्त करने के लिए फिर से वही प्रक्रिया लागू करते हैं। हम पहले उस अंतराल की गणना करते हैं जहां मात्रा है:

$0,62\cdot (500+1)=310,62 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [425,450)$

वह अंतराल जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति 310.62 से तुरंत अधिक है [425.450), जिसकी संचयी निरपेक्ष आवृत्ति 347 है। इसलिए, हम प्रक्रिया में दूसरे सूत्र का उपयोग करके सटीक मात्रात्मक मान की गणना करते हैं:

$C_{0,62}=425+ \cfrac{0,62\cdot (500+1)-298}{49}\cdot 25=431,44$

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

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