मानक विचलन (या मानक विचलन)

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 5, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि मानक विचलन, जिसे मानक विचलन भी कहा जाता है, क्या है। आप सीखेंगे कि मानक विचलन की गणना कैसे करें, चरण-दर-चरण व्यावहारिक उदाहरण और किसी भी डेटा नमूने के मानक विचलन को खोजने के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर।

मानक विचलन (या मानक विचलन) क्या है?

मानक विचलन , जिसे मानक विचलन भी कहा जाता है, सांख्यिकीय फैलाव का एक माप है। दूसरे शब्दों में, मानक विचलन एक मान है जो सांख्यिकीय डेटा के एक सेट के फैलाव को इंगित करता है।

इसलिए, मानक विचलन (या मानक विचलन) का उपयोग किसी जनसंख्या या सांख्यिकीय नमूने के फैलाव को मापने के लिए किया जाता है। डेटा श्रृंखला का मानक विचलन जितना बड़ा होगा, डेटा उतना ही अधिक बिखरा हुआ होगा। और व्याख्या दूसरी दिशा में भी की जा सकती है, यदि मानक विचलन कम है तो इसका मतलब है कि सामान्य तौर पर डेटा अपने माध्य के बहुत करीब है।

किसी जनसंख्या पर मानक या विशिष्ट विचलन की गणना करते समय, मानक विचलन का प्रतीक ग्रीक अक्षर सिग्मा (σ) होता है। लेकिन जब नमूना मानक विचलन की बात आती है, तो सांख्यिकीय माप को दर्शाने के लिए अक्षर s का उपयोग किया जाता है।

कुछ सांख्यिकी और संभाव्यता पुस्तकों में, मानक विचलन को मानक विचलन भी कहा जाता है।

मानक विचलन (या मानक विचलन) सूत्र

मानक विचलन (या मानक विचलन) डेटा श्रृंखला के विचलन के वर्गों के योग के वर्गमूल को अवलोकनों की कुल संख्या से विभाजित करने के बराबर है।

इसलिए मानक विचलन (या मानक विचलन) की गणना करने का सूत्र है:

👉 आप किसी भी डेटा सेट के मानक विचलन की गणना करने के लिए नीचे दिए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

निष्कर्ष में, डेटा सेट के मानक विचलन को खोजने के लिए, आपको सभी विचलनों की गणना करने की आवश्यकता है (डेटा बिंदु और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर के रूप में परिभाषित), विचलन को दो तक बढ़ाएं, उन सभी को जोड़ें, फिर से विभाजित करें कुल। डेटा की संख्या, और अंत में वर्गमूल लें।

मानक विचलन (या मानक विचलन) का उदाहरण

मानक विचलन (या विशिष्ट विचलन) की परिभाषा पर विचार करते हुए, नीचे चरण-दर-चरण उदाहरण दिया गया है ताकि आप देख सकें कि डेटा श्रृंखला के मानक विचलन की गणना कैसे की जाती है।

निम्नलिखित मानों के मानक विचलन की गणना करें: 3, 6, 2, 9, 4।

पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह नमूना माध्य निर्धारित करना है। ऐसा करने के लिए, हम सभी डेटा को जोड़ते हैं और अवलोकनों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं, जो पांच है:

$\overline{x}=\cfrac{3+6+2+9+4}{5}=4,8$

अब हम मानक विचलन सूत्र का उपयोग करते हैं:

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2}{N}}$

हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

$\displaystyle\sigma =\sqrt{\frac{(3-4,8)^2+(6-4,8)^2+(2-4,8)^2+(9-4,8)^2+(4-4,8)^2}{5}}$

और अंत में हम मानक विचलन की गणना करते हैं:

$\begin{aligned}\displaystyle\sigma & = \sqrt{\frac{(-1,8)^2+1,2^2+(-2,8)^2+4,2^2+(-0,8)^2}{5}}\\[2ex]&=\sqrt{\frac{3,24+1,44+7,84+17,64+0,64}{5}}\\[2ex]&= \sqrt{\frac{30,8}{5}}=\sqrt{6,16}=2,48 \end{aligned}$

मानक विचलन (या मानक विचलन) कैलकुलेटर

इसके मानक विचलन (या मानक विचलन) की गणना करने के लिए निम्नलिखित ऑनलाइन कैलकुलेटर में सांख्यिकीय डेटा का एक सेट दर्ज करें। डेटा को एक स्थान से अलग किया जाना चाहिए और दशमलव विभाजक के रूप में अवधि का उपयोग करके दर्ज किया जाना चाहिए।

समूहीकृत डेटा के लिए मानक (या विशिष्ट) विचलन

अंतरालों में समूहीकृत डेटा के मानक विचलन (या मानक विचलन) की गणना करने के लिए , निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना चाहिए:

समूहीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए।
समूहीकृत डेटा के विचलन की गणना करें।
प्रत्येक गैप को चौकोर करें।
प्रत्येक पिछले परिणाम को उसके अंतराल की आवृत्ति से गुणा करें।
पिछले चरण में प्राप्त सभी मानों का योग जोड़ें।
प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करें.
पिछले मान का वर्गमूल लें. परिणामी संख्या समूहीकृत डेटा का मानक विचलन है।

अंत में, अंतरालों में समूहीकृत डेटा के मानक विचलन की गणना करने का सूत्र है:

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)^2\cdot f_i }{N}}$

यद्यपि उपरोक्त सूत्र का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, निम्नलिखित बीजगणितीय अभिव्यक्ति का भी उपयोग किया जा सकता है क्योंकि समान परिणाम प्राप्त होता है:

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\cdot f_i }{N}-\overline{x}^2}$

तो आप देख सकते हैं कि यह कैसे किया जाता है, नीचे अंतरालों में समूहीकृत डेटा के मानक विचलन पर चरण-दर-चरण अभ्यास दिया गया है। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित सांख्यिकीय डेटा के मानक विचलन की गणना की जाएगी:

सबसे पहले, हम अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए प्रत्येक अंतराल के वर्ग स्कोर को उसकी आवृत्ति से गुणा करते हैं:

तो समूहीकृत डेटा का औसत होगा:

$\overline{x}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\cdot f_i}{N}=\cfrac{46200}{100}=462$

अब जब हम औसत का मान जानते हैं, तो हमें डेटा तालिका में निम्नलिखित तीन कॉलम जोड़ने होंगे:

समूहीकृत डेटा के लिए मानक विचलन या मानक विचलन का हल किया गया अभ्यास

फिर समूहीकृत डेटा का मानक विचलन अंतिम कॉलम के कुल के वर्गमूल को अवलोकनों की कुल संख्या से विभाजित करने का परिणाम होगा:

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)^2\cdot f_i }{N}}=\sqrt{\frac{1445600}{100}}=120,23$

मानक (या विशिष्ट) विचलन और विचरण

मानक विचलन (या विशिष्ट विचलन) और विचरण के बीच संबंध यह है कि मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।

इसलिए, यदि हम किसी डेटा सेट का विचरण मान जानते हैं, तो हम वर्गमूल लेकर आसानी से मानक विचलन की गणना कर सकते हैं। या इसके विपरीत, यदि हम मानक विचलन जानते हैं, तो हम मान का वर्ग करके विचरण ज्ञात कर सकते हैं।

$Var(X)=\sigma^2$

वास्तव में, विचरण को केवल वर्ग मानक विचलन प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। इसलिए, जनसंख्या विचरण का प्रतीक सिग्मा वर्ग (σ ² ) है और नमूना विचरण का प्रतीक s वर्ग (s ² ) है।

इसके अतिरिक्त, मानक विचलन और विचरण की अवधारणाओं की एक समान व्याख्या है, क्योंकि दोनों सांख्यिकीय डेटा की एक श्रृंखला के फैलाव को दर्शाते हैं।

मानक विचलन (या मानक विचलन) के गुण

मानक विचलन में निम्नलिखित गुण हैं:

डेटा नमूने का मानक विचलन नकारात्मक नहीं हो सकता।

$\sigma \ge 0$

यदि सभी डेटा समान हैं तो मानक विचलन शून्य होगा।

$\sigma =0$

यदि सभी डेटा में एक स्थिर पद जोड़ा जाता है, तो मानक विचलन मान नहीं बदलता है।

$\sigma (X+k)=\sigma (X)$

यदि सभी डेटा को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो मानक विचलन उक्त संख्या के निरपेक्ष मान से गुणा किया जाएगा।

$\sigma (k\cdot X)=|k|\cdot \sigma (X)$

दो यादृच्छिक चरों के योग का मानक विचलन, चरों के प्रसरणों के योग के वर्गमूल और दोनों चरों के बीच सहप्रसरण के दोगुने के बराबर होता है।

$\sigma(X+Y)=\sqrt{Var(X)+Var(Y)+2\cdot Cov(X,Y)}$

यदि हम विभिन्न वितरणों के मानक विचलन (σ _i ) और उनके डेटा की संख्या (n _i ) जानते हैं, तो हम निम्नलिखित सूत्र को लागू करके कुल मानक विचलन की गणना कर सकते हैं:

$\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N n_i\cdot \sigma_i^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^N n_i}}=\sqrt{\frac{\displaystyle n_1\cdot \sigma_1^2+n_2\cdot \sigma_2^2+\dots +n_N\cdot \sigma_N^2}{\displaystyle n_1+n_2+\dots+n_N}}$

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने