विचरण का विश्लेषण (एनोवा)

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 2, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आंकड़ों में विचरण का विश्लेषण, जिसे एनोवा भी कहा जाता है, क्या है। तो, आप जानेंगे कि विचरण का विश्लेषण कैसे करें, एनोवा तालिका क्या है और चरण-दर-चरण हल किया गया अभ्यास। इसके अलावा, यह दर्शाता है कि वे कौन सी पूर्व धारणाएँ हैं जिनका विचरण का विश्लेषण करने के लिए सम्मान किया जाना चाहिए और अंततः, एनोवा विश्लेषण के क्या फायदे और नुकसान हैं।

विचरण का विश्लेषण (एनोवा) क्या है?

आंकड़ों में, विचरण का विश्लेषण , जिसे एनोवा (विश्लेषण का विश्लेषण) भी कहा जाता है, एक ऐसी तकनीक है जो आपको विभिन्न नमूनों के बीच के अंतर की तुलना करने की अनुमति देती है।

विचरण विश्लेषण (एनोवा) का उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जाता है कि क्या दो से अधिक आबादी के साधनों के बीच अंतर है। इस प्रकार, विचरण का विश्लेषण हमें नमूना साधनों के बीच परिवर्तनशीलता का विश्लेषण करके यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दो या दो से अधिक समूहों के जनसंख्या साधन भिन्न हैं या नहीं।

इसलिए विचरण के विश्लेषण की शून्य परिकल्पना यह है कि विश्लेषण किए गए सभी समूहों के साधन समान हैं। जबकि वैकल्पिक परिकल्पना यह मानती है कि कम से कम एक साधन भिन्न है।

$\begin{cases}H_0: \mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=\mu\\[2ex]H_1: \exists \mu_i\neq \mu \quad i=1,2,\ldots, k\end{cases}$

इसलिए, दो से अधिक समूहों के साधनों की तुलना करने के लिए विचरण का विश्लेषण विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि इस प्रकार के विश्लेषण से आप जोड़े में साधनों की तुलना करने के बजाय, एक ही समय में सभी समूहों के साधनों का अध्ययन कर सकते हैं। नीचे हम देखेंगे कि विचरण के विश्लेषण के क्या फायदे और नुकसान हैं।

एनोवा टेबल

विचरण का विश्लेषण एनोवा तालिका नामक तालिका में संक्षेपित किया गया है, जिसके सूत्र इस प्रकार हैं:

सोना:

$n_i$

नमूना आकार है I
$N$

प्रेक्षणों की कुल संख्या है.
$k$

विचरण के विश्लेषण में विभिन्न समूहों की संख्या है।
$y_{ij}$

समूह i का मान j है।
$\overline{y}_{i}$

समूह I का माध्य है.
$\overline{y}$

यह सभी विश्लेषित आंकड़ों का औसत है।

विचरण के विश्लेषण का उदाहरण (एनोवा)

एनोवा की अवधारणा को समझने के लिए, आइए देखें कि चरण दर चरण एक उदाहरण को हल करके विचरण का विश्लेषण कैसे करें।

तीन अलग-अलग विषयों (ए, बी और सी) में चार छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों की तुलना करने के लिए एक सांख्यिकीय अध्ययन किया जाता है। निम्नलिखित तालिका प्रत्येक छात्र द्वारा अधिकतम 20 अंक वाले परीक्षण में प्राप्त अंकों का विवरण देती है। प्रत्येक विषय में प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों की तुलना करने के लिए भिन्नता का विश्लेषण करें।

विचरण के इस विश्लेषण की शून्य परिकल्पना यह है कि तीन विषयों के अंकों का माध्य बराबर है। दूसरी ओर, शून्य परिकल्पना यह है कि इनमें से कुछ साधन भिन्न हैं।

$\begin{cases}H_0: \mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu\\[2ex]H_1: \exists \mu_i\neq \mu \quad i=A, B, C\end{cases}$

विचरण का विश्लेषण करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक विषय के माध्य और डेटा के कुल माध्य की गणना करना है:

$\overline{y}_A=\cfrac{14+12+14+10}{4}=12,5$

$\overline{y}_B=\cfrac{13+14+10+14}{4}=12,75$

$\overline{y}_C=\cfrac{19+17+16+19}{4}=17,75$

$\overline{y}=\cfrac{14+12+14+10+13+14+10+14+19+17+16+19}{12}=14,33$

एक बार जब हमें माध्य का मूल्य पता चल जाता है, तो हम ऊपर देखे गए विचरण (एनोवा) सूत्रों के विश्लेषण का उपयोग करके वर्गों के योग की गणना करते हैं:

$\begin{aligned}\displaystyle SS_F&=\sum_{i=1}^k n_i(\overline{y}_i-\overline{y})^2\\[2ex] SS_F&= 4\cdot (12,5-14,33)^2+4\cdot (12,75-14,33)^2+4\cdot (17,75-14,33)^2\\[2ex] SS_F&=70,17\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_E=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y}_i)^2\\[2ex] \displaystyle SS_E=\ &(14-12,5)^2+(12-12,5)^2+(14-12,5)^2+(10-12,5)^2+\\&+(13-12,75)^2+(14-12,75)^2+(10-12,75)^2+(14-12,75)^2+\\&+(19-17,75)^2+(17-17,75)^2+(16-17,75)^2+(19-17,75)^2\\[2ex] SS_E=\ &28,50\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_T=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y})^2\\[2ex] \displaystyle SS_T= \ &(14-14,33)^2+(12-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+\\&+(13-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+(14-14,33)^2+\\&+(19-14,33)^2+(17-14,33)^2+(16-14,33)^2+(19-14,33)^2\\[2ex] SS_T= \ &98,67\end{aligned}$

फिर हम कारक, त्रुटि और कुल की स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करते हैं:

$GL_F=k-1=3-1=2$

$GL_E=N-k=12-3=9$

$GL_F=N-1=12-1=11$

अब हम कारक और त्रुटि के वर्गों के योग को उनकी स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री से विभाजित करके माध्य वर्ग त्रुटियों की गणना करते हैं:

$MSE_F=\cfrac{SS_F}{GL_F}=\cfrac{70,17}{2}=35,08$

$MSE_R=\cfrac{SS_R}{GL_R}=\cfrac{28,50}{9}=3,17$

और अंत में, हम पिछले चरण में गणना की गई दो त्रुटियों को विभाजित करके एफ आंकड़े के मूल्य की गणना करते हैं:

$F=\cfrac{MSE_F}{MSE_R}=\cfrac{35,09}{3,17}=11,08$

संक्षेप में, उदाहरण डेटा के लिए एनोवा तालिका इस तरह दिखेगी:

एक बार एनोवा तालिका में सभी मूल्यों की गणना हो जाने के बाद, जो कुछ बचा है वह प्राप्त परिणामों की व्याख्या करना है। ऐसा करने के लिए, हमें स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री के साथ स्नेडेकोर एफ वितरण में एफ आंकड़े से अधिक मूल्य प्राप्त करने की संभावना ढूंढने की आवश्यकता है, यानी, हमें परीक्षण के पी-मूल्य को निर्धारित करने की आवश्यकता है:

$P[F>11,08]=0,004″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”172″ style=”vertical-align: -5px;”> इसलिए, यदि हम महत्व स्तर α=0.05 (सबसे सामान्य) लेते हैं, तो हमें शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना चाहिए और वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार करना चाहिए, क्योंकि परीक्षण का पी-मूल्य महत्व स्तर से कम है। इसका मतलब यह है कि अध्ययन किए गए समूहों के कम से कम कुछ साधन दूसरों से भिन्न हैं। <p class=$ $0,004 < 0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \text{Se rechaza } H_0$

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वर्तमान में कई कंप्यूटर प्रोग्राम हैं जो कुछ ही सेकंड में भिन्नता का विश्लेषण कर सकते हैं। हालाँकि, गणना के पीछे के सिद्धांत को जानना भी महत्वपूर्ण है।

विचरण के विश्लेषण की मान्यताएँ (एनोवा)

विचरण (एनोवा) का विश्लेषण करने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

स्वतंत्रता : देखे गए मूल्य एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। अवलोकनों की स्वतंत्रता सुनिश्चित करने का एक तरीका नमूनाकरण प्रक्रिया में यादृच्छिकता जोड़ना है।
समरूपता : भिन्नताओं में एकरूपता होनी चाहिए, अर्थात अवशेषों की परिवर्तनशीलता स्थिर है।
सामान्यता : अवशेषों को सामान्य रूप से वितरित किया जाना चाहिए, या दूसरे शब्दों में, उन्हें सामान्य वितरण का पालन करना चाहिए।
निरंतरता : आश्रित चर निरंतर होना चाहिए।

विचरण के विश्लेषण के प्रकार (एनोवा)

विचरण (एनोवा) के विश्लेषण तीन प्रकार के होते हैं:

विचरण का एक-तरफ़ा विश्लेषण (एक-तरफ़ा एनोवा) : विचरण के विश्लेषण में, केवल एक कारक होता है, अर्थात केवल एक स्वतंत्र चर होता है।
विचरण का दो-तरफ़ा विश्लेषण (दो-तरफ़ा एनोवा) : विचरण के विश्लेषण में दो कारक होते हैं, इसलिए दो स्वतंत्र चर और उनके बीच की बातचीत का विश्लेषण किया जाता है।
प्रसरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (मैनोवा) : प्रसरण के विश्लेषण में, एक से अधिक आश्रित चर होते हैं। लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या आश्रित चर भिन्न होने पर स्वतंत्र चर अपना मूल्य बदलते हैं।

विचरण के विश्लेषण (एनोवा) के फायदे और नुकसान

अंत में, हम देखेंगे कि विचरण के विश्लेषण का उपयोग करना हमारे लिए कब उपयुक्त है और, इस प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण की सीमाएँ क्या हैं।

विचरण विश्लेषण (एनोवा) का मुख्य लाभ यह है कि यह एक ही समय में दो से अधिक समूहों की तुलना करने की अनुमति देता है। टी-टेस्ट के विपरीत, जहां आप केवल एक या दो नमूनों के माध्य का विश्लेषण कर सकते हैं, विचरण के विश्लेषण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि एकाधिक आबादी का माध्य समान है या नहीं।

हालाँकि, विचरण का विश्लेषण हमें यह नहीं बताता है कि किस अध्ययन समूह का माध्य भिन्न है, यह केवल हमें यह बताता है कि क्या महत्वपूर्ण रूप से भिन्न साधन हैं या यदि सभी साधन समान हैं।

इसी तरह, विचरण के विश्लेषण का एक और नुकसान यह है कि एनोवा विश्लेषण करने के लिए चार पिछली धारणाओं (ऊपर देखें) को पूरा किया जाना चाहिए, अन्यथा निकाले गए निष्कर्ष गलत हो सकते हैं। इसलिए, यह हमेशा सत्यापित किया जाना चाहिए कि सांख्यिकीय डेटासेट इन चार आवश्यकताओं को पूरा करता है।

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने