विषमता गुणांक

यह आलेख बताता है कि विषमता गुणांक क्या है, इसकी गणना कैसे की जाती है और इसकी व्याख्या कैसे की जाती है। सीधे तौर पर, आप जानेंगे कि सांख्यिकी में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तीन प्रकार के असममिति गुणांकों की गणना कैसे की जाती है।

विषमता गुणांक क्या है?

आंकड़ों में, विषमता गुणांक एक गुणांक है जो आपको वितरण की विषमता की गणना करने की अनुमति देता है। अर्थात्, तिरछापन गुणांक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि कोई फ़ंक्शन सकारात्मक रूप से तिरछा है, नकारात्मक रूप से तिरछा है, या सममित है।

विषमता गुणांक को विषमता सूचकांक भी कहा जा सकता है।

ध्यान रखें कि वितरण की विषमता वक्र के आकार पर निर्भर करती है। इस प्रकार, विषमता के विभिन्न प्रकार हैं:

• सकारात्मक विषमता : वितरण में बाईं ओर की तुलना में माध्य के दाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
• नकारात्मक तिरछापन : वितरण में माध्य के दाईं ओर की तुलना में बाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
• समरूपता : वितरण में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या उतनी ही है जितनी दाईं ओर।

मुख्य रूप से, मामले के आधार पर तीन प्रकार के विषमता गुणांक का उपयोग किया जाता है: फिशर गुणांक, पियर्सन गुणांक और बाउली गुणांक। प्रत्येक प्रकार के तिरछापन गुणांक की गणना कैसे करें, नीचे विस्तार से बताया गया है।

फिशर की विषमता गुणांक

फिशर का तिरछापन गुणांक नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित माध्य के बारे में तीसरे क्षण के बराबर है। इसलिए, फिशर की विषमता गुणांक का सूत्र है:

समान रूप से, फिशर के गुणांक की गणना के लिए निम्नलिखित दो सूत्रों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है:

सोना

गणितीय अपेक्षा है,

अंकगणित माध्य,

मानक विचलन और

डेटा की कुल संख्या.

दूसरी ओर, यदि डेटा को समूहीकृत किया गया है तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

इस मामले में कहां

यह वर्ग और का प्रतीक है

पाठ्यक्रम की पूर्ण आवृत्ति.

एक बार इसके मूल्य की गणना हो जाने के बाद, फिशर असममिति गुणांक की व्याख्या इस प्रकार है:

• यदि फिशर का विषमता गुणांक सकारात्मक है, तो वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
• यदि फिशर का विषमता गुणांक ऋणात्मक है, तो वितरण ऋणात्मक रूप से विषम है।
• यदि वितरण सममित है, तो फिशर की विषमता का गुणांक शून्य के बराबर है। इसका विपरीत सत्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि तथ्य यह है कि फिशर गुणांक शून्य है इसका मतलब यह नहीं है कि वितरण सममित है।

पियर्सन का विषमता गुणांक

पियर्सन का तिरछापन गुणांक नमूना माध्य और मोड के बीच के अंतर को उसके मानक विचलन (या मानक विचलन) से विभाजित करने के बराबर है। इसलिए पियर्सन असममिति गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

सोना

पियर्सन गुणांक है,

अंकगणित माध्य,

फैशन और

मानक विचलन.

ध्यान रखें कि पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना केवल तभी की जा सकती है जब यह एक यूनिमॉडल वितरण हो, अर्थात, यदि डेटा में केवल एक मोड है।

कुछ सांख्यिकी पुस्तकों में, पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना मोड के बजाय माध्यिका का उपयोग करके की जाती है, लेकिन आम तौर पर उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया जाता है।

एक बार पियर्सन विषमता गुणांक की गणना हो जाने के बाद, इसके मूल्य की व्याख्या निम्नलिखित नियमों के अनुसार की जानी चाहिए:

• यदि पियर्सन विषमता गुणांक सकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
• यदि पियर्सन विषमता गुणांक नकारात्मक है, तो इसका मतलब है कि वितरण नकारात्मक रूप से विषम है।
• यदि पियर्सन का तिरछापन गुणांक शून्य है, तो इसका मतलब है कि वितरण सममित है।

बाउली का विषमता गुणांक

बाउली का तिरछापन गुणांक तीसरे चतुर्थक और पहले चतुर्थक के योग के बराबर होता है, जिसमें से माध्यिका का दोगुना घटाकर तीसरे और पहले चतुर्थक के बीच के अंतर से विभाजित किया जाता है। इसलिए इस विषमता गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

सोना

और

ये क्रमशः प्रथम और तृतीय चतुर्थक हैं और

वितरण का माध्यिका है.

याद रखें कि वितरण का माध्यिका दूसरे चतुर्थक के साथ मेल खाता है।

बाउली गुणांक की व्याख्या पिछले दो प्रकार के विषमता गुणांकों की तरह ही की जाती है:

• यदि बाउली का तिरछापन गुणांक सकारात्मक है, तो वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
• यदि बाउली का तिरछापन गुणांक ऋणात्मक है, तो वितरण ऋणात्मक रूप से विषम है।
• यदि बाउली का तिरछापन गुणांक शून्य है, तो वितरण सममित है।