संभाव्यता गुण

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 1, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

इस लेख में हम बताते हैं कि संभाव्यता गुण क्या हैं और इसके अलावा, आप प्रत्येक संभाव्यता गुण का एक ठोस उदाहरण देख पाएंगे।

संभाव्यता के गुण क्या हैं?

संभाव्यता के गुण हैं:

एक घटना की प्रायिकता उसके विपरीत घटना की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर होती है।
किसी असंभव घटना की संभावना सदैव शून्य होती है।
यदि एक घटना को किसी अन्य घटना में शामिल किया जाता है, तो पहली घटना की संभावना दूसरी घटना की संभावना से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
दो घटनाओं के मिलन की संभावना प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना के योग के बराबर होती है, जिसमें उनके प्रतिच्छेदन की संभावना को घटा दिया जाता है।
दो-दो असंगत घटनाओं के एक सेट को देखते हुए, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर उनकी संयुक्त संभावना की गणना की जाती है।
एक नमूना स्थान में सभी प्रारंभिक घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है।

यह बस इस बात का सारांश है कि संभाव्यता के मूल गुण क्या हैं। नीचे प्रत्येक संपत्ति का अधिक विस्तृत विवरण और वास्तविक दुनिया के उदाहरण दिए गए हैं।

संपत्ति 1

एक घटना की प्रायिकता उसके विपरीत घटना की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर होती है। इसलिए, एक घटना की संभावना और उसके विपरीत घटना की संभावना का योग 1 के बराबर है।

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

उदाहरण के लिए, संख्या 5 के लुढ़कने की प्रायिकता 0.167 है, क्योंकि हम इस संभाव्य गुण का उपयोग करके किसी अन्य संख्या के लुढ़कने की प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

संपत्ति 2

एक असंभव घटना की संभावना 0 है। तार्किक रूप से, यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग का एक निश्चित परिणाम घटित नहीं हो सकता है, तो उसके घटित होने की संभावना शून्य है।

$P(\varnothing)=0$

उदाहरण के लिए, हम एक पासे को घुमाकर संख्या 7 का परिणाम प्राप्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए इस घटना की संभावना शून्य है।

$P(7)=0$

संपत्ति 3

यदि एक घटना को किसी अन्य घटना में शामिल किया जाता है, तो पहली घटना की संभावना दूसरी घटना की संभावना से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।

जाहिर है, यदि किसी घटना को घटनाओं के समूह में शामिल किया जाता है, तो किसी एक घटना के घटित होने की संभावना पूरे सेट की घटित संभावना से अधिक नहीं हो सकती।

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

उदाहरण के लिए, संख्या 4 के लुढ़कने की प्रायिकता 0.167 है। दूसरी ओर, एक सम संख्या (2, 4, 6) प्राप्त होने की प्रायिकता 0.50 है। अतः संभाव्यता सिद्धांत का यह गुण संतुष्ट है।

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”2040″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p> आप यहां क्लिक करके इस संपत्ति के अनुप्रयोग के ठोस उदाहरण देख सकते हैं: </p> <div style=$ ➤ देखें: जोड़ नियम का हल किया हुआ उदाहरण

संपत्ति 5

दो-दो असंगत घटनाओं के एक सेट को देखते हुए, प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना को जोड़कर उनकी संयुक्त संभावना की गणना की जा सकती है।

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने के विभिन्न परिणाम असंगत घटनाएँ हैं, क्योंकि यदि आप एक संख्या को घुमाते हैं, तो आप दूसरी संख्या प्राप्त नहीं कर सकते। इस प्रकार, एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए हम विभिन्न विषम संख्याओं के प्रकट होने की प्रायिकता जोड़ सकते हैं:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

संपत्ति 6

एक नमूना स्थान में सभी प्रारंभिक घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है।

जाहिर है, एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप नमूना स्थान में एक प्राथमिक घटना होनी चाहिए, इसलिए नमूना स्थान में एक प्रारंभिक घटना हमेशा घटित होगी, और इसलिए नमूना स्थान में घटित होने की कुल संभावना 100% होनी चाहिए।

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

उदाहरण के लिए, पासे को घुमाने के लिए नमूना स्थान Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} है, इसलिए सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

संभाव्यता के अभिगृहीत

संभाव्यता के गुणों के अलावा जो हमने अभी देखा है, हमें यह ध्यान में रखना चाहिए कि संभाव्यता के सिद्धांत भी हैं, जो मुख्य नियम हैं जो घटनाओं की संभावनाओं को परिभाषित करते हैं।

तो, संभाव्यता के सिद्धांत इस प्रकार हैं:

संभाव्यता अभिगृहीत 1 : किसी घटना की संभावना ऋणात्मक नहीं हो सकती।
संभाव्यता अभिगृहीत 2 : एक निश्चित घटना की संभावना 1 है।
संभाव्यता अभिगृहीत 3 : विशिष्ट घटनाओं के एक समूह की संभावना सभी संभावनाओं के योग के बराबर होती है।

आप संभाव्यता के सिद्धांतों और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों के बारे में यहां अधिक जान सकते हैं:

➤ देखें: संभाव्यता के सिद्धांत

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने