संभाव्यता वितरण के प्रकार

द्वारा डॉ. बेंजामिन एंडरसन अगस्त 3, 2023 संभावना शून्य टिप्पणियां

यह आलेख सांख्यिकी में विभिन्न प्रकार के संभाव्यता वितरणों की व्याख्या करता है। तो आपको पता चलेगा कि संभाव्यता वितरण कितने प्रकार के होते हैं और उनके बीच क्या अंतर हैं।

संभाव्यता वितरण के प्रकार क्या हैं?

संभाव्यता वितरण के प्रकार हैं:

असतत संभाव्यता वितरण :
- पृथक समान वितरण .
- बर्नौली वितरण .
- द्विपद वितरण .
- मछली वितरण .
- बहुपद वितरण .
- ज्यामितीय वितरण .
- नकारात्मक द्विपद वितरण .
- हाइपरज्यामितीय वितरण .
सतत संभाव्यता वितरण :

समान और निरंतर वितरण .
सामान्य वितरण .
लॉगनॉर्मल वितरण .
ची-वर्ग वितरण .
विद्यार्थी का टी वितरण .
वितरण स्नेडेकोर एफ.
घातीय वितरण .
बीटा वितरण .
गामा वितरण .
वेइबुल वितरण .
पेरेटो वितरण .

प्रत्येक प्रकार के संभाव्यता वितरण को नीचे विस्तार से समझाया गया है।

असतत संभाव्यता वितरण

असतत संभाव्यता वितरण वह वितरण है जो असतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं को परिभाषित करता है। इसलिए, एक असतत संभाव्यता वितरण केवल सीमित संख्या में मान (आमतौर पर पूर्णांक मान) ले सकता है।

पृथक समान वितरण

असतत समान वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जिसमें सभी मान समसंभाव्य होते हैं, अर्थात असतत समान वितरण में सभी मूल्यों के घटित होने की संभावना समान होती है।

उदाहरण के लिए, पासे के रोल को एक अलग समान वितरण के साथ परिभाषित किया जा सकता है, क्योंकि सभी संभावित परिणामों (1, 2, 3, 4, 5, या 6) के घटित होने की संभावना समान है।

सामान्य तौर पर, एक असतत समान वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं, ए और बी , जो वितरण द्वारा लिए जा सकने वाले संभावित मानों की सीमा को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, जब एक चर को असतत समान वितरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो इसे Uniform(a,b) लिखा जाता है।

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

असतत समान वितरण का उपयोग यादृच्छिक प्रयोगों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि यदि सभी परिणामों की संभावना समान है, तो इसका मतलब है कि प्रयोग में यादृच्छिकता है।

➤ देखें: असतत समान वितरण की विशेषताएँ

बर्नौली वितरण

बर्नौली वितरण , जिसे द्विभाजित वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक संभाव्यता वितरण है जो एक अलग चर का प्रतिनिधित्व करता है जिसके केवल दो परिणाम हो सकते हैं: “सफलता” या “असफलता”।

बर्नौली वितरण में, “सफलता” वह परिणाम है जिसकी हम अपेक्षा करते हैं और इसका मान 1 है, जबकि “असफलता” का परिणाम अपेक्षित परिणाम के अलावा एक परिणाम है और इसका मान 0 है। इसलिए, यदि परिणाम की संभावना ” सफलता” p है, “असफलता” के परिणाम की संभावना q=1-p है।

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

बर्नौली वितरण का नाम स्विस सांख्यिकीविद् जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है।

आंकड़ों में, बर्नौली वितरण का मुख्य रूप से एक अनुप्रयोग है: प्रयोगों की संभावनाओं को परिभाषित करना जिसमें केवल दो संभावित परिणाम हैं: सफलता और विफलता। तो, एक प्रयोग जो बर्नौली वितरण का उपयोग करता है उसे बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग कहा जाता है।

➤ देखें: बर्नौली वितरण की विशेषताएं

द्विपद वितरण

द्विपद वितरण , जिसे द्विपद वितरण भी कहा जाता है, एक संभाव्यता वितरण है जो सफलता की निरंतर संभावना के साथ स्वतंत्र, द्विभाजित प्रयोगों की एक श्रृंखला निष्पादित करते समय सफलताओं की संख्या की गणना करता है। दूसरे शब्दों में, द्विपद वितरण एक ऐसा वितरण है जो बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम के सफल परिणामों की संख्या का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के के 25 बार शीर्ष पर आने की संख्या एक द्विपद वितरण है।

सामान्य तौर पर, किए गए प्रयोगों की कुल संख्या पैरामीटर n द्वारा परिभाषित की जाती है, जबकि p प्रत्येक प्रयोग की सफलता की संभावना है। इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर जो द्विपद वितरण का अनुसरण करता है उसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

ध्यान दें कि द्विपद वितरण में, एक ही प्रयोग को n बार दोहराया जाता है और प्रयोग एक-दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, इसलिए प्रत्येक प्रयोग की सफलता की संभावना समान होती है (पी) ।

➤ देखें: द्विपद वितरण की विशेषताएँ

मछली वितरण

पॉइसन वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक निश्चित अवधि के भीतर होने वाली घटनाओं की एक निश्चित संख्या की संभावना को परिभाषित करता है। दूसरे शब्दों में, पॉइसन वितरण का उपयोग यादृच्छिक चर को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो एक समय अंतराल में किसी घटना को दोहराने की संख्या का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, एक टेलीफोन एक्सचेंज द्वारा प्रति मिनट प्राप्त कॉलों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है जिसे पॉइसन वितरण का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

पॉइसन वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर होता है, जिसे ग्रीक अक्षर λ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इंगित करता है कि किसी दिए गए अंतराल के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ देखें: पॉइसन वितरण की विशेषताएं

बहुपद वितरण

बहुपद वितरण (या बहुपद वितरण ) एक संभाव्यता वितरण है जो कई परीक्षण करने के बाद एक निश्चित संख्या में होने वाली कई विशिष्ट घटनाओं की संभावना का वर्णन करता है।

अर्थात्, यदि एक यादृच्छिक प्रयोग के परिणामस्वरूप तीन या अधिक विशिष्ट घटनाएँ हो सकती हैं और प्रत्येक घटना के अलग-अलग घटित होने की संभावना ज्ञात होती है, तो बहुपद वितरण का उपयोग इस संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है कि, कई प्रयोग करते समय, एक निश्चित संख्या में घटनाएँ घटित होती हैं। प्रत्येक घटना का समय।

इसलिए बहुपद वितरण द्विपद वितरण का एक सामान्यीकरण है।

➤ देखें: बहुपद वितरण के गुण

ज्यामितीय वितरण

ज्यामितीय वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो पहले सफल परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या को परिभाषित करता है। अर्थात्, एक ज्यामितीय वितरण मॉडल प्रक्रियाएँ जिसमें बर्नौली प्रयोग तब तक दोहराए जाते हैं जब तक कि उनमें से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त नहीं कर लेता।

उदाहरण के लिए, एक राजमार्ग पर गुजरने वाली कारों की संख्या जब तक उन्हें पीली कार दिखाई न दे, एक ज्यामितीय वितरण है।

याद रखें कि बर्नौली परीक्षण एक ऐसा प्रयोग है जिसके दो संभावित परिणाम हैं: “सफलता” और “असफलता”। इसलिए यदि “सफलता” की संभावना p है, तो “असफलता” की संभावना q=1-p है।

इसलिए, ज्यामितीय वितरण पैरामीटर p पर निर्भर करता है, जो कि किए गए सभी प्रयोगों की सफलता की संभावना है। इसके अलावा, प्रायिकता p सभी प्रयोगों के लिए समान है।

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ देखें: ज्यामितीय वितरण की विशेषताएँ

नकारात्मक द्विपद वितरण

नकारात्मक द्विपद वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक निश्चित संख्या में सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है।

इसलिए, एक नकारात्मक द्विपद वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं: आर सफल परिणामों की वांछित संख्या है और पी प्रत्येक बर्नौली प्रयोग के लिए सफलता की संभावना है।

$X\sim \text{BN}(r,p)$

इस प्रकार, एक नकारात्मक द्विपद वितरण एक ऐसी प्रक्रिया को परिभाषित करता है जिसमें सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए आवश्यकतानुसार कई बर्नौली परीक्षण किए जाते हैं। इसके अलावा, ये सभी बर्नौली परीक्षण स्वतंत्र हैं और इनमें सफलता की निरंतर संभावना है।

उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर जो एक नकारात्मक द्विपद वितरण का अनुसरण करता है वह संख्या है कि एक पासे को कितनी बार घुमाया जाना चाहिए जब तक कि संख्या 6 तीन बार न हो जाए।

➤ देखें: ऋणात्मक द्विपद बंटन की विशेषताएँ

हाइपरज्यामितीय वितरण

हाइपरजियोमेट्रिक वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो किसी जनसंख्या से n तत्वों के प्रतिस्थापन के बिना यादृच्छिक निष्कर्षण में सफल मामलों की संख्या का वर्णन करता है।

अर्थात्, किसी जनसंख्या से n तत्वों को बिना किसी प्रतिस्थापन के निकालते समय x सफलताएँ प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का उपयोग किया जाता है।

इसलिए, हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के तीन पैरामीटर हैं:

एन : जनसंख्या में तत्वों की संख्या है (एन = 0, 1, 2,…)।
K : सफलता के मामलों की अधिकतम संख्या है (K = 0, 1, 2,…,N)। चूंकि हाइपरजियोमेट्रिक वितरण में किसी तत्व को केवल “सफलता” या “विफलता” माना जा सकता है, एनके विफलता के मामलों की अधिकतम संख्या है।
n : किए गए बिना-प्रतिस्थापन फ़ेच की संख्या है।

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ देखें: हाइपरजियोमेट्रिक वितरण की विशेषताएं

सतत संभाव्यता वितरण

सतत संभाव्यता वितरण वह है जो किसी अंतराल में दशमलव मान सहित कोई भी मान ले सकता है। इसलिए, एक सतत संभाव्यता वितरण एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं को परिभाषित करता है।

एकसमान और सतत वितरण

सतत एकसमान वितरण , जिसे आयताकार वितरण भी कहा जाता है, एक प्रकार का सतत संभाव्यता वितरण है जिसमें सभी मानों के घटित होने की संभावना समान होती है। दूसरे शब्दों में, सतत एकसमान वितरण एक ऐसा वितरण है जिसमें संभाव्यता एक अंतराल पर समान रूप से वितरित होती है।

निरंतर समान वितरण का उपयोग निरंतर संभावना वाले निरंतर चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसी तरह, यादृच्छिक प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए निरंतर समान वितरण का उपयोग किया जाता है, क्योंकि यदि सभी परिणामों की संभावना समान है, तो इसका मतलब है कि परिणाम में यादृच्छिकता है।

निरंतर समान वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर होते हैं, ए और बी , जो समसंभाव्यता अंतराल को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, सतत एकसमान वितरण का प्रतीक U(a,b) है, जहां a और b वितरण के विशिष्ट मान हैं।

$X\sim U(a,b)$

उदाहरण के लिए, यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम 5 और 9 के बीच कोई भी मान ले सकता है और सभी संभावित परिणामों के घटित होने की संभावना समान है, तो प्रयोग को निरंतर समान वितरण यू(5.9) के साथ अनुकरण किया जा सकता है।

➤ देखें: सतत एकसमान वितरण के लक्षण

सामान्य वितरण

सामान्य वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका ग्राफ़ घंटी के आकार का और इसके माध्य के बारे में सममित है। आंकड़ों में, सामान्य वितरण का उपयोग बहुत भिन्न विशेषताओं वाली घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जाता है, यही कारण है कि यह वितरण इतना महत्वपूर्ण है।

वास्तव में, आंकड़ों में, सामान्य वितरण को अब तक सभी संभाव्यता वितरणों का सबसे महत्वपूर्ण वितरण माना जाता है, क्योंकि यह न केवल बड़ी संख्या में वास्तविक घटनाओं को मॉडल करने की अनुमति देता है, बल्कि अन्य प्रकार के वितरणों का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करने की भी अनुमति देता है। खास शर्तों के अन्तर्गत।

सामान्य वितरण का प्रतीक बड़े अक्षर N है। इसलिए, यह इंगित करने के लिए कि एक चर एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, इसे अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है और इसके अंकगणितीय माध्य और मानक विचलन के मान कोष्ठक में जोड़े जाते हैं।

$X\sim N(\mu,\sigma)$

सामान्य वितरण के कई अलग-अलग नाम हैं, जिनमें गाऊसी वितरण , गाऊसी वितरण और लाप्लास-गॉस वितरण शामिल हैं।

➤ देखें: सामान्य वितरण की विशेषताएँ

लॉगनॉर्मल वितरण

लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन , या लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन , एक संभाव्यता वितरण है जो एक यादृच्छिक चर को परिभाषित करता है जिसका लघुगणक एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है।

इसलिए, यदि चर X का सामान्य वितरण है, तो घातीय फ़ंक्शन e ^x का लॉगनॉर्मल वितरण है।

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

ध्यान दें कि लॉगनॉर्मल वितरण का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब चर मान सकारात्मक हों, क्योंकि लघुगणक एक ऐसा फ़ंक्शन है जो केवल एक सकारात्मक तर्क लेता है।

आंकड़ों में लॉगनॉर्मल वितरण के विभिन्न अनुप्रयोगों के बीच, हम वित्तीय निवेशों का विश्लेषण करने और विश्वसनीयता विश्लेषण करने के लिए इस वितरण के उपयोग को अलग करते हैं।

लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन को टिनॉट डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी जाना जाता है, कभी-कभी इसे लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन या लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी लिखा जाता है।

➤ देखें: लॉगनॉर्मल वितरण की विशेषताएं

ची-स्क्वायर वितरण

ची-स्क्वायर वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसका प्रतीक χ² है। अधिक सटीक रूप से, ची-स्क्वायर वितरण सामान्य वितरण के साथ k स्वतंत्र यादृच्छिक चर के वर्ग का योग है।

इस प्रकार, ची-स्क्वायर वितरण में स्वतंत्रता की k डिग्री है। इसलिए, एक ची-स्क्वायर वितरण में स्वतंत्रता की उतनी ही डिग्री होती है जितनी सामान्य रूप से वितरित चर के वर्गों का योग इसका प्रतिनिधित्व करता है।

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

ची-स्क्वायर वितरण को पियर्सन वितरण के रूप में भी जाना जाता है।

ची-स्क्वायर वितरण का व्यापक रूप से सांख्यिकीय अनुमान में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए परिकल्पना परीक्षण और आत्मविश्वास अंतराल में। हम नीचे देखेंगे कि इस प्रकार के संभाव्यता वितरण के अनुप्रयोग क्या हैं।

➤ देखें: ची-स्क्वायर वितरण की विशेषताएं

विद्यार्थी का टी वितरण

विद्यार्थी का टी वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकी में व्यापक रूप से किया जाता है। विशेष रूप से, छात्र के टी वितरण का उपयोग छात्र के टी परीक्षण में दो नमूनों के साधनों के बीच अंतर निर्धारित करने और आत्मविश्वास अंतराल स्थापित करने के लिए किया जाता है।

स्टूडेंट का वितरण 1908 में सांख्यिकीविद् विलियम सीली गॉसेट द्वारा छद्म नाम “स्टूडेंट” के तहत विकसित किया गया था।

छात्र के टी वितरण को उसकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से परिभाषित किया जाता है, जो अवलोकनों की कुल संख्या से एक इकाई घटाकर प्राप्त की जाती है। इसलिए, किसी छात्र के t वितरण की स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करने का सूत्र ν=n-1 है।

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ देखें: छात्र के टी वितरण की विशेषताएं

स्नेडेकोर एफ वितरण

स्नेडेकोर एफ वितरण , जिसे फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण या केवल एफ वितरण भी कहा जाता है, एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकीय अनुमान में किया जाता है, विशेष रूप से विचरण के विश्लेषण में।

स्नेडेकोर एफ वितरण के गुणों में से एक यह है कि इसे दो वास्तविक मापदंडों, एम और एन के मूल्य से परिभाषित किया गया है, जो इसकी स्वतंत्रता की डिग्री को दर्शाता है। इस प्रकार, स्नेडेकोर वितरण F का प्रतीक F _m,n है, जहां m और n वे पैरामीटर हैं जो वितरण को परिभाषित करते हैं।

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> गणितीय रूप से, स्नेडेकोर एफ वितरण एक ची-वर्ग वितरण और उसकी स्वतंत्रता की डिग्री के बीच के भागफल के बराबर है जो दूसरे ची-वर्ग वितरण और उसकी स्वतंत्रता की डिग्री के बीच के भागफल से विभाजित होता है। इस प्रकार, स्नेडेकोर एफ वितरण को परिभाषित करने वाला सूत्र इस प्रकार है: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण का नाम अंग्रेजी सांख्यिकीविद् रोनाल्ड फिशर और अमेरिकी सांख्यिकीविद् जॉर्ज स्नेडेकोर के नाम पर रखा गया है।

आंकड़ों में, फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण के विभिन्न अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, फिशर-स्नेडेकोर एफ वितरण का उपयोग विभिन्न रैखिक प्रतिगमन मॉडल की तुलना करने के लिए किया जाता है, और इस संभाव्यता वितरण का उपयोग विचरण (एनोवा) के विश्लेषण में किया जाता है।

➤ देखें: स्नेडेकोर एफ वितरण की विशेषताएं

घातांकी रूप से वितरण

घातीय वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने के प्रतीक्षा समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, घातीय वितरण हमें पॉइसन वितरण के बाद होने वाली दो घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय का वर्णन करने की अनुमति देता है। इसलिए, घातीय वितरण पॉइसन वितरण से निकटता से संबंधित है।

घातीय वितरण में एक विशिष्ट पैरामीटर होता है, जिसे ग्रीक अक्षर λ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इंगित करता है कि किसी निश्चित अवधि के दौरान अध्ययन की गई घटना कितनी बार घटित होने की उम्मीद है।

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

इसी प्रकार, घातीय वितरण का उपयोग विफलता होने तक के समय को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है। इसलिए घातांकीय वितरण की विश्वसनीयता और उत्तरजीविता सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं।

➤ देखें: घातीय वितरण की विशेषताएँ

बीटा वितरण

बीटा वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसे अंतराल (0,1) पर परिभाषित किया गया है और दो सकारात्मक मापदंडों द्वारा मानकीकृत किया गया है: α और β। दूसरे शब्दों में, बीटा वितरण का मान पैरामीटर α और β पर निर्भर करता है।

इसलिए, बीटा वितरण का उपयोग निरंतर यादृच्छिक चर को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिनका मान 0 से 1 तक होता है।

यह इंगित करने के लिए कई संकेत हैं कि एक सतत यादृच्छिक चर बीटा वितरण द्वारा नियंत्रित होता है, सबसे आम हैं:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

आंकड़ों में, बीटा वितरण के बहुत विविध अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, बीटा वितरण का उपयोग विभिन्न नमूनों में प्रतिशत परिवर्तनों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसी प्रकार, परियोजना प्रबंधन में, बीटा वितरण का उपयोग पर्ट विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

➤ देखें: बीटा वितरण सुविधाएँ

गामा वितरण

गामा वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो दो विशिष्ट मापदंडों, α और λ द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, गामा वितरण इसके दो मापदंडों के मूल्य पर निर्भर करता है: α आकार पैरामीटर है और λ स्केल पैरामीटर है।

गामा वितरण का प्रतीक बड़ा ग्रीक अक्षर Γ है। इसलिए, यदि कोई यादृच्छिक चर गामा वितरण का अनुसरण करता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

गामा वितरण को आकार पैरामीटर k = α और व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर θ = 1/λ का उपयोग करके भी मानकीकृत किया जा सकता है। सभी मामलों में, गामा वितरण को परिभाषित करने वाले दो पैरामीटर सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं।

आमतौर पर, गामा वितरण का उपयोग दाएं-तिरछे डेटा सेट को मॉडल करने के लिए किया जाता है, ताकि ग्राफ़ के बाईं ओर डेटा की अधिक सांद्रता हो। उदाहरण के लिए, गामा वितरण का उपयोग विद्युत घटकों की विश्वसनीयता को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

➤ देखें: गामा वितरण की विशेषताएं

वेइबुल वितरण

वेइबुल वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो दो विशिष्ट मापदंडों द्वारा परिभाषित है: आकार पैरामीटर α और स्केल पैरामीटर λ।

आंकड़ों में, वेइबुल वितरण का उपयोग मुख्य रूप से उत्तरजीविता विश्लेषण के लिए किया जाता है। इसी तरह, वेइबुल वितरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

लेखकों के अनुसार, वेइबुल वितरण को तीन मापदंडों के साथ भी मानकीकृत किया जा सकता है। फिर, थ्रेशोल्ड वैल्यू नामक एक तीसरा पैरामीटर जोड़ा जाता है, जो एब्सिस्सा को इंगित करता है जिस पर वितरण ग्राफ शुरू होता है।

वेइबुल वितरण का नाम स्वेड वालोडी वेइबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1951 में इसका विस्तार से वर्णन किया था। हालांकि, वेइबुल वितरण की खोज 1927 में मौरिस फ्रैचेट द्वारा की गई थी और पहली बार 1933 में रोसिन और रैमलर द्वारा लागू किया गया था।

➤ देखें: वेइबुल वितरण की विशेषताएं

पेरेटो वितरण

पेरेटो वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जिसका उपयोग पेरेटो सिद्धांत को मॉडल करने के लिए सांख्यिकी में किया जाता है। इसलिए, पेरेटो वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसमें कुछ मान होते हैं जिनके घटित होने की संभावना बाकी मानों की तुलना में बहुत अधिक होती है।

याद रखें कि पेरेटो का नियम, जिसे 80-20 नियम भी कहा जाता है, एक सांख्यिकीय सिद्धांत है जो कहता है कि किसी घटना का अधिकांश कारण जनसंख्या का एक छोटा सा हिस्सा होता है।

पेरेटो वितरण में दो विशिष्ट पैरामीटर हैं: स्केल पैरामीटर x _m और आकार पैरामीटर α।

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

मूल रूप से, पेरेटो वितरण का उपयोग जनसंख्या के भीतर धन के वितरण का वर्णन करने के लिए किया गया था, क्योंकि इसका अधिकांश हिस्सा जनसंख्या के एक छोटे से अनुपात के कारण था। लेकिन वर्तमान में पेरेटो वितरण के कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए गुणवत्ता नियंत्रण में, अर्थशास्त्र में, विज्ञान में, सामाजिक क्षेत्र में, आदि।

➤ देखें: पेरेटो वितरण की विशेषताएँ

लेखक के बारे में

डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने