विषमता (सांख्यिकी)

द्वारा अगस्त 5, 2023 आंकड़े शून्य टिप्पणियां

यह आलेख बताता है कि आँकड़ों में विषमता का क्या अर्थ है। इस प्रकार, आप आंकड़ों में विषमता की परिभाषा पाएंगे, विषमता के विभिन्न प्रकार क्या हैं, विषमता गुणांक की गणना कैसे की जाती है और इसकी व्याख्या कैसे की जाती है।

सांख्यिकी में विषमता क्या है?

आंकड़ों में, तिरछापन एक माप है जो किसी वितरण की उसके माध्य के सापेक्ष समरूपता (या विषमता) की डिग्री को इंगित करता है। सीधे शब्दों में कहें तो, तिरछापन एक सांख्यिकीय पैरामीटर है जिसका उपयोग किसी वितरण की समरूपता (या विषमता) की डिग्री को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करने की आवश्यकता के बिना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

तो, एक तिरछा वितरण वह है जिसमें दाईं ओर की तुलना में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या भिन्न होती है। दूसरी ओर, सममित वितरण में माध्य के बाएँ और दाएँ मानों की संख्या समान होती है।

उदाहरण के लिए, घातांकीय वितरण असममित है और सामान्य वितरण सममित है।

विषमता के प्रकार

सांख्यिकी में, विषमता तीन प्रकार की होती है:

  • सकारात्मक विषमता : वितरण में माध्य के बाईं ओर की तुलना में दाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
  • समरूपता : वितरण में माध्य के बाईं ओर मानों की संख्या उतनी ही होती है जितनी माध्य के दाईं ओर।
  • नकारात्मक तिरछापन : वितरण में माध्य के दाईं ओर की तुलना में बाईं ओर अधिक भिन्न मान होते हैं।
विषमता के प्रकार

विषमता गुणांक

तिरछापन गुणांक , या विषमता सूचकांक , एक सांख्यिकीय गुणांक है जो वितरण की विषमता निर्धारित करने में मदद करता है। तो, विषमता गुणांक की गणना करके, आप वितरण की विषमता के प्रकार को बिना उसका ग्राफिकल प्रतिनिधित्व किए जान सकते हैं।

यद्यपि असममिति गुणांक की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र हैं, और हम उन सभी को नीचे देखेंगे, उपयोग किए गए सूत्र की परवाह किए बिना, विषमता गुणांक की व्याख्या हमेशा निम्नानुसार की जाती है:

  • यदि विषमता गुणांक सकारात्मक है, तो वितरण सकारात्मक रूप से विषम है।
  • यदि तिरछापन गुणांक शून्य है, तो वितरण सममित है।
  • यदि विषमता गुणांक ऋणात्मक है, तो वितरण ऋणात्मक रूप से विषम है।

फिशर की विषमता गुणांक

फिशर का तिरछापन गुणांक नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित माध्य के बारे में तीसरे क्षण के बराबर है। इसलिए, फिशर की विषमता गुणांक का सूत्र है:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}

समान रूप से, फिशर के गुणांक की गणना के लिए निम्नलिखित दो सूत्रों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता है:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}

\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}

सोना

E

एक गणितीय आशा है,

\mu

अंकगणित माध्य,

\sigma

मानक विचलन और

N

डेटा की कुल संख्या.

दूसरी ओर, यदि डेटा को समूहीकृत किया गया है तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}

इस मामले में कहां

x_i

यह वर्ग और का प्रतीक है

f_i

पाठ्यक्रम की पूर्ण आवृत्ति.

पियर्सन का विषमता गुणांक

पियर्सन का तिरछापन गुणांक नमूना माध्य और मोड के बीच के अंतर को उसके मानक विचलन (या मानक विचलन) से विभाजित करने के बराबर है। इसलिए पियर्सन असममिति गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}

सोना

A_p

पियर्सन गुणांक है,

\mu

अंकगणित माध्य,

Mo

फैशन और

\sigma

मानक विचलन.

ध्यान रखें कि पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना केवल तभी की जा सकती है जब यह एक यूनिमॉडल वितरण हो, अर्थात, यदि डेटा में केवल एक मोड है।

कुछ लेखक पियर्सन तिरछापन गुणांक की गणना करने के लिए मोड के बजाय माध्यिका का उपयोग करते हैं, लेकिन आम तौर पर उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया जाता है।

बाउली का विषमता गुणांक

बाउली का तिरछापन गुणांक तीसरे चतुर्थक और पहले चतुर्थक के योग के बराबर होता है, जिसमें से माध्यिका का दोगुना घटाकर तीसरे और पहले चतुर्थक के बीच के अंतर से विभाजित किया जाता है। इसलिए इस विषमता गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:

A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}

सोना

Q_1

और

Q_3

ये क्रमशः प्रथम और तृतीय चतुर्थक हैं और

Me

वितरण का माध्यिका है.

याद रखें कि वितरण का माध्यिका दूसरे चतुर्थक के साथ मेल खाता है।

सांख्यिकी में विषमता का उपयोग किसके लिए किया जाता है?

आंकड़ों में विषमता के अर्थ को पूरी तरह से समझने के लिए, आइए देखें कि वितरण की इस विशेषता की गणना कैसे की जाती है।

तिरछापन का उपयोग मुख्य रूप से संभाव्यता वितरण के आकार को जानने के लिए किया जाता है, क्योंकि तिरछापन गुणांक की गणना करके आप यह जान सकते हैं कि यह एक नकारात्मक असममित, सकारात्मक असममित या सममित वितरण है, बिना इसके ग्राफिक प्रतिनिधित्व के।

इसके अतिरिक्त, कर्टोसिस के साथ तिरछापन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि डेटा सेट सामान्य वितरण का अनुमान लगा सकता है या नहीं। दूसरे शब्दों में, तिरछापन गुणांक और कर्टोसिस गुणांक की गणना यह जांचने के लिए की जाती है कि डेटा श्रृंखला सामान्य वितरण की मान्यताओं को पूरा करती है या नहीं और यदि हां, तो यह बहुत फायदेमंद साबित होता है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि कई सांख्यिकीय प्रमेयों को लागू किया जा सकता है।

लेखक के बारे में

Benjamin Anderson
डॉ. बेंजामिन एंडरसन

नमस्ते, मैं बेंजामिन हूं, एक सेवानिवृत्त सांख्यिकी प्रोफेसर जो अब समर्पित Statorials शिक्षक बन गया है। सांख्यिकी के क्षेत्र में व्यापक अनुभव और विशेषज्ञता के साथ, मैं Statorials के माध्यम से छात्रों को सशक्त बनाने के लिए अपना ज्ञान साझा करने के लिए उत्सुक हूं। अधिक जाने

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