सामान्य द्विपद सन्निकटन: परिभाषा और उदाहरण

यदि _ _ _ _ _

• µ = एनपी
• σ = √ एनपी(1-पी)

यह पता चलता है कि यदि n पर्याप्त बड़ा है, तो हम द्विपद वितरण से संबंधित संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं। इसे सामान्य द्विपद सन्निकटन कहा जाता है।

n के “काफ़ी बड़े” होने के लिए, इसे निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करना होगा:

• एनपी ≥ 5
• एन(1-पी) ≥ 5

जब दोनों मानदंड पूरे हो जाते हैं, तो हम द्विपद वितरण से संबंधित संभाव्यता प्रश्नों का उत्तर देने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं।

हालाँकि, सामान्य वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जबकि द्विपद वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है, इसलिए संभावनाओं की गणना करते समय हमें निरंतरता सुधार लागू करने की आवश्यकता होती है।

सीधे शब्दों में कहें तो निरंतरता सुधार एक असतत x मान से 0.5 जोड़ने या घटाने को दिया गया नाम है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम इस संभावना का पता लगाना चाहते हैं कि एक सिक्का 100 बार उछालने के दौरान 45 बार से कम या उसके बराबर हेड पर गिरेगा। अर्थात्, हम P(X ≤ 45) ज्ञात करना चाहते हैं। द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करने के लिए, हम इसके बजाय P(X ≤ 45.5) पाएंगे।

निम्न तालिका दर्शाती है कि आपको 0.5 कब जोड़ना या घटाना चाहिए, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रकार की संभाव्यता खोजने का प्रयास कर रहे हैं:

निम्नलिखित चरण-दर-चरण उदाहरण दिखाता है कि द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग कैसे करें।

उदाहरण: द्विपद का सामान्य सन्निकटन

मान लीजिए कि हम इसकी प्रायिकता जानना चाहते हैं कि एक सिक्का 100 बार उछालने पर 43 बार से कम या इसके बराबर चित्त पर गिरेगा।

इस स्थिति में हमारे पास निम्नलिखित मान हैं:

• n (परीक्षणों की संख्या) = 100
• एक्स (सफलताओं की संख्या) = 43
• पी (किसी दिए गए परीक्षण पर सफलता की संभावना) = 0.50

43 बार से कम या उसके बराबर सिक्के के सिर पर उतरने की संभावना की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

चरण 1: सत्यापित करें कि नमूना आकार सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने के लिए पर्याप्त बड़ा है।

सबसे पहले, हमें यह जांचना होगा कि निम्नलिखित मानदंड पूरे हुए हैं:

• एनपी ≥ 5
• एन(1-पी) ≥ 5

इस मामले में हमारे पास है:

• एनपी = 100*0.5 = 50
• एन(1-पी) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

दोनों संख्याएँ 5 से बड़ी हैं, इसलिए हम सुरक्षित रूप से सामान्य सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं।

चरण 2: लागू करने के लिए निरंतरता सुधार निर्धारित करें।

उपरोक्त तालिका का संदर्भ लेते हुए, हम देखते हैं कि X ≤ 43 के रूप में संभाव्यता के साथ काम करते समय हमें 0.5 जोड़ना चाहिए। इस प्रकार, हम P(X< 43.5) पाएंगे।

चरण 3: द्विपद वितरण का माध्य (μ) और मानक विचलन (σ) ज्ञात करें।

µ = n*p = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

चरण 4: पिछले चरण में पाए गए माध्य और मानक विचलन का उपयोग करके z-स्कोर ज्ञात करें।

z = (x – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3.

चरण 5: z-स्कोर से जुड़ी संभावना ज्ञात करें।

हम यह पता लगाने के लिए सामान्य सीडीएफ कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं कि -1.3 के बाईं ओर मानक सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्र 0.0968 है।

तो एक सिक्के के 100 बार उछालने पर 43 बार से कम या उसके बराबर चित आने की प्रायिकता 0.0968 है।

यह उदाहरण निम्नलिखित दर्शाता है:

• हमारे पास ऐसी स्थिति थी जहां एक यादृच्छिक चर एक द्विपद वितरण का अनुसरण करता था।
• हम इस यादृच्छिक चर के लिए एक निश्चित मान प्राप्त करने की संभावना ज्ञात करना चाहते थे।
• चूँकि नमूना आकार (n = 100 परीक्षण) काफी बड़ा था, हम द्विपद वितरण का अनुमान लगाने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करने में सक्षम थे।

यह द्विपद वितरण से संबंधित संभावनाओं को खोजने के लिए सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने का एक संपूर्ण उदाहरण है।